न्यूनतम बहुपद क्या है?

उदाहरण 3.13 (हाथ से न्यूनतम बहुपद)

न्यूनतम बहुपद क्रमशः घातें जाँचकर परिकलित किया जाता है। सर्व-एक आव्यूह $J \in \mathcal{M}_3(\R)$ के लिए: $J \neq \lambda I$ (घात $1$ बाहर हो जाती है), और $J^2 = 3J$, अतः

घात $2$, पूरी तरह गुणनखंडित, सरल मूल — अतः $J$ वर्णक्रम $\{0, 3\}$ के साथ विकर्णनीय है (नीचे उपप्रमेय 3.17), और इससे उदाहरण 2.19 की पुष्टि बिना एक भी सारणिक के हो जाती है। उदाहरण 3.15 के अदला-बदली आव्यूह $A$ के लिए: $A \neq \pm I$ और $A^2 = I$ से $\mu_A = X^2 - 1$ मिलता है। दोनों स्थितियों में ढर्रा एक ही है: संरचना से किसी कम घात की सर्वसमिका का अनुमान लगाइए (कोटि एक होने से $J^2 = (\operatorname{tr}J)\,J$ बाध्य हो जाता है; कोई अंतर्वलन $A^2 = I$ को बाध्य कर देता है), फिर जाँचिए कि कोई उचित भाजक विलोपन नहीं करता। न्यूनतम बहुपद प्रायः खोजे जाते हैं, $\chi$ से परिकलित नहीं किए जाते।

उदाहरण 3.15 (स्पष्ट प्रक्षेपकों के साथ केंद्रक प्रमेयिका)

मान लीजिए $A = \left(\begin{smallmatrix}0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{smallmatrix}\right)$ (पहले दो निर्देशांक आपस में बदल दीजिए)। तब $A^2 = I$: बहुपद $X^2 - 1 = (X - 1)(X + 1)$ $A$ को विलुप्त करता है, उसके गुणनखंड सहअभाज्य हैं, और बेज़ू स्पष्ट है:

प्रमेय 3.14 की उपपत्ति के अनुसार $\ker(A - I)$ और $\ker(A + I)$ पर प्रक्षेप $A$ के ये बहुपद हैं:

जाँच: $\pi_+ + \pi_- = I$, $\pi_+\pi_- = 0$, $\pi_\pm^2 = \pi_\pm$, और प्रतिबिंब समतल $\{x = y\}$ (सममित सदिश, अभिलक्षणिक मान $1$) तथा रेखा $\R(1, -1, 0)$ (प्रतिसममित, अभिलक्षणिक मान $-1$) हैं। केंद्रक प्रमेयिका केवल अस्तित्व का कथन नहीं है: बेज़ू गुणांक ही प्रक्षेपक सूत्र हैं।

उदाहरण 3.20 (न्यूनतम बनाम अभिलक्षणिक)

$D = \operatorname{diag}(2, 2, 3)$ के लिए: $\chi_D = (X - 2)^2(X - 3)$, परंतु $\mu_D = (X - 2)(X - 3)$, क्योंकि $(D - 2I)(D - 3I) = 0$ (विहित आधार पर जाँचिए) जबकि अकेला कोई भी गुणनखंड $D$ को नहीं मारता। स्थानांतरण खंड $N = \left(\begin{smallmatrix}0 & 1\\ 0 & 0\end{smallmatrix}\right) \oplus (3)$, अर्थात् $N' = \left(\begin{smallmatrix}0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 3\end{smallmatrix}\right)$, के लिए: $\chi_{N'} = X^2(X - 3)$ और $\mu_{N'} = X^2(X - 3)$ — यहाँ दोहरा मूल सचमुच आवश्यक है क्योंकि $N'$ $\ker$ की ओर विकर्णनीय नहीं है ($N'e_2 = e_1 \neq 0$)। अंगूठे का नियम: $\mu$ और $\chi$ के मूल एक ही होते हैं (प्रतिज्ञप्ति 3.12); $\mu$ में बहुलता सबसे बड़े शून्यंभावी खंड का आकार मापती है, और $\chi$ में वाली अभिलक्षणिक उपसमष्टि की कुल विमा।