समीकरण, हल क्या है? — गणित

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परिभाषा 2.7 उच्च माध्यमिक गणित · অধ্যায় 2 — बीजगणित: समीकरण और असमिकाएँ

समीकरण ऐसी समता है जिसमें एक अज्ञात संख्या $x$ हो; हल $x$ का वह मान है जो समता को सत्य बना देता है। समीकरण हल करने का अर्थ है उसके सभी हल खोज निकालना।

উদাহরণ

उदाहरण 2.8 (प्रथम घात समीकरण)

$5x - 7 = 2x + 8$ को एक-एक चाल करके हल कीजिए:

\begin{align*} 5x - 7 &= 2x + 8 \\ 5x - 2x &= 8 + 7 && \text{(दोनों पक्षों में $7 - 2x$ जोड़ें)} \\ 3x &= 15 \\ x &= 5 && \text{(दोनों पक्षों को $3$ से भाग दें)।} \end{align*}

अकेला हल $5$ है। जाँच: $5 \times 5 - 7 = 18$ और $2 \times 5 + 8 = 18$ ।

उदाहरण 2.11

$(x - 2)(3x + 6) = 0$ हल कीजिए: या तो $x - 2 = 0$ , जिससे $x = 2$ मिलता है, या $3x + 6 = 0$ , जिससे $x = -2$ मिलता है। हल: $-2$ और $2$ ।

$x^2 = 9x$ हल कीजिए। $x$ से भाग मत दीजिए (वह शून्य हो सकता है!); सब कुछ एक ओर लाइए और गुणनखंडन कीजिए:

x^2 - 9x = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad x(x - 9) = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad x = 0 \ \text{ या } \ x = 9 .

उदाहरण 2.12 (भागफल वाला समीकरण)

$\dfrac{x - 1}{x + 2} = 0$ हल कीजिए। भागफल ठीक तब शून्य होता है जब उसका अंश शून्य हो और हर शून्य न हो। यहाँ $x - 1 = 0$ से $x = 1$ मिलता है, और $1 + 2 = 3 \neq 0$ है: एकमात्र हल $1$ है। मान $x = -2$ वर्जित है (शून्य से भाग) और उसे हमेशा पहले ही हटा देना चाहिए।

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