फलन क्या है? — गणित

परिभाषा 3.1 उच्च माध्यमिक गणित · 第 3 章 — फलन

मान लीजिए $D$ वास्तविक संख्याओं का एक समुच्चय है। $D$ पर परिभाषित फलन $f$ हर संख्या $x \in D$ के साथ ठीक एक वास्तविक संख्या जोड़ता है, जिसे $f(x)$ लिखते हैं और $x$ का प्रतिबिंब कहते हैं। समुच्चय $D$ $f$ का प्रांत है। हम लिखते हैं

f : x \longmapsto f(x).

यदि $f(x) = y$ हो, तो $x$ $y$ का पूर्वप्रतिबिंब है।

示例

उदाहरण 3.3 (प्रांत ज्ञात करना)

जब फलन किसी सूत्र से दिया जाता है, तब उसका प्रांत उन $x$ का समुच्चय होता है जिनके लिए सूत्र का अर्थ बनता है।

$f(x) = 3x^2 - 5x + 1$ का अर्थ हर $x$ के लिए बनता है: प्रांत $\R$ है।
$g(x) = \dfrac{1}{x - 2}$ के लिए $x - 2 \neq 0$ आवश्यक है: प्रांत $2$ को छोड़कर सभी वास्तविक संख्याएँ हैं।
$h(x) = \sqrt{x - 3}$ के लिए $x - 3 \geq 0$ आवश्यक है: प्रांत $\intco{3}{+\infty}$ है।

उदाहरण 3.4 (प्रतिबिंब और पूर्वप्रतिबिंब निकालना)

मान लीजिए $\R$ पर परिभाषित $f(x) = x^2 - 4x + 3$ है।

$5$ का प्रतिबिंब: $x = 5$ प्रतिस्थापित कीजिए: $f(5) = 25 - 20 + 3 = 8$ ।

$3$ के पूर्वप्रतिबिंब: $f(x) = 3$ हल कीजिए:

x^2 - 4x + 3 = 3 \quad\Longleftrightarrow\quad x^2 - 4x = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad x(x - 4) = 0,

इसलिए $3$ के पूर्वप्रतिबिंब $0$ और $4$ हैं।

उदाहरण 3.10

नीचे $\intcc{-2}{4}$ पर आलेखित फलन पर विचार कीजिए।

[-2, 4] पर परिभाषित एक फलन, जो पहले बढ़ता है और फिर घटता है। — $\intcc{-2}{4}$ पर परिभाषित एक फलन, जो पहले बढ़ता है और फिर घटता है।

आलेख पढ़ने पर: $f$ $f(-2) = -1.5$ से बढ़कर अपने अधिकतम $f(1) = 3$ तक जाता है, फिर घटकर $f(4) = -1.5$ तक आता है। इसकी परिवर्तन-सारणी है

$x$	$-2$		$1$		$4$
$f$	$-1.5$	$\nearrow$	$3$	$\searrow$	$-1.5$

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