3फलन

हल — समस्या 3.1.

1. प्रांत: $x \neq 0$ ($x$ से भाग)। $f(1) = \frac12(1 + 2) = \frac32$; $f(2) = \frac12(2 + 1) = \frac32$; $f\!\left(\frac32\right) = \frac12\left(\frac32 + \frac43\right) = \frac{17}{12}$।

2. $\frac12\left(x + \frac2x\right) = \frac32$ से $x^2 + 2 = 3x$ मिलता है, अर्थात् $x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2) = 0$: $\frac32$ के पूर्वप्रतिबिंब $1$ और $2$ हैं — जैसा प्रश्न 1 ने बताया था।

3. $f(x) = x$ से $x + \frac2x = 2x$ मिलता है, इसलिए $\frac2x = x$, $x^2 = 2$: स्थिर बिंदु $\sqrt2$ और $-\sqrt2$। धनात्मक वाला इकाई वर्ग का विकर्ण है, जो माध्यमिक विद्यालय खंड की अपरिमेयता वाली सप्ताहांत समस्या से अपरिमेय है।

4. $1 \to \frac32 \to \frac{17}{12} \to \frac{577}{408}$: $\sqrt2$ के हीरोन-सन्निकटन। उनका नुस्ख़ा “अनुमान का $2/$अनुमान के साथ औसत लीजिए” ठीक फलन $f$ की पुनरावृत्ति है — और यह प्रक्रिया जिस संख्या का पीछा करती है वह $f$ का स्थिर बिंदु है।

5. स्थिर बिंदु आलेख के विकर्ण $y = x$ के साथ प्रतिच्छेद हैं: निर्गम को वापस भीतर डालते जाना बिंदु को आलेख के साथ-साथ उसी प्रतिच्छेद की ओर चलाता है। माध्यमिक विद्यालय खंड की दो-थर्मामीटर वाली सप्ताहांत समस्या में पठन $-40^\circ$ रूपांतरण-फलन के लिए वही विकर्ण-काटने वाला विचार था।

6. $f(v) - f(u) = \frac{v - u}{2} + \frac1v - \frac1u = \frac{v - u}{2} + \frac{u - v}{uv} = (v - u)\left(\frac12 - \frac{1}{uv}\right) = \frac{(v - u)(uv - 2)}{2uv}$। $0 < u < v \leq \sqrt2$ के लिए: $uv < 2$, कोष्ठक ऋणात्मक है, $f(v) < f(u)$: ह्रासमान। $\sqrt2 \leq u < v$ के लिए: $uv > 2$: वर्धमान। मोड़ का बिंदु: $\sqrt2$।

7. $\sqrt2$ से पहले ह्रासमान, उसके बाद वर्धमान: $f$ अपना न्यूनतम $\sqrt2$ पर पाता है, जिसका मान $f(\sqrt2) = \frac12\left(\sqrt2 + \frac{2}{\sqrt2}\right) = \sqrt2$ है। परिणाम: मशीन का हर निर्गम (धनात्मक निवेश पर) कम से कम $\sqrt2$ है — हैंडल एक बार घुमाते ही अनुमान $\intco{\sqrt2}{+\infty}$ में आ बसते हैं।

8. यदि $x > \sqrt2$ हो, तो $x^2 > 2$, इसलिए $\frac2x < x$, और $x$ तथा $\frac2x$ का औसत $f(x)$ $x$ से कम है; और प्रश्न 7 से $f(x) \geq \sqrt2$, जिसमें समता केवल $x = \sqrt2$ पर है। इसलिए $\sqrt2 < f(x) < x$: हर पुनरावृत्ति कड़ाई से सुधार करती है और नीचे नहीं गिरती — प्रश्न 4 का अनुक्रम फिसलकर $\sqrt2$ पर आ बैठता है।

9. $\intoo{0}{+\infty}$ पर: $+\infty$ से (जो $0$ के पास है) घटकर $x = \sqrt2$ पर न्यूनतम $\sqrt2$ तक, फिर बिना किसी सीमा के बढ़ता हुआ।

10. $g(x) = x$ से $x^2 = x$, $x(x - 1) = 0$ मिलता है: स्थिर बिंदु $0$ और $1$। $0.9$ से: $0.81$, $0.656$, $0.430$, $0.185$ — $0$ की ओर फिसलते हुए। $1.1$ से: $1.21$, $1.464$, $2.144$, $4.595$ — अनंत की ओर भागते हुए। स्थिर बिंदु $0$ खींचता है, $1$ धकेलता है: आरंभ में बाल भर का अंतर, और नियति उलटी।

11. $7 \to 22 \to 11 \to 34 \to 17 \to 52 \to 26 \to 13 \to 40 \to 20 \to 10 \to 5 \to 16 \to 8 \to 4 \to 2 \to 1$: सोलह चरण, चोटी $52$ पर।

12. $27 \to 82 \to 41 \to 124 \to 62 \to 31 \to 94 \to 47 \to 142 \to 71 \to 214 \to \dots$ — दस चरणों के बाद भी चढ़ता ही जा रहा है, $9\,232$ की चोटी और $111$-चरणों की उड़ान की ओर। सीख: दो पंक्तियों का नियम ऐसा व्यवहार पैदा कर सकता है जिसकी भविष्यवाणी एक नज़र में कोई नहीं कर सकता — पड़ोसी संख्याओं ($26$, $27$, $28$) की उड़ानें बेतहाशा अलग हैं।

13. $2$ की कोई घात अपनी पूरी सीढ़ी आधी-आधी करके उतर आती है: $2^k \to 2^{k-1} \to \dots \to 2 \to 1$। तल पर $h(1) = 4$, $h(4) = 2$, $h(2) = 1$: उड़ान चक्र $4 \to 2 \to 1 \to 4$ में प्रवेश कर जाती है। स्थिर बिंदु के लिए $\frac n2 = n$ चाहिए (केवल $n = 0$) या $3n + 1 = n$ (ऋणात्मक): धनात्मक पूर्णांकों में कोई नहीं — देखी गई उड़ानें किसी स्थिर बिंदु पर नहीं, उसी छोटे चक्र में समाप्त होती हैं।

14. प्रतिउदाहरण या तो ऐसी उड़ान होगी जो सदा बढ़ती जाए ($1$ पर कभी न लौटे) या $4 \to 2 \to 1$ से असंयुक्त कोई दूसरा चक्र। $10^{20}$ तक की जाँच अनगिनत संख्याएँ बिना जाँचे छोड़ देती है — ठीक माध्यमिक विद्यालय खंड की माचिस-भविष्यवक्ता वाली सप्ताहांत समस्या का वृत्त-क्षेत्रों वाला पाठ: सीमित स्थितियों में मेल खा जाना सबके बारे में कुछ भी सिद्ध नहीं करता।

15. हीरोन की मशीन में हमारे पास संरचना थी — एक गुणनखंडित अंतर (प्रश्न 6) जो परिवर्तन उजागर करता है, एक न्यूनतम, एक शिकंजा — जबकि ओला-मशीन का सम-विषम बदलता नियम ऐसा कोई हत्था नहीं देता: उसे साधने वाली संरचना अब तक किसी को नहीं मिली।

16. $\sqrt{x - 3}$: $x - 3 \geq 0$ चाहिए: $\intco{3}{+\infty}$। $\frac{1}{x^2 - 9}$: $x \neq \pm 3$ चाहिए: $\R$ में से $-3$ और $3$ हटाकर। $\sqrt{9 - x^2}$: $x^2 \leq 9$ चाहिए: $\intcc{-3}{3}$।

17. $f(x) = 3$ से $x + \frac2x = 6$ मिलता है, इसलिए $x^2 - 6x + 2 = 0$, अर्थात् $(x - 3)^2 = 7$: $x = 3 - \sqrt7$ या $x = 3 + \sqrt7$ (दोनों धनात्मक: दो यथार्थ पूर्वप्रतिबिंब)।

18. जब तक पत्थर हवा में है तभी तक भौतिक अर्थ बनता है: $t \in \intcc{0}{4}$ के लिए $H(t) = 5t(4 - t) \geq 0$। पूरा करने पर: $H(t) = 20 - 5(t - 2)^2$: अधिकतम $20$ m, $t = 2$ s पर। परिवर्तन: $\intcc{0}{2}$ पर $0$ से $20$ तक वर्धमान, $\intcc{2}{4}$ पर घटकर वापस $0$ तक।

19. $20t - 5t^2 \geq 15 \iff t^2 - 4t + 3 \leq 0 \iff (t - 1)(t - 3) \leq 0 \iff t \in \intcc{1}{3}$: पूरे दो सेकंड $15$ m से ऊपर।

20. हर मशीन के पास एक प्रांत होता है (जहाँ नियम लागू होता है), एक नियम (सूत्र या सम-विषम स्विच), और एक आलेख या सारणी जो उसे पूरा दिखा देती है। हमने हर एक से वही दो बड़े प्रश्न पूछे: दोहराव कहाँ ले जाता है (स्थिर बिंदु, चक्र, आकर्षण — हीरोन के लिए सुलझा, ओला-मशीन के लिए खुला) और निवेश के साथ निर्गम कैसे चलता है (परिवर्तन, चरम मान — पत्थर की चोटी, हीरोन का न्यूनतम)। आगे के अध्याय दोनों को और पैना करते हैं: पहले आधार फलन, और फिर आगे के वर्षों में परिवर्तन नापने के लिए अवकलज तथा यह प्रमाणित करने के लिए सीमाएँ कि पुनरावृत्तियाँ कहाँ जा बैठती हैं।