हर्मीशियन अंतर्गुणन क्या है? — गणित

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परिभाषा 13.1 विश्वविद्यालय गणित — स्नातक वर्ष 2 · অধ্যায় 13 — हर्मीशियन रूप

किसी सम्मिश्र सदिश समष्टि $E$ पर हर्मीशियन अंतर्गुणन ऐसा प्रतिचित्रण $\langle\cdot,\cdot\rangle \colon E \times E \to \C$ है जो दूसरे चर में रैखिक हो, संयुग्मी-सममित हो ( $\langle y, x\rangle = \conj{\langle x, y\rangle}$ — अतः पहले चर में संयुग्मी-रैखिक), और धनात्मक निश्चित ( $x \neq 0$ के लिए $\langle x, x\rangle > 0$ )। $\C^n$ पर मानक उदाहरण:

\langle x, y \rangle = \sum_{i=1}^{n} \conj{x_i}\, y_i ;

और संतत फलनों पर $\langle f, g\rangle = \int_a^b \conj f\,g$ । मानदंड: $\norm x = \sqrt{\langle x,x\rangle}$ ; और इस प्रकार सज्जित परिमित-विमीय सम्मिश्र समष्टि हर्मीशियन समष्टि कहलाती है।

উদাহরণ

उदाहरण 13.2 (पहले परिकलन)

$\C^2$ में $x = (1+\iu,\ 2-\iu)$ और $y = (\iu,\ 1)$ लीजिए। तब

\norm x^2 = \abs{1+\iu}^2 + \abs{2-\iu}^2 = 2 + 5 = 7, \qquad \norm y^2 = 1 + 1 = 2,

और पहली कोटि का संयुग्म लेने पर,

\langle x, y\rangle = \conj{(1+\iu)}\,\iu + \conj{(2-\iu)}\cdot1 = (1-\iu)\iu + (2+\iu) = (\iu + 1) + (2 + \iu) = 3 + 2\iu .

कोशी–श्वार्ज़ सही निकलता है: $\abs{\langle x, y\rangle}^2 = 9 + 4 = 13 \leq 14 = \norm x^2\norm y^2$ — और समता के निकट, क्योंकि $x$ $y$ के किसी गुणज के निकट है। यह भी ध्यान दीजिए कि $\langle y, x\rangle = \conj{3 + 2\iu} = 3 - 2\iu$ : अर्थात् संयुग्मी-सममितता क्रिया में, और यही कारण है कि $\langle x, x\rangle$ सदा वास्तविक होता है।

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উদাহরণ

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