समाकलनीय फलन কী?

उदाहरण 10.13

$\mathbf 1_\Q$ कहीं भी संतत नहीं है: अतः रीमान-समाकलनीय नहीं — पर लेबेग की दृष्टि में तुच्छ: $\int\mathbf 1_\Q\,\dd\lambda = \lambda(\Q) = 0$। टोमे का फलन (परिमेय $\frac pq$ पर $\frac1q$, अन्यत्र $0$) ठीक अपरिमेयों पर संतत है: अतः रीमान-समाकलनीय, और उसका समाकल $0$ है। और अनुचित रीमान समाकल एक भिन्न धारणा हैं: $\int_0^\infty\frac{\sin x}x\,\dd x$ $\int_0^A$ की सीमा के रूप में अभिसरित होता है (सप्ताहांत समस्या उसे $= \frac\pi2$ परिकलित करती है), परंतु $\frac{\sin x}x \notin L^1(\intoo0{+\infty})$: निरपेक्ष समाकल हरात्मक श्रेणी की तरह अपसरित होता है (अभ्यास 10.6)। लेबेग का सिद्धांत सप्रतिबंध अभिसरण छोड़कर दृढ़ सीमा प्रमेय ले लेता है।

उदाहरण 10.16 (गामा फलन)

$t > 0$ के लिए मान लीजिए

यह समाकल अभिसरित होता है: $0$ के निकट $x^{t-1}$ समाकलनीय है ($t > 0$); और अनंत पर $x^{t-1}\eu^{-x} \leq C\eu^{-x/2}$। खंडशः समाकलन ($[\varepsilon, A]$ पर, फिर एकदिष्ट अभिसरण प्रमेय से सीमाएँ) कार्यकीय समीकरण $\Gamma(t + 1) = t\,\Gamma(t)$ दे देता है, जिससे $\Gamma(n+1) = n!$: अर्थात् क्रमगुणित का अंतर्वेशन। प्रत्येक $\intcc ab \subseteq \intoo0{+\infty}$ पर $\partial_t\bigl(x^{t-1}\eu^{-x}\bigr) = \ln x\cdot x^{t-1}\eu^{-x}$ समाकलनीय $\abs{\ln x}(x^{a-1} + x^{b-1})\eu^{-x}$ से प्रभावित है: अतः $\Gamma$ $\mathcal C^1$ है, और आगमन से $\mathcal C^\infty$, जिसमें $\Gamma^{(k)}(t) = \int_0^\infty(\ln x)^kx^{t-1}\eu^{-x}\dd x$। मान $\Gamma(\frac12) = \sqrt\pi$ छद्म वेश में गाउसीय समाकल है (समस्या 10.1)।