उच्च माध्यमिक गणित · Grades 10–12

21सीमाएँ और सांतत्य

यह अध्याय सीमा की धारणा को अनुक्रमों से बढ़ाकर वास्तविक चर के फलनों तक ले जाता है, और सांतत्य प्रस्तुत करता है। केंद्रीय परिणाम मध्यवर्ती मान प्रमेय है, जो गुणात्मक सूचना (“ $f$ संतत है और चिह्न बदलता है”) को समीकरणों के हलों के अस्तित्व में बदल देती है।

21.1 फलनों की सीमाएँ

पूरे अध्याय में $f$ किसी अंतराल या अंतरालों के सम्मिलन $D \subseteq \R$ पर परिभाषित फलन है।

परिभाषा 21.1 (अनंत पर सीमा)

मान लीजिए $f$ किसी अंतराल $\intco{a}{+\infty}$ पर परिभाषित है और $\ell \in \R$ है। हम कहते हैं कि $f$ $+\infty$ पर $\ell$ की ओर जाता है, और $\lim\limits_{x\to+\infty} f(x) = \ell$ लिखते हैं, यदि $\ell$ को समेटने वाले हर खुले अंतराल में पर्याप्त बड़े $x$ के लिए सभी मान $f(x)$ आ जाएँ: अर्थात् हर $\varepsilon > 0$ के लिए ऐसा $A$ हो कि सभी $x \geq A$ के लिए $\abs{f(x) - \ell} \leq \varepsilon$ हो।

हम कहते हैं कि $f$ $+\infty$ पर $+\infty$ की ओर जाता है यदि हर $M \in \R$ के लिए ऐसा $A$ हो कि सभी $x \geq A$ के लिए $f(x) \geq M$ हो। $-\infty$ पर सीमाएँ और $-\infty$ के बराबर सीमाएँ इसी तरह परिभाषित होती हैं।

परिभाषा 21.2 (किसी बिंदु पर सीमा)

मान लीजिए $a \in \R$ है और $f$ $a$ के पास (संभवतः $a$ को छोड़कर) परिभाषित है। हम कहते हैं कि $f$ $a$ पर $\ell \in \R$ की ओर जाता है, और $\lim\limits_{x \to a} f(x) = \ell$ लिखते हैं, यदि हर $\varepsilon > 0$ के लिए ऐसा $\delta > 0$ हो कि $\abs{x - a} \leq \delta$ वाले सभी $x \in D$ के लिए $\abs{f(x) - \ell} \leq \varepsilon$ हो।

हम कहते हैं कि $f$ $a$ पर $+\infty$ की ओर जाता है यदि हर $M$ के लिए ऐसा $\delta > 0$ हो कि जब भी $x \in D$ और $\abs{x - a} \leq \delta$ हों तब $f(x) \geq M$ हो। एकपक्षीय सीमाएँ ( $x \to a^+$ , $x \to a^-$ ) $x$ को $x > a$ या $x < a$ तक सीमित कर देती हैं।

उदाहरण 21.3

$\lim\limits_{x\to+\infty} \frac{1}{x} = 0$ , $\lim\limits_{x\to 0^+} \frac{1}{x} = +\infty$ , $\lim\limits_{x\to 0^-} \frac{1}{x} = -\infty$ । फलन $x \mapsto \frac1x$ की $0$ पर कोई (द्विपक्षीय) सीमा नहीं है।

परिभाषा 21.4 (अनन्तस्पर्शी)

रेखा $y = \ell$ $+\infty$ पर (क्रमशः $-\infty$ पर) $f$ के वक्र की क्षैतिज अनन्तस्पर्शी है यदि $\lim_{x\to+\infty} f(x) = \ell$ हो (क्रमशः $-\infty$ पर)। रेखा $x = a$ ऊर्ध्वाधर अनन्तस्पर्शी है यदि $a$ पर $f$ की कोई एकपक्षीय सीमा अनंत हो।

f(x) = 2 + 1/x-1 का वक्र, उसकी क्षैतिज अनन्तस्पर्शी y = 2 (±∈fty पर) और ऊर्ध्वाधर अनन्तस्पर्शी x = 1 के साथ। — $f(x) = 2 + \frac{1}{x-1}$ का वक्र, उसकी क्षैतिज अनन्तस्पर्शी $y = 2$ ( $\pm\infty$ पर) और ऊर्ध्वाधर अनन्तस्पर्शी $x = 1$ के साथ।

प्रतिज्ञप्ति 21.5 (सीमाओं पर संक्रियाएँ)

प्रतिज्ञप्ति 20.14 के नियम (योग, गुणनफल, भागफल) फलनों की सीमाओं के लिए भी ज्यों के त्यों लागू होते हैं, चाहे किसी बिंदु पर हों या अनंत पर, और वही चार अनिर्धार्य रूप $(+\infty)+(-\infty)$ , $0\times\infty$ , $\frac{\infty}{\infty}$ , $\frac{0}{0}$ रहते हैं।

उपपत्ति. उपपत्तियाँ अनुक्रमों वाली स्थिति जैसी ही हैं, केवल “ $n \geq N$ के लिए” के स्थान पर “ $x \geq A$ के लिए” या “ $\abs{x-a} \leq \delta$ के लिए” रख दीजिए। ∎

प्रमेय 21.6 (संयोजन की सीमा)

मान लीजिए $f, g$ फलन हैं और $a, b, c$ वास्तविक संख्याएँ या $\pm\infty$ हैं। यदि $\lim\limits_{x \to a} f(x) = b$ और $\lim\limits_{y \to b} g(y) = c$ हों, तो

\lim_{x \to a} g\bigl(f(x)\bigr) = c .

यही कथन $f$ के स्थान पर किसी अनुक्रम के साथ भी सही है: यदि $u_n \to b$ और $\lim_{y\to b} g(y) = c$ हों, तो $g(u_n) \to c$ ।

उपपत्ति. $b, c$ को परिमित लीजिए (शेष स्थितियाँ इसी जैसी हैं)। मान लीजिए $\varepsilon > 0$ है। ऐसा $\delta > 0$ है कि $\abs{y - b} \leq \delta$ से $\abs{g(y) - c} \leq \varepsilon$ निकलता है; और ऐसा $\delta' > 0$ है कि $\abs{x - a} \leq \delta'$ से $\abs{f(x) - b} \leq \delta$ निकलता है। दोनों को जोड़ने पर $\abs{x - a} \leq \delta'$ के लिए $\abs{g(f(x)) - c} \leq \varepsilon$ मिलता है। ∎

प्रमेय 21.7 (तुलना और संपीडन)

मान लीजिए $f, g, h$ फलन हैं और $a \in \R \cup \{\pm\infty\}$ है।

यदि $a$ के पास $f \leq g$ हो और $x \to a$ पर $f(x) \to +\infty$ हो, तो $g(x) \to +\infty$ ।
यदि $a$ के पास $f \leq g \leq h$ हो और $f, h$ $a$ पर एक ही परिमित सीमा $\ell$ की ओर जाएँ, तो $x \to a$ पर $g(x) \to \ell$ ।

उपपत्ति. वही तर्क जो अनुक्रमों के लिए था (प्रमेय 20.16)। ∎

विधि 21.8 (व्यवहार में सीमाएँ निकालना)

$\pm\infty$ पर बहुपद और परिमेय फलन: $x$ की सबसे बड़ी घात बाहर निकाल लीजिए; सीमा अग्र पदों के अनुपात की सीमा होती है।
किसी बिंदु $a$ पर $\frac{0}{0}$ : अंश और हर दोनों से $(x-a)$ बाहर निकालिए, या किसी अवकलज $\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a} = f'(a)$ को पहचानिए (अध्याय 22)।
वर्गमूल: संयुग्मी व्यंजक से गुणा कीजिए।
दोलन करते गुणनखंड ( $\cos$ , $\sin$ ): संपीडन प्रमेय काम में लाइए।

21.2 सांतत्य

परिभाषा 21.9 (सांतत्य)

मान लीजिए $f$ किसी अंतराल $I$ पर परिभाषित है और $a \in I$ है। फलन $f$ $a$ पर संतत है यदि $\lim\limits_{x \to a} f(x) = f(a)$ हो। वह $I$ पर संतत है यदि वह $I$ के हर बिंदु पर संतत हो।

अंतर्ज्ञान से: किसी अंतराल पर संतत फलन का आलेख क़लम उठाए बिना खींचा जा सकता है।

प्रतिज्ञप्ति 21.10 (सामान्य फलनों का सांतत्य)

बहुपद, परिमेय फलन, $x \mapsto \sqrt{x}$ , $x \mapsto \abs{x}$ , $\cos$ , $\sin$ , $\exp$ और $\ln$ अपने प्रांत में समाए हर अंतराल पर संतत हैं। संतत फलनों के योग, गुणनफल, भागफल (जहाँ परिभाषित हों) और संयोजन भी संतत होते हैं।

आंशिक उपपत्ति. योग, गुणनफल, भागफल और संयोजन के अंतर्गत बंदपन सीमाओं की संगत प्रमेयों से निकलता है। $x \mapsto x$ और अचर फलनों का सांतत्य परिभाषा से तत्काल मिल जाता है, इसलिए बहुपद और परिमेय फलन संतत हैं। शेष सामान्य फलनों का सांतत्य उन्हीं अध्यायों में सिद्ध होता है जहाँ उनकी रचना होती है, या स्वीकार कर लिया जाता है। ∎

उदाहरण 21.11

महत्तम पूर्णांक फलन $x \mapsto \floor{x}$ ( $\leq x$ वाला सबसे बड़ा पूर्णांक) किसी भी पूर्णांक $n$ पर संतत नहीं है: वहाँ उसकी बाईं सीमा $n - 1$ है जबकि $\floor{n} = n$ ।

महत्तम पूर्णांक फलन हर पूर्णांक पर उछल जाता है: मान (भरा बिंदु) बाईं सीमा (खोखला बिंदु) से भिन्न है।

प्रतिज्ञप्ति 21.12 (अनुक्रम और सांतत्य)

यदि $u_n \to \ell$ हो और $f$ $\ell$ पर संतत हो, तो $f(u_n) \to f(\ell)$ । विशेष रूप से, यदि $u_{n+1} = f(u_n)$ से परिभाषित कोई अनुक्रम $\ell$ पर अभिसरित हो और $f$ $\ell$ पर संतत हो, तो $f(\ell) = \ell$ ।

उपपत्ति. पहला दावा प्रमेय 21.6 को अनुक्रम $(u_n)$ के साथ लगाने पर मिलता है। दूसरे के लिए $u_{n+1} = f(u_n)$ के दोनों पक्षों में सीमा लीजिए: बायाँ पक्ष $\ell$ की ओर जाता है, दाहिना $f(\ell)$ की ओर, और सीमाएँ अद्वितीय होती हैं। ∎

21.3 मध्यवर्ती मान प्रमेय

प्रमेय 21.13 (मध्यवर्ती मान प्रमेय)

मान लीजिए $f$ $\intcc{a}{b}$ पर संतत है और $k$ $f(a)$ तथा $f(b)$ के बीच की कोई संख्या है। तब ऐसा $c \in \intcc{a}{b}$ है कि $f(c) = k$ हो।

मध्यवर्ती मान प्रमेय: (a, f(a)) को (b, f(b)) से जोड़ने वाले किसी भी संतत वक्र को f(a) और f(b) के बीच पड़ी हर क्षैतिज रेखा y = k को पार करना ही पड़ता है। — मध्यवर्ती मान प्रमेय: $(a, f(a))$ को $(b, f(b))$ से जोड़ने वाले किसी भी संतत वक्र को $f(a)$ और $f(b)$ के बीच पड़ी हर क्षैतिज रेखा $y = k$ को पार करना ही पड़ता है।

उपपत्ति. $f$ के स्थान पर $f - k$ रखकर (और आवश्यकता हो तो $k - f$ से बदलकर) हम मान सकते हैं कि $f(a) \leq 0 \leq f(b)$ है और $f$ का शून्य ढूँढ़ रहे हैं। हम द्विभाजन से दो अनुक्रम बनाते हैं: $a_0 = a$ , $b_0 = b$ रखिए; $f(a_n) \leq 0 \leq f(b_n)$ वाले $a_n \leq b_n$ दिए होने पर $m = \frac{a_n + b_n}{2}$ लीजिए और परिभाषित कीजिए

(a_{n+1}, b_{n+1}) = \begin{cases} (a_n, m) & \text{यदि } f(m) \geq 0,\\ (m, b_n) & \text{यदि } f(m) < 0. \end{cases}

दोनों स्थितियों में $f(a_{n+1}) \leq 0 \leq f(b_{n+1})$ रहता है, अनुक्रम $(a_n)$ वर्धमान है, $(b_n)$ ह्रासमान है, और $b_n - a_n = \frac{b-a}{2^n} \to 0$ : अनुक्रम संलग्न हैं (अभ्यास 20.10 देखिए) और एक उभयनिष्ठ सीमा $c \in \intcc{a}{b}$ पर अभिसरित होते हैं। सांतत्य से $f(a_n) \to f(c)$ और $f(b_n) \to f(c)$ ; $f(a_n) \leq 0$ तथा $f(b_n) \geq 0$ में सीमा लेने पर $f(c) \leq 0 \leq f(c)$ मिलता है, इसलिए $f(c) = 0$ । ∎

टिप्पणी 21.14

द्विभाजन वाली उपपत्ति एक कलनविधि है: वह किसी हल के मनचाहे यथार्थ सन्निकटन दे देती है और हर क़दम पर त्रुटि आधी कर देती है। संगणक केवल $f$ का मान निकालना जानते हुए भी $f(x) = 0$ इसी तरह हल कर लेता है।

प्रमेय 21.15 (एकैकी आच्छादन प्रमेय)

मान लीजिए $f$ किसी अंतराल $I$ पर संतत और निरंतर एकदिष्ट है। तब $I$ के सिरों पर $f$ की सीमाओं के कड़ाई से बीच पड़ने वाले हर $k$ के लिए समीकरण $f(x) = k$ का $I$ में अद्वितीय हल है।

उपपत्ति. अस्तित्व: ऐसे $a, b \in I$ चुनिए कि $k$ $f(a)$ और $f(b)$ के बीच हो (यह संभव है क्योंकि $f$ के मान उसकी सिरा-सीमाओं के पास पहुँचते हैं), और $\intcc{a}{b}$ पर मध्यवर्ती मान प्रमेय लगाइए। अद्वितीयता: यदि $x < y$ हो, तो निरंतर एकदिष्टता से $f(x) \neq f(y)$ मिलता है, इसलिए दो भिन्न बिंदु दोनों हल नहीं हो सकते। ∎

विधि 21.16 (एकैकी आच्छादन प्रमेय से $f(x) = k$ हल करना)

यह सिद्ध करने के लिए कि किसी अंतराल में $f(x) = k$ का ठीक एक हल है:

$f$ की परिवर्तन-सारणी बनाइए ( $f'$ का चिह्न, अध्याय 22 देखिए);
हर उस अंतराल पर जहाँ $f$ संतत और निरंतर एकदिष्ट है, $k$ की तुलना सिरों के मानों या सीमाओं से कीजिए;
ऐसे हर अंतराल पर एकैकी आच्छादन प्रमेय लगाइए और हल गिन लीजिए।

इसके बाद कैलकुलेटर या द्विभाजन हर हल को जितना चाहें उतना बारीकी से बता देता है।

उदाहरण 21.17

समीकरण $x^3 + x = 1$ का ठीक एक वास्तविक हल है। सचमुच $f(x) = x^3 + x$ $\R$ पर संतत और निरंतर वर्धमान है (निरंतर वर्धमान फलनों के योग के रूप में), $\lim_{-\infty} f = -\infty$ और $\lim_{+\infty} f = +\infty$ , इसलिए $k = 1$ के साथ एकैकी आच्छादन प्रमेय लागू होती है। चूँकि $f(0.6) = 0.816 < 1$ और $f(0.7) = 1.043 > 1$ हैं, इसलिए हल $\intoo{0.6}{0.7}$ में है।

21.4 अभ्यास

अभ्यास 21.1 ★

निम्नलिखित सीमाएँ निकालिए:

\lim_{x\to+\infty} \frac{2x^3 - x + 1}{5x^3 + x^2}, \qquad \lim_{x\to-\infty} \bigl(x^2 + 3x - 1\bigr), \qquad \lim_{x\to 2^+} \frac{x+1}{x-2}, \qquad \lim_{x\to+\infty} \frac{\cos x}{x}.

हल

हल — अभ्यास 21.1.

$x^3$ से भाग देने पर: $\dfrac{2x^3 - x + 1}{5x^3 + x^2} = \dfrac{2 - 1/x^2 + 1/x^3}{5 + 1/x} \to \dfrac{2}{5}$ ।

$x \to -\infty$ पर $x^2 + 3x - 1 = x^2(1 + 3/x - 1/x^2) \to +\infty$ , क्योंकि $x^2 \to +\infty$ और कोष्ठक $1$ की ओर जाता है।

$x \to 2^+$ पर अंश $3 > 0$ की ओर और हर $0^+$ की ओर जाता है, इसलिए $\dfrac{x+1}{x-2} \to +\infty$ ।

$x > 0$ के लिए $-\dfrac1x \leq \dfrac{\cos x}{x} \leq \dfrac1x$ , इसलिए संपीडन प्रमेय से सीमा $0$ है।

अभ्यास 21.2 ★

मान लीजिए $x \neq 1$ के लिए परिभाषित $f(x) = \dfrac{2x^2 - 3x + 1}{x - 1}$ है।

दिखाइए कि सभी $x \neq 1$ के लिए $f(x) = 2x - 1$ है।
$\lim\limits_{x \to 1} f(x)$ निष्कर्ष निकालिए। क्या $f$ को $1$ पर संतत फलन तक बढ़ाया जा सकता है?

हल

हल — अभ्यास 21.2.

1. $2x^2 - 3x + 1 = (x-1)(2x-1)$ (मूल $x=1$ $2 - 3 + 1 = 0$ से स्पष्ट है)। $x \neq 1$ के लिए $x - 1$ काटिए: $f(x) = 2x - 1$ ।

2. अतः $\lim_{x\to1} f(x) = 1$ । $f(1) = 1$ रखने पर $f$ $\R$ पर बहुपद फलन $x \mapsto 2x-1$ तक बढ़ जाता है, जो $1$ पर संतत है।

अभ्यास 21.3 ★

$f(x) = \dfrac{3x - 1}{x + 2}$ के वक्र की अनन्तस्पर्शियाँ ज्ञात कीजिए और वक्र का रेखाचित्र बनाइए।

हल

हल — अभ्यास 21.3.

$f(x) = \dfrac{3x - 1}{x + 2} = \dfrac{3(x+2) - 7}{x+2} = 3 - \dfrac{7}{x+2}$ लिखिए। $x \to \pm\infty$ पर $f(x) \to 3$ : रेखा $y = 3$ दोनों अनंतों पर क्षैतिज अनन्तस्पर्शी है। $x \to (-2)^\pm$ पर $f(x) \to \mp\infty$ : रेखा $x = -2$ ऊर्ध्वाधर अनन्तस्पर्शी है। वक्र एक अतिपरवलय है, जो $x > -2$ के लिए $y=3$ से नीचे और $x < -2$ के लिए उससे ऊपर है।

अभ्यास 21.4 ★★

निकालिए:

\lim_{x\to+\infty} \bigl(\sqrt{x^2 + x} - x\bigr) \qquad\text{और}\qquad \lim_{x\to 0} \frac{\sqrt{1+x} - 1}{x}.

हल

हल — अभ्यास 21.4.

संयुग्मी से गुणा कीजिए:

\sqrt{x^2 + x} - x = \frac{x^2 + x - x^2}{\sqrt{x^2+x} + x} = \frac{x}{x\left(\sqrt{1 + 1/x} + 1\right)} = \frac{1}{\sqrt{1 + 1/x} + 1} \xrightarrow[x\to+\infty]{} \frac{1}{2}.

इसी तरह

\frac{\sqrt{1+x} - 1}{x} = \frac{(1+x) - 1}{x\left(\sqrt{1+x} + 1\right)} = \frac{1}{\sqrt{1+x} + 1} \xrightarrow[x\to0]{} \frac{1}{2}.

अभ्यास 21.5 ★★

मान लीजिए $f(x) = x + \sin x$ है।

दिखाइए कि $x \to +\infty$ पर $f(x) \to +\infty$ है, यद्यपि $f$ किसी भी अंतराल $\intco{A}{+\infty}$ पर एकदिष्ट नहीं है।
दिखाइए कि $g(x) = \dfrac{x + \sin x}{x - \sin x}$ $+\infty$ पर $1$ की ओर जाता है।

हल

हल — अभ्यास 21.5.

1. चूँकि $\sin x \geq -1$ है, इसलिए $f(x) \geq x - 1 \to +\infty$ , और तुलना से निष्कर्ष निकल आता है। फिर भी $f'(x) = 1 + \cos x$ $\pi$ के हर विषम गुणज पर लुप्त हो जाता है, और हर अंतराल $\intco{A}{+\infty}$ पर फलन कड़ी वृद्धि वाले अंतरालों के बीच बदलता रहता है; वह वर्धमान है पर निरंतर नहीं, और इससे भी बड़ी बात यह कि उसकी वृद्धि की आवश्यकता ही नहीं: तुलना पर्याप्त है।

2. $x > 1$ के लिए $x$ से भाग दीजिए:

g(x) = \frac{1 + \frac{\sin x}{x}}{1 - \frac{\sin x}{x}},

और संपीडन प्रमेय से $\frac{\sin x}{x} \to 0$ ( $\abs{\sin x} \leq 1$ )। अतः $g(x) \to \frac{1+0}{1-0} = 1$ ।

अभ्यास 21.6 ★★

दिखाइए कि समीकरण $x^3 - 3x + 1 = 0$ के ठीक तीन वास्तविक हल हैं, और हर एक के लिए $1$ लंबाई का एक अंतराल बताइए जिसमें वह हो। (संकेत: $f(x) = x^3 - 3x + 1$ के परिवर्तन का अध्ययन कीजिए; उसका अवकलज $3x^2 - 3$ है।)

हल

हल — अभ्यास 21.6.

$f(x) = x^3 - 3x + 1$ संतत है, और $f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x-1)(x+1)$ : $f$ $\intoc{-\infty}{-1}$ पर बढ़ता है, $\intcc{-1}{1}$ पर घटता है, $\intco{1}{+\infty}$ पर बढ़ता है, तथा उसका स्थानीय अधिकतम $f(-1) = 3 > 0$ और स्थानीय न्यूनतम $f(1) = -1 < 0$ है, $\lim_{-\infty} f = -\infty$ , $\lim_{+\infty} f = +\infty$ ।

एकदिष्टता के तीनों अंतरालों में से हर एक पर $f$ संतत और निरंतर एकदिष्ट है, और $0$ सिरों के मानों/सीमाओं के कड़ाई से बीच पड़ता है, इसलिए एकैकी आच्छादन प्रमेय हर अंतराल में ठीक एक शून्य देती है: कुल तीन शून्य। चिह्नों की जाँच: $f(-2) = -1 < 0 < f(-1) = 3$ , इसलिए $\intoo{-2}{-1}$ में एक शून्य; $f(0) = 1 > 0 > f(1) = -1$ , $\intoo{0}{1}$ में एक शून्य; $f(1) = -1 < 0 < f(2) = 3$ , $\intoo{1}{2}$ में एक शून्य।

अभ्यास 21.7 ★★

मान लीजिए $f \colon \intcc{0}{1} \to \intcc{0}{1}$ संतत है। दिखाइए कि $f$ का कोई स्थिर बिंदु है: अर्थात् ऐसा $c \in \intcc{0}{1}$ है जिसके लिए $f(c) = c$ हो। (संकेत: $g(x) = f(x) - x$ पर मध्यवर्ती मान प्रमेय लगाइए।)

हल

हल — अभ्यास 21.7.

मान लीजिए $g(x) = f(x) - x$ है, जो $\intcc{0}{1}$ पर संतत है। चूँकि $f(0) \in \intcc{0}{1}$ है, इसलिए $g(0) = f(0) \geq 0$ ; और चूँकि $f(1) \in \intcc{0}{1}$ है, इसलिए $g(1) = f(1) - 1 \leq 0$ । मध्यवर्ती मान प्रमेय से $g$ किसी $c \in \intcc{0}{1}$ पर लुप्त हो जाता है, अर्थात् $f(c) = c$ ।

अभ्यास 21.8 ★★★

एक पदयात्री पहाड़ी रास्ते पर 8:00 बजे चढ़ना शुरू करती है और 20:00 बजे पहुँच जाती है। अगले दिन वह उसी रास्ते से उतरती है, फिर 8:00 बजे शुरू करके 20:00 बजे पहुँचती है। दिखाइए कि दिन का कोई ऐसा समय है जब वह दोनों दिन रास्ते के ठीक एक ही बिंदु पर थी। (संकेत: दोनों स्थिति-फलनों का अंतर लीजिए।)

हल

हल — अभ्यास 21.8.

मान लीजिए $u(t)$ और $d(t)$ समय $t \in \intcc{8}{20}$ पर चढ़ाई और उतराई के दिन की स्थितियाँ हैं (रास्ते के तल से दूरी के रूप में नापी गईं)। दोनों संतत हैं, $u(8) = 0$ , $u(20) = L$ (रास्ते की लंबाई), $d(8) = L$ , $d(20) = 0$ । फलन $g = u - d$ संतत है, जिसमें $g(8) = -L \leq 0$ और $g(20) = L \geq 0$ हैं, इसलिए मध्यवर्ती मान प्रमेय से किसी समय $c$ पर $g(c) = 0$ : समय $c$ पर दोनों दिनों की स्थितियाँ मेल खा जाती हैं।

अभ्यास 21.9 ★★★

मान लीजिए $f(x) = x^5 + x^3 + x - 1$ है।

दिखाइए कि $f$ का अद्वितीय वास्तविक शून्य $\alpha$ है, और $\alpha \in \intoo{0}{1}$ है।
$\alpha$ को $10^{-6}$ तक निकालने की द्विभाजन प्रक्रिया का वर्णन कीजिए, और $\intcc{0}{1}$ से शुरू करने पर आवश्यक पुनरावृत्तियों की संख्या बताइए।

हल

हल — अभ्यास 21.9.

1. $f'(x) = 5x^4 + 3x^2 + 1 > 0$ , इसलिए $f$ $\R$ पर निरंतर वर्धमान है; और $\lim_{\pm\infty} f = \pm\infty$ तथा सांतत्य के साथ एकैकी आच्छादन प्रमेय एक अद्वितीय वास्तविक शून्य $\alpha$ देती है। चूँकि $f(0) = -1 < 0$ और $f(1) = 2 > 0$ हैं, इसलिए $\alpha \in \intoo{0}{1}$ ।

2. $\intcc{0}{1}$ से शुरू करके ऐसा अंतराल $\intcc{a_n}{b_n}$ बनाए रखिए जिसमें $f(a_n) < 0 < f(b_n)$ हो; हर क़दम पर मध्यबिंदु $m$ पर $f$ का मान निकालिए और वही अर्ध-अंतराल रखिए जिस पर चिह्न-परिवर्तन बना रहे। $n$ क़दमों के बाद अंतराल की लंबाई $2^{-n}$ हो जाती है, इसलिए मध्यबिंदु $\alpha$ का $2^{-(n+1)}$ तक सन्निकटन देता है। हमें $2^{-(n+1)} \leq 10^{-6}$ चाहिए, अर्थात् $n + 1 \geq \frac{6}{\log_{10} 2} \approx 19.93$ : $n = 20$ पुनरावृत्तियाँ पर्याप्त हैं।

21.5 समस्या: नदी बिना भीगे पार नहीं होती

समस्या 21.1

सप्ताहांत समस्या — मध्यवर्ती मान प्रमेय स्थिर बिंदु, समान-ताप वाले प्रतिध्रुवी बिंदु और स्थिर मेज़ें ज़बरदस्ती पैदा कर देती है: एक ही विचार से तीन असंभव लगने वाली प्रमेय

किसी देश का नक्शा मसलकर उसी देश की ज़मीन पर कहीं भी गिरा दीजिए: नक्शे का कोई बिंदु ठीक उसी जगह के ऊपर होगा जिसे वह दर्शाता है। हर क्षण भूमध्य रेखा के दो व्यास-विपरीत बिंदुओं का ताप ठीक एक ही होता है। और ऊबड़-खाबड़ ज़मीन पर डगमगाती चौकोर मेज़ को घुमाकर हमेशा स्थिर किया जा सकता है। तीन तमाशे, एक प्रमेय: कोई संतत राशि ऋणात्मक से धनात्मक तक बिना लुप्त हुए नहीं जा सकती (प्रमेय 21.13)। यह समस्या पहले सीमाओं का अभ्यास कराती है, फिर तीनों चमत्कार खड़े करती है — और यह भी ठीक-ठीक जानती है कि यह प्रमेय क्या वादा नहीं करती।

भाग I — सीमाओं में प्रवाह।

$\lim_{x \to +\infty} \dfrac{3x^2 - x}{x^2 + 5}$ , $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{2x + 1}{x^2 + 1}$ , और $\lim_{x \to +\infty} (x^3 - x^2)$ निकालिए (विधि 21.8)।
संगत सीमाएँ निकालकर $f(x) = \dfrac{3x - 1}{x + 2}$ की अनन्तस्पर्शियाँ बताइए (परिभाषा 21.4)।
$\lim_{x \to 3} \dfrac{x^2 - 9}{x - 3}$ (गुणनखंडन से) और $\lim_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{x + 1} - 1}{x}$ (संयुग्मी से) निकालिए।
संपीडन प्रमेय (प्रमेय 21.7) से: $\lim_{x \to 0} x \sin\frac1x$ और $\lim_{x \to +\infty} \frac{\sin x}{x}$ निकालिए।
संयोजन और हावी पदों से: $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\sqrt{4x^2 + x}}{x}$ ।

भाग II — मूल, प्रमाणित।

दिखाइए कि समीकरण $x^3 + x = 5$ का $\intcc{1}{2}$ में कम से कम एक हल है।
दिखाइए कि $\R$ पर हल अद्वितीय है (प्रमेय 21.15)।
चिरपरिचित परिणाम सिद्ध कीजिए: विषम घात के हर बहुपद का कम से कम एक वास्तविक मूल होता है। ( $p(x) = x^3 + a x^2 + b x + c$ के लिए पूरा तर्क लिखिए: हावी पद से दोनों अनंत सीमाएँ निकालिए, फिर किसी बड़े अंतराल पर मध्यवर्ती मान प्रमेय लगाइए।)
प्रश्न 6 के मूल को द्विभाजन से ढूँढ़ना: $10^{-6}$ से कम त्रुटि की गारंटी के लिए $\intcc{1}{2}$ को कितनी बार आधा करना पड़ेगा (अभ्यास 21.9)? समस्या 12.1 की न्यूटन विधि के अंक-दुगुनेपन से तुलना कीजिए: उसे मोटे तौर पर कितने क़दम चाहिए होते?
वह प्रतिउदाहरण जो प्रमेय की पहरेदारी करता है: $g(x) = \frac1x$ $g(-1) = -1 < 0$ और $g(1) = 1 > 0$ संतुष्ट करता है, फिर भी कभी लुप्त नहीं होता। मध्यवर्ती मान प्रमेय की कौन-सी परिकल्पना टूट जाती है — और परिकल्पनाएँ जाँचने के बारे में यह उदाहरण क्या सिखाता है?

भाग III — तीन असंभव लगने वाली प्रमेय।

रेखाखंड की स्थिर-बिंदु प्रमेय: यदि $f : \intcc{0}{1} \to \intcc{0}{1}$ संतत हो, तो सिद्ध कीजिए कि कोई $c$ $f(c) = c$ को संतुष्ट करता है। ( $g(x) = f(x) - x$ का दोनों सिरों पर अध्ययन कीजिए।)
प्रश्न 11 को मसले हुए नक्शे की भाषा में उतारिए: $f$ की भूमिका कौन निभाता है, वह $\intcc{0}{1}$ में (लाक्षणिक रूप से: देश के भीतर) क्यों गिरता है, और वह बिंदु कौन-सा है जो ठीक अपनी ही जगह के ऊपर है? (एक विमा चुपचाप स्वीकार कर ली गई है — ईमानदार द्विविमीय कथन ब्राउवर की प्रमेय है, जो स्नातक खंडों में है।)
भूमध्य रेखा: मान लीजिए $T$ किसी वृत्त पर संतत ताप है, जिसे $T(0) = T(2\pi)$ वाले $2\pi$ -आवर्ती फलन के रूप में देखा जाए। $g(t) = T(t) - T(t + \pi)$ रखिए। $g(0) + g(\pi)$ निकालिए, निष्कर्ष निकालिए कि $g$ $\intcc{0}{\pi}$ पर कहीं लुप्त होता है, और प्रतिध्रुवी बिंदुओं वाली प्रमेय बताइए।
डगमगाती मेज़: बिलकुल कड़ी चौकोर मेज़ संतत (कोई सीढ़ी नहीं!) ऊबड़-खाबड़ ज़मीन पर खड़ी है; तीन पाए हमेशा ज़मीन छूते हैं और एक $h(\theta)$ ऊँचाई पर लटका रहता है, जो मेज़ के घूर्णन-कोण $\theta$ पर संतत रूप से निर्भर करती है। समझाइए कि एक चौथाई चक्कर घुमाने पर लटकते अंतराल का चिह्न बदलना क्यों अनिवार्य है — और निष्कर्ष निकालिए कि कोई कोण $\theta^*$ चारों पाए ज़मीन पर टिका देता है। (यह तर्क 2005 में एक असली प्रमेय के रूप में छपा था; कैफ़े के मालिक यह तरकीब पहले से जानते थे।)
अभ्यास 21.8 की पदयात्री ने यही ढाँचा काम में लाया था। प्रश्न 11, 13, 14 और पदयात्री में साझा ढाँचा तीन पंक्तियों में बताइए — कौन-सा फलन बनाइए, सिरों पर क्या जाँचिए, और किसका हवाला दीजिए।
मध्यवर्ती मान प्रमेय जो नहीं देती: अस्तित्व मुफ़्त में मिला, पर वह कौन-से दो प्रश्न खुले छोड़ देती है, और इस समस्या के कौन-से औज़ार उनका उत्तर देते हैं (प्रश्न 7 और 9)?

भाग IV — अनन्तस्पर्शियों सहित चित्र।

$f(x) = \dfrac{3x - 1}{x + 2}$ को $3 - \dfrac{7}{x + 2}$ के रूप में फिर से लिखिए और उससे वक्र का पूरा वर्णन कीजिए: अनन्तस्पर्शियाँ, हर ओर के परिवर्तन, रेखाचित्र। (एक खिसका हुआ अतिपरवलय — समस्या 4.1 का औसत-लागत वक्र भी वही था।)
फलन $f(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x - 1}$ $1$ पर परिभाषित नहीं है। $f(1)$ को कौन-सा मान देने से वह वहाँ संतत हो जाता है — और विश्लेषक ऐसे बिंदु को हटाने योग्य असांतत्य क्यों कहते हैं?
महत्तम पूर्णांक फलन $x \mapsto \lfloor x \rfloor$ ( $\leq x$ वाला सबसे बड़ा पूर्णांक): वह कहाँ संतत है, कहाँ उछलता है, और उसके लिए मध्यवर्ती मान प्रमेय का निष्कर्ष क्यों टूट जाता है (ऐसा $a < b$ ढूँढ़िए जिसके लिए $\lfloor a \rfloor < \frac12 < \lfloor b \rfloor$ हो पर $\lfloor x \rfloor = \frac12$ का कोई हल न हो)?
समापन — सांतत्य के दो चेहरे: स्थानीय वादा (मान $=$ सीमा: कोई छलाँग नहीं) और वैश्विक शक्ति (मध्यवर्ती मान प्रमेय: हर मध्यवर्ती मान छू लिया जाता है)। भाग III के चारों चमत्कारों को सही चेहरे के नीचे रखिए, और नदी पार करने वाले नारे को उसका ठीक-ठीक गणितीय नाम दीजिए।

हल

हल — समस्या 21.1.

1. हावी पद: $\frac{3x^2}{x^2} \to 3$ ; $\frac{2x}{x^2} = \frac2x \to 0$ ; $x^3 - x^2 = x^3\left(1 - \frac1x\right) \to +\infty$ ।

2. $\lim_{x \to \pm\infty} f = 3$ : क्षैतिज अनन्तस्पर्शी $y = 3$ ; $\lim_{x \to (-2)^\pm} f = \mp\infty$ : ऊर्ध्वाधर अनन्तस्पर्शी $x = -2$ ।

3. $\frac{(x-3)(x+3)}{x - 3} = x + 3 \to 6$ । और $\frac{\sqrt{x+1} - 1}{x} = \frac{x}{x(\sqrt{x+1} + 1)} = \frac{1}{\sqrt{x+1} + 1} \to \frac12$ ।

4. $\abs{x \sin\frac1x} \leq \abs x \to 0$ , इसलिए सीमा $0$ है। और $\abs{\frac{\sin x}{x}} \leq \frac1x \to 0$ : सीमा $0$ ।

5. $\frac{\sqrt{4x^2 + x}}{x} = \sqrt{4 + \frac1x} \to \sqrt4 = 2$ (वर्गमूल का सांतत्य, संयोजन)।

6. $f(x) = x^3 + x$ संतत है और $f(1) = 2 < 5 < 10 = f(2)$ : मध्यवर्ती मान प्रमेय से किसी $c \in \intoo{1}{2}$ के लिए $f(c) = 5$ ।

7. $f'(x) = 3x^2 + 1 > 0$ : $\R$ पर निरंतर वर्धमान, संतत, और सीमाएँ $\mp\infty$ : एकैकी आच्छादन प्रमेय से हर मान — विशेष रूप से $5$ — ठीक एक बार प्राप्त होता है।

8. $p(x) = x^3\left(1 + \frac ax + \frac{b}{x^2} + \frac{c}{x^3}\right)$ : $x \to +\infty$ पर $p \to +\infty$ ; और $x \to -\infty$ पर $p \to -\infty$ । इसलिए किसी विशाल अंतराल $\intcc{-M}{M}$ पर $p(-M) < 0 < p(M)$ : मध्यवर्ती मान प्रमेय मूल दे देती है। वही हावी-पद वाला तर्क किसी भी विषम घात के लिए ज्यों का त्यों चलता है — विषम घातें दोनों अनंतों पर विपरीत चिह्न बनाए रखती हैं।

9. $n$ बार आधा करने पर लंबाई $2^{-n}$ का अंतराल बचता है; $2^{-20} \approx 9.5 \times 10^{-7} < 10^{-6}$ : बीस क़दम। न्यूटन हर क़दम पर सही अंक दुगुने कर देता है: एक सही अंक से छह तक पहुँचने में लगभग $3$ – $4$ क़दम — मूल ढूँढ़ने की दुनिया के कछुआ और शिकारी कुत्ता।

10. $g$ $\intcc{-1}{1}$ पर संतत नहीं है: वह $0$ पर फट पड़ता है, जो उस अंतराल में है। मध्यवर्ती मान प्रमेय का निष्कर्ष उसकी परिकल्पना के साथ ही उड़ जाता है — सांतत्य सदा पूरे अंतराल पर जाँचिए, केवल सिरों पर नहीं।

11. $g(x) = f(x) - x$ संतत है; $g(0) = f(0) \geq 0$ (मान $\intcc{0}{1}$ में हैं) और $g(1) = f(1) - 1 \leq 0$ । मध्यवर्ती मान प्रमेय से किसी $c$ के लिए $g(c) = 0$ : $f(c) = c$ ।

12. देश को रेखाखंड $\intcc{0}{1}$ मानकर आदर्शीकरण कीजिए: $f$ हर स्थान को उस स्थान पर भेजता है जो मसले हुए नक़्शे पर ठीक उसके नीचे दिखता है; मसलने से नक़्शा देश के ऊपर ही रहता है, इसलिए $f$ $\intcc{0}{1}$ में गिरता है, और वह संतत है (काग़ज़ फटता नहीं)। स्थिर बिंदु $c$ वही जगह है जो ठीक अपने ही प्रतिबिंब के ऊपर है — ईमानदार द्विविमीय नक़्शे को ब्राउवर की प्रमेय सँभालती है।

13. $g(0) + g(\pi) = \left(T(0) - T(\pi)\right) + \left(T(\pi) - T(2\pi)\right) = T(0) - T(2\pi) = 0$ । इसलिए $g(0)$ और $g(\pi)$ परस्पर विपरीत हैं (या दोनों शून्य): दोनों ही स्थितियों में संतत $g$ किसी $t^* \in \intcc{0}{\pi}$ पर लुप्त हो जाता है: $T(t^*) = T(t^* + \pi)$ — यानी भूमध्य रेखा पर कहीं न कहीं, हर एक क्षण, दो प्रतिध्रुवी बिंदुओं का ताप एक ही होता है।

14. मेज़ को एक चौथाई चक्कर घुमाने से दोनों विकर्णों की भूमिकाएँ बदल जाती हैं: जो पाए ज़मीन दबा रहे थे और जिनमें से एक लटका था, उनकी स्थितियाँ आपस में बदल जाती हैं, इसलिए लटकने की ऊँचाई — जिसे “चुने हुए विकर्ण के अंतराल” के रूप में चिह्न सहित गिना जाए — $\theta$ और $\theta + \frac\pi2$ पर विपरीत चिह्न ले लेती है। संतत ज़मीन $h$ को संतत बना देती है, और मध्यवर्ती मान प्रमेय $h(\theta^*) = 0$ वाला कोई कोण $\theta^*$ सौंप देती है: चारों पाए ज़मीन पर। (आयताकार मेज़ या सीढ़ीदार ज़मीन के साथ ऐसा सौभाग्य नहीं।)

15. ढाँचा: जिन दो राशियों को मिलाना है उनका अंतर बनाइए ( $f(x) - x$ ; $T(t) - T(t + \pi)$ ; पदयात्री के लिए चढ़ाई-स्थिति घटा उतराई-स्थिति; मेज़ के लिए चिह्नित अंतराल); जाँचिए कि वह दोनों चिह्नों के मान लेता है (प्रायः सिरों की किसी सममिति से); और किसी संतत फलन पर मध्यवर्ती मान प्रमेय का हवाला दीजिए। मेल अनिवार्य।

16. खुले प्रश्न: हल कितने हैं (इसका उत्तर निरंतर एकदिष्टता और एकैकी आच्छादन प्रमेय ने दिया, प्रश्न 7) और वे कहाँ हैं (इसका उत्तर द्विभाजन या न्यूटन ने दिया, प्रश्न 9)। मध्यवर्ती मान प्रमेय शुद्ध अस्तित्व का भविष्यवक्ता है।

17. $3 - \frac{7}{x + 2}$ : ऊर्ध्वाधर अनन्तस्पर्शी $x = -2$ , क्षैतिज $y = 3$ ; $-2$ के दोनों ओर फलन वर्धमान है (जहाँ परिभाषित है वहाँ $-\frac{7}{x+2}$ बढ़ता है); वक्र आधार अतिपरवलय $-\frac7x$ ही है, जो $2$ बाईं ओर और $3$ ऊपर खिसका हुआ है — दो शाखाएँ अनन्तस्पर्शियों की क्रॉस से चिपकी हुई।

18. $x \neq 1$ के लिए $f(x) = x + 1$ , इसलिए $\lim_{x \to 1} f = 2$ : $f(1) = 2$ रखने पर सांतत्य लौट आता है। असांतत्य कोई उछाल नहीं, केवल एक छेद था — अकेला छूटा हुआ बिंदु भर दीजिए और वक्र भर जाता है: हटाने योग्य।

19. क्रमागत पूर्णांकों के बीच के हर अंतराल पर संतत; और हर पूर्णांक $n$ पर वह $n - 1$ से $n$ तक उछल जाता है। $a = 0.9$ के साथ $b = 1.1$ : $\lfloor a \rfloor = 0 < \frac12 < 1 = \lfloor b \rfloor$ , फिर भी $\lfloor x \rfloor = \frac12$ का कोई हल नहीं — उछाल $\frac12$ के ऊपर से छलाँग लगा जाता है, और ठीक यही मध्यवर्ती मान प्रमेय संतत फलनों को करने से मना करती है।

20. स्थानीय चेहरा: हर बिंदु पर मान $=$ सीमा — हटाने योग्य छेद (प्रश्न 18) ने उसका उल्लंघन इलाज-योग्य ढंग से किया, और महत्तम पूर्णांक फलन के उछालों (प्रश्न 19) ने लाइलाज ढंग से। वैश्विक चेहरा: किसी अंतराल पर सभी मध्यवर्ती मान छू लिए जाते हैं — मूल के प्रमाणपत्र (6–8), स्थिर बिंदु, भूमध्य रेखा, मेज़ और पदयात्री, सब यहीं रहते हैं। नारे का औपचारिक नाम: मध्यवर्ती मान प्रमेय।

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