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गणित · 术语表

什么是 अधिकतम, न्यूनतम？

又称： अधिकतम · न्यूनतम

परिभाषा 3.12 उच्च माध्यमिक गणित · 第 3 章 — फलन

मान लीजिए $f$ $D$ पर परिभाषित है और $a \in D$ है। मान $f(a)$ $D$ पर $f$ का अधिकतम है जब सभी $x \in D$ के लिए $f(x) \leq f(a)$ हो; और वह न्यूनतम है जब सभी $x \in D$ के लिए $f(x) \geq f(a)$ हो। आलेख पर ये वक्र के सबसे ऊँचे और सबसे नीचे बिंदु हैं।

f(x) = (x-1)2 + 2 का वक्र बिंदुदार रेखा y = 2 से कभी नीचे नहीं जाता, और x = 1 पर उसे छूता है: f का न्यूनतम 2 है। — $f(x) = (x-1)^2 + 2$ का वक्र बिंदुदार रेखा $y = 2$ से कभी नीचे नहीं जाता, और $x = 1$ पर उसे छूता है: $f$ का न्यूनतम $2$ है।

示例

उदाहरण 3.13

दिखाइए कि $f(x) = (x - 1)^2 + 2$ का $\R$ पर न्यूनतम $2$ है, जो $x = 1$ पर प्राप्त होता है। हर $x$ के लिए वर्ग $(x-1)^2$ $\geq 0$ है, इसलिए $f(x) = (x-1)^2 + 2 \geq 2$ ; और $f(1) = 0 + 2 = 2$ , इसलिए मान $2$ सचमुच प्राप्त होता है। ये दोनों तथ्य मिलकर सिद्ध करते हैं कि न्यूनतम $2$ है।

उदाहरण 3.10

नीचे $\intcc{-2}{4}$ पर आलेखित फलन पर विचार कीजिए।

[-2, 4] पर परिभाषित एक फलन, जो पहले बढ़ता है और फिर घटता है। — $\intcc{-2}{4}$ पर परिभाषित एक फलन, जो पहले बढ़ता है और फिर घटता है।

आलेख पढ़ने पर: $f$ $f(-2) = -1.5$ से बढ़कर अपने अधिकतम $f(1) = 3$ तक जाता है, फिर घटकर $f(4) = -1.5$ तक आता है। इसकी परिवर्तन-सारणी है

$x$	$-2$		$1$		$4$
$f$	$-1.5$	$\nearrow$	$3$	$\searrow$	$-1.5$

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