什么是 वलय？

उदाहरण 7.18

$\Z, \Q, \R, \C$ क्रमविनिमेय वलय हैं; $\Z^\times = \{1, -1\}$, $\Q^\times = \Q^*$। आगे: बहुपद वलय $K[X]$ (अध्याय 8), आव्यूह वलय (अक्रमविनिमेय, अध्याय 21), और नीचे $\Z/n\Z$। हर वलय में $0 \times a = 0$ (वितरणशीलता से: $0a = (0+0)a = 0a + 0a$), और $(-1)a = -a$।

उदाहरण 7.19 (वर्गसम अवयव: नए वलयों में नई परिघटनाएँ)

$\Z$ में समीकरण $x^2 = x$, अर्थात् $x(x - 1) = 0$, के केवल हल $0$ और $1$ हैं। $\Z/6\Z$ में सभी वर्ग जाँचिए: $\overline0^2 = \overline0$, $\overline1^2 = \overline1$, $\overline3^2 = \overline9 = \overline3$ और $\overline4^2 = \overline{16} = \overline4$ — अर्थात् चार वर्गसम अवयव। दोनों विलक्षण अवयव शून्य भाजकों से आते हैं: $\overline3\,(\overline3 - \overline1) = \overline3 \times \overline2 = \overline6 = \overline0$, जहाँ कोई भी गुणनखंड शून्य नहीं है। ऐसी संगणनाएँ हमारी सहज बुद्धि को अंशांकित करती हैं: समीकरणों के परिचित तथ्य पूर्णांकीय प्रांतों और क्षेत्रों में बचे रहते हैं, पर कोई व्यापक वलय भिन्न व्यवहार कर सकता है और करता भी है — अभ्यास 7.10 के बूली वलय भी देखिए, जहाँ प्रत्येक अवयव वर्गसम है।

उदाहरण 7.21 (अपरिचित वलय में द्विपद प्रमेय)

इस व्यापकता के दो तात्कालिक लाभ। $\Z/p\Z$ ($p$ अभाज्य) में बीच के द्विपद गुणांक लुप्त हो जाते हैं (प्रमेय 6.23 का पहला पद), अतः प्रमेय सिकुड़कर नवागंतुक का स्वप्न बन जाती है

जो वहाँ सच्ची सर्वसमिका है, चाहे $\R$ पर वह कितनी ही अपराधी क्यों न दिखे। और $\varepsilon^2 = 0$ वाला अवयव $\varepsilon$ रखने वाले किसी भी क्रमविनिमेय वलय में प्रमेय कट जाती है: $(a + \varepsilon)^n = a^n + n\,a^{n-1}\varepsilon$, जहाँ ऊपर के सभी पद $\varepsilon^2 = 0$ का गुणनखंड लिए हुए हैं। $\varepsilon$ का गुणांक $n\,a^{n-1}$ $x^n$ का अवकलज है — यह संयोग नहीं है, और यह पहला संकेत है कि अवकलज जितने विश्लेषण के हैं उतने ही बीजगणित के भी (तुलना कीजिए अध्याय 8 के औपचारिक अवकलज से)।