एकसमान सांतत्य কী?

उदाहरण 13.20

$x \mapsto x^2$ $\R$ पर संतत है पर एकसमान रूप से संतत नहीं: $\abs{(n + \frac 1n)^2 - n^2} = 2 + \frac{1}{n^2} \geq 2$, यद्यपि प्रांतिक $\frac 1n \to 0$ दूरी पर हैं। किसी भी परिबद्ध अंतराल पर वह लिप्शिट्ज़ है, अतः एकसमान रूप से संतत — जो नीचे हाइने की प्रमेय के अनुरूप है।

उदाहरण 13.21 (एकसमान मापांक, स्पष्ट रूप से)

खंड पर हाइने एकसमान $\delta$ की गारंटी देता है; प्रायः उसे संगणित भी किया जा सकता है। $\intcc{0}{10}$ पर $f(x) = x^2$ के लिए:

अतः $\delta = \frac{\varepsilon}{20}$ एकसमान रूप से काम करता है (एक लिप्शिट्ज़ मापांक, $\varepsilon$ में रैखिक)। $\intcc{0}{1}$ पर $\sqrt x$ के लिए: $\abs{\sqrt x - \sqrt y} \leq \sqrt{\abs{x - y}}$ (अभ्यास 13.9), अतः $\delta = \varepsilon^2$ काम करता है — एकसमान, पर रैखिक नहीं: $0$ के पास वर्गमूल खड़ा है, और उसकी क़ीमत $\varepsilon$ के घातांक में दिखाई देती है, एकसमानता की विफलता में नहीं। समापन का सार: एकसमान सांतत्य कोई हाँ/ना नहीं, एक पूरा वर्णक्रम है — फलन $\delta(\varepsilon)$, जिसे मापांक कहते हैं, नापता है कि एकसमानता कितनी महँगी है, और लिप्शिट्ज़ उसका सर्वोत्तम श्रेणी-अंक भर है।

उदाहरण 13.23 (परिबद्ध, संतत, फिर भी एकसमान नहीं)

फलन $f(x) = \sin(x^2)$ $\R$ पर संतत और परिबद्ध है, पर एकसमान रूप से संतत नहीं। लीजिए

फिर भी प्रत्येक $n$ के लिए $f(y_n) - f(x_n) = \sin\bigl(2\pi n + \frac\pi2\bigr) - \sin(2\pi n) = 1 - 0 = 1$: कोई एक $\delta$ $\varepsilon = \frac12$ के लिए सर्वत्र काम नहीं कर सकता। ज्यामितीय रूप से, $\sin(x^2)$ के दोलन त्वरित होते जाते हैं: आलेख निरंतर छोटी होती खिड़कियों पर पूरी तरंग पूरी कर लेता है, अतः दिए हुए $\varepsilon$ के लिए आवश्यक क्षैतिज पैमाना $x$ के बढ़ने के साथ सिकुड़कर शून्य हो जाता है। समापन का सार: परिबद्धता एकसमानता नहीं ख़रीदती (यही उदाहरण), और अपरिबद्धता उसे रोकती नहीं ($\sqrt x$, अभ्यास 13.9); निर्णय दोलन का मापांक करता है, और हाइने की प्रमेय कहती है कि संहत प्रांत उसे स्वतः अनुशासित कर देते हैं।