प्रतिबंध, स्वातंत्र्य कोटि, व्यापकीकृत निर्देशांक क्या है? — भौतिकी

परिभाषा 1.1 विश्वविद्यालय भौतिकी — वर्ष 3 · 第 1 章 — लाग्रांजियन यांत्रिकी

प्रतिबंध किसी तंत्र की स्थितियों पर लगी ज्यामितीय शर्त है — मनका अपने तार पर बना रहता है, लोलक की छड़ की लंबाई नियत रहती है, एक ही धुरी के दो पहिये साथ-साथ घूमते हैं। जो प्रतिबंध निर्देशांकों (और संभवतः समय) के बीच किसी समीकरण $f(\vect r_1, \dots, \vect r_N, t) = 0$ के रूप में लिखा जा सके, उसे होलोनॉमिक कहते हैं। विन्यास जितने स्वतंत्र तरीकों से अब भी बदल सकता है, उनकी संख्या ही स्वातंत्र्य कोटि की संख्या $n$ है; ऐसी कोई भी $n$ स्वतंत्र राशियाँ $q_1, \dots, q_n$ , जो विन्यास को पूरी तरह नियत कर दें, व्यापकीकृत निर्देशांक कहलाती हैं — कोण, लंबाइयाँ, या दोनों का कोई सुविधाजनक मिश्रण। इनके समय-अवकलज $\dot q_1, \dots, \dot q_n$ व्यापकीकृत वेग हैं।

व्यापकीकृत निर्देशांक: हर तंत्र का वर्णन उन कोणों से किया जाता है जो वास्तव में बदल सकते हैं, न कि उसके द्रव्यमानों के कार्तीय निर्देशांकों से। छड़ों के तनाव और वलय का अभिलंब बल कभी प्रकट नहीं होते।

示例

उदाहरण 1.2 (स्वातंत्र्य कोटि गिनना)

मेज़ पर एक बिंदु: $n = 2$ । नियत लंबाई का समतलीय लोलक: एक कोण, $n = 1$ । द्विक लोलक: दो कोण, $n = 1 + 1 = 2$ । दृढ़ वलय पर पिरोया मनका: एक कोण, $n = 1$ — चाहे वलय स्वयं घूमने पर विवश हो, क्योंकि आरोपित घूर्णन कोई स्वतंत्रता नहीं जोड़ता। अंतरिक्ष में स्वतंत्र दृढ़ पिंड: उसके केंद्र के तीन निर्देशांक और तीन कोण, $n = 6$ । $N$ स्वतंत्र अणुओं (बिंदुओं) की गैस: $n = 3N$ । हर होलोनॉमिक प्रतिबंध एक स्वातंत्र्य कोटि घटा देता है: छड़ से जुड़े दो बिंदुओं के लिए $3 + 3 - 1 = 5$ ।

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