10क्वांटम कोणीय संवेग

हल — अभ्यास 10.1.

(क) $[\hat y\hat p_z - \hat z\hat p_y,\ \hat z\hat p_x - \hat x\hat p_z]$: केवल वे पद बचते हैं जो कोई $\hat z, \hat p_z$ युग्म बाँटते हैं, जिससे $\iu\hbar(\hat x\hat p_y - \hat y\hat p_x)$ मिलता है। (ख) $[\hat L^2, \hat L_z] = \sum_i[\hat L_i^2, \hat L_z] = \hat L_x[\hat L_x, \hat L_z] + [\hat L_x, \hat L_z]\hat L_x + (x \to y)$: चारों पद जोड़े-जोड़े में कट जाते हैं। (ग) $[\hat L_z, \hat x] = \iu\hbar\hat y$: $\hat L_z$, $z$ के परितः घूर्णन उत्पन्न करता है — संकारकों के भी और अवस्थाओं के भी। (घ) दो घटकों का एक साथ तीखा होना (क्रमविनिमेयक से) तीसरे के भी तीखे होने पर विवश करता है, और तीनों का मान शून्य होने पर: यह केवल $l = 0$ ही पूरा कर पाता है।

हल — अभ्यास 10.2.

(क) $\hat L_z = \hbar\operatorname{diag}(1, 0, -1)$। (ख) $\hat L_+ = \hbar\sqrt2\,\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0 \end{pmatrix}$, और $\hat L_-$ उसका पारित। (ग) $\hat L_x = \dfrac{\hbar}{\sqrt2}\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&1\\0&1&0 \end{pmatrix}$: अभिलक्षणिक बहुपद $\lambda(\lambda^2 - \hbar^2)$। (घ) $L_x = +\hbar$ वाला अभिलक्षणिक सदिश $\tfrac12(1, \sqrt2, 1)$ है: प्रायिकताएँ $\tfrac14, \tfrac12, \tfrac14$, $m = +1, 0, -1$ के लिए।

हल — अभ्यास 10.3.

(क) $I = \mu r_0^2 = 1.46 \times 10^{-46}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$; $B = \hbar^2/2I = 3.8 \times 10^{-23}\,\mathrm{J} = 0.24\,\mathrm{meV}$। (ख) $2B/h = 115\,\mathrm{GHz}$, $\lambda = 2.6\,\mathrm{mm}$। (ग) $231\,\mathrm{GHz}$ और $346\,\mathrm{GHz}$। (घ) अंतराल $B$ देता है, और उससे $I = \mu r_0^2$: अर्थात् प्रकाश-वर्षों दूर के किसी अणु की बंध-लंबाई, मोटे तौर पर अंतराल की आपेक्षिक यथार्थता की आधी तक।

हल — अभ्यास 10.4.

(क) $m\hbar$, जहाँ $m = -2 \dots 2$। (ख) $\cos\theta = 2/\sqrt6$: $\theta = 35.3^\circ$। (ग) पूर्ण पंक्तिबद्धता $L_x = L_y = 0$ को $L_z$ के साथ एक ही समय तीखा बना देती — जिसे क्रमविनिमेयक मना करते हैं, सिवाय तुच्छ $l = 0$ स्थिति के। (घ) $l/\sqrt{l(l+1)} \to 1$: बड़े $l$ के लिए शंकु अक्ष पर सिमट जाता है और चिरसम्मत तीर लौट आता है।

हल — अभ्यास 10.5.

(क) $\varphi$ पर कोई निर्भरता न होने से संकारक देता है $-\hbar^2(\sin\theta)^{-1}\partial_\theta(\sin\theta\,(-\sin\theta)) = 2\hbar^2\cos\theta$। (ख) वही गणना $\eu^{\pm\iu\varphi}$ गुणक के साथ: अभिलक्षणिक मान $2\hbar^2$; और $\hat L_z$ $\pm\hbar$ देता है। (ग) $\cos\theta$ तथा $\sin\theta\,\eu^{\pm\iu \varphi}$, $\vect r \to -\vect r$ ($\theta \to \pi - \theta$, $\varphi \to \varphi + \pi$) पर चिह्न बदल देते हैं: अतः सम-विषमता $-1 = (-1)^1$। (घ) वे हर्मिटीय $\hat L_z$ के भिन्न अभिलक्षणिक मानों वाले अभिलक्षणिक सदिश हैं।

हल — अभ्यास 10.6.

(क) $2J + 1$ अवस्थाएँ वह स्तर बाँटती हैं (अपह्रासिता); और बोल्ट्समान गुणक उसकी ऊर्जा पर कर लगाता है। (ख) गुणनफल को उच्चिष्ठ कीजिए: $\dd/\dd J = 0$ से $2 = (2J+1)^2B/k_{\text{B}}T$, अर्थात् कथित $J_{\max}$। (ग) $10\,\mathrm{K}$ पर: $J_{\max} \approx 0.8$, अतः $J = 1$ प्रधान है और $115\,\mathrm{GHz}$ तथा $230\,\mathrm{GHz}$ की रेखाएँ चमकती हैं; $300\,\mathrm{K}$ पर: $J_{\max} \approx 7$। (घ) $T \approx 2B(J_{\max} + \tfrac12)^2/ k_{\text{B}} \approx 310\,\mathrm{K}$ — अर्थात् एक घूर्णन-तापमापी।

हल — अभ्यास 10.7.

(क) ऊपरी स्तर पाँच में बँटता है और निचला तीन में, और सबका अंतराल वही $\mu_{\text{B}}B$ रहता है। (ख) बराबर अंतरालों के साथ $h\nu = h\nu_0 + (\Delta m)\mu_{\text{B}}B$ और $\Delta m \in \{0, \pm1\}$: अतः केवल तीन स्थान। (ग) $\mu_{\text{B}}/h = 14\,\mathrm{GHz}/\mathrm{T}$, अतः $B = 2\,\mathrm{T}$ पर विपाटन $28\,\mathrm{GHz}$ है, अर्थात् $\Delta\lambda = \lambda^2\Delta\nu/c \approx 23\,\mathrm{pm}$ — जो ज़ीमान की 1896 की जालियों से ही सुलझने योग्य था। (घ) स्वयं इलेक्ट्रॉन का चक्रण, अपने विषम गुणक $g \approx 2$ के साथ: “विषम” प्रतिरूप चक्रण के नाम पड़ने से पहले ही उसकी छाप थे (अध्याय 12)।

हल — अभ्यास 10.8.

कथित मात्रकों में $U_{\text{प्र}} = -2/x + l(l+1)/x^2$। (क) $l = 1$ के लिए: निम्निष्ठ $x = 2$ पर ($r = 2a_0$), गहराई $-E_{\text{I}}/2$। (ख) $U_{\text{प्र}} > 0$, जब $x < 1$: एक बोर त्रिज्या के भीतर दीवार जीत जाती है। (ग) मूल बिंदु के पास $\psi \sim r^l$: अतः केवल $l = 0$ अवस्थाओं का घनत्व $r = 0$ पर शून्येतर है। (घ) किसी इलेक्ट्रॉन को निगलने के लिए नाभिक पर इलेक्ट्रॉन-घनत्व चाहिए: और $s$ इलेक्ट्रॉन, जो अकेले अपकेंद्री दीवार से बिना रुके हैं, वही निगले जाते हैं।

हल — अभ्यास 10.9.

(क) $\hat L_x = (\hat L_+ + \hat L_-)/2$, $m$ बदल देता है: अतः विकर्ण अवयव लुप्त हो जाते हैं। (ख) सममिति से दोनों अनुप्रस्थ वर्ग बराबर हैं, और उनका योग $\langle\hat L^2 - \hat L_z^2\rangle$ है। (ग) $m = l$ पर: $\Delta L_x\Delta L_y = l\hbar^2/2 = \tfrac\hbar2 \,l\hbar$: अर्थात् समता — खिंची हुई अवस्था उतनी ही पंक्तिबद्ध है जितनी बीजगणित अनुमत करता है। (घ) शंकु: तीखा $L_z$, लुप्त अनुप्रस्थ माध्य, और बराबर अनुप्रस्थ फैलाव — अर्थात् निश्चित लंबाई और निश्चित प्रक्षेप वाला कोई सदिश, जो दिगंश में समान रूप से धुँधला है।

हल — अभ्यास 10.10.

(क) $E_J = BJ(J+1)$ के साथ ऊर्जा का हिसाब: $J \to J + 1$ $2B(J+1)$ जोड़ता है; और $J \to J - 1$, $2BJ$ घटाता है। (ख) $\Delta J = 0$ वर्जित है, और दोनों शाखाएँ $\pm 2B$ से आरंभ होती हैं: अतः शुद्ध कंपन-आवृत्ति पर कुछ नहीं पड़ता। (ग) अंतराल $2B$ की दो कंघियाँ, जिनके बीच एक ख़ाली जगह है, और तीव्रताएँ $J_{\max}$ तक चढ़कर फिर उतरती हैं। (घ) बैंड की चौड़ाई कंघियों का जनसंख्या-युक्त फैलाव है, जो $\sqrt{T}$ की तरह बढ़ता है: और वही तापीय रूप से भरे पंख ठीक वहाँ हैं जहाँ कोई संतृप्त हरितगृह बैंड सोखता रहता है।

हल — अभ्यास 10.11.

(क) $\|\hat J_\pm\ket{j,m}\|^2 = \bra{j,m}\hat J_\mp\hat J_\pm \ket{j,m} = \hbar^2[j(j+1) - m(m\pm1)]$। (ख) $m = j$ से आगे चढ़ने पर $j(j+1) - j(j+1) = 0$ मिलेगा और उससे एक पग आगे ऋणात्मक प्रसामान्य: अतः शृंखला में वह शीर्ष अवस्था होनी ही चाहिए जो विनष्ट हो जाए। (ग) शीर्ष और तल एकांक पगों की किसी पूर्णांक संख्या से भिन्न हैं: $2j \in \mathbb N$: अतः $j = 0, \tfrac12, 1, \tfrac32, \dots$ (घ) बीजगणित कभी तरंग फलनों का उपयोग नहीं करता; केवल यह माँग कि $\eu^{\iu m\varphi}$ वृत्त पर एकमानी हो, $m$ को पूर्णांक होने पर विवश करती है — और यह शर्त कक्षकीय गति को बाँधती है, अंतर्जात (चक्रण) कोणीय संवेगों को अर्ध-पूर्णांक होने के लिए स्वतंत्र छोड़ देती है।

हल — अभ्यास 10.12.

(क) प्रति एकांक आयतन $n\hbar$। (ख) $\omega = n\hbar V/(\tfrac12 Ma^2) = 2n\hbar/\rho a^2 = 2 \times 8.5 \times 10^{28} \times 1.055 \times 10^{-34}/ (7900 \times 10^{-4}) \approx 2.3 \times 10^{-5}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ — एक ही बार में अदृश्य। (ग) तंतु के अनुनाद के साथ ताल में उलटाव करने से $\sim Q$ धक्के जमा हो जाते हैं: $\omega \sim 2 \times 10^{-3}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$, अर्थात् सेकंडों के आवर्तकाल पर मिलिरेडियन के झूले — जिन्हें किसी दर्पण और प्रकाश-पुंज से देखा जा सकता है, जैसा आइंस्टाइन और दे हास ने देखा। (घ) मापा गया घूर्णचुंबकीय अनुपात $e/m_{\text{e}}$ निकला, जो कक्षकीय $e/2m_{\text{e}}$ से दुगुना है: लोहे का चुंबकत्व कक्षकीय धाराएँ नहीं, इलेक्ट्रॉन का चक्रण है, जिसके $g \approx 2$ को अगले अध्याय समझाते हैं।