11हाइड्रोजन परमाणु

हल — अभ्यास 11.1.

(क) $u'' = (1/a^2 - 2/ar)u$; और $1/r$ वाले पद तब मेल खाते हैं जब $\hbar^2/m_{\text{e}}a = k$, अर्थात् $a = a_0$, और अचर पद $E = -\hbar^2/2m_{\text{e}}a_0^2 = -E_{\text{I}}$ देते हैं। (ख) $C = 2/a_0^{3/2}$। (ग) $[\hbar^2/mk] = \mathrm{m}$; $[mk^2/\hbar^2] = \mathrm{J}$। (घ) अभ्यास 7.12 का विचरण-तर्क दिखाता है कि $-E_{\text{I}}$ वह न्यूनतम ऊर्जा है जो कोई भी प्रसामान्यित अवस्था पा सकती है: अनिश्चितता सिद्धांत परमाणु के नीचे फ़र्श डाल देता है।

हल — अभ्यास 11.2.

(क) $121.6\,\mathrm{nm}$; सीमा $91.2\,\mathrm{nm}$। (ख) $656.3$ (लाल), $486.1$ (नीला-हरा), $434.0\,\mathrm{nm}$ (बैंगनी); सीमा $364.6\,\mathrm{nm}$ — पहली तीन दृश्य हैं। (ग) $1875\,\mathrm{nm}$ से नीचे $820\,\mathrm{nm}$ तक: निकट अवरक्त। (घ) $R_{\text{H}}c\,(1/109^2 - 1/110^2) = 5.01\,\mathrm{GHz}$।

हल — अभ्यास 11.3.

(क) $\dd(r^2\eu^{-2r/a_0})/\dd r = 0$, $r = a_0$ पर। (ख) $\langle r\rangle = (4/a_0^3)\int_0^\infty r^3\eu^{-2r/a_0}\dd r = (4/a_0^3)\times 3!\,(a_0/2)^4 = \tfrac32 a_0$। (ग) $x = 4$ के साथ: $\tfrac12(16 + 8 + 2)\eu^{-4} = 0.24$: अर्थात् चौथाई समय इलेक्ट्रॉन $2a_0$ से परे रहता है। (घ) इलेक्ट्रॉन की कोई त्रिज्या है ही नहीं: $P(r)$ एक बंटन है, जिसका बहुलक, माध्य और लंबी पुच्छें हैं — परमाणु दोगुने के स्तर पर धुँधला है।

हल — अभ्यास 11.4.

(क) $l = 0$: एक; $l = 1$: तीन; $l = 2$: पाँच — कुल नौ। (ख) $2$, $8$, $18$। (ग) ठीक पहली तीन पंक्तियों की लंबाइयाँ: आवर्त सारणी इन्हीं कोशों के भरने का लेखा है। (घ) $m$-अपह्रासिता बची रहती है (दिक् अब भी समदैशिक है); जबकि $l$-अपह्रासिता इसलिए टूटती है कि संयोजी इलेक्ट्रॉन को दिखता परिरक्षित विभव अब शुद्ध $1/r$ नहीं रहता — अभ्यास 11.8।

हल — अभ्यास 11.5.

(क) $Z - 1$ के साथ हाइड्रोजन-सदृश: $h\nu = (Z-1)^2E_{\text{I}}(1 - \tfrac14)$। (ख) $784 \times 10.2\,\mathrm{eV} = 8.0\,\mathrm{keV}$ — जो ताँबे की मापी गई K$\alpha$ से मेल खाता है। (ग) यही कि तत्वों को क्रम में रखने वाला पूर्णांक नाभिकीय आवेश है, परमाणु-भार नहीं: और मोज़ली की रेखाओं के अंतराल अनखोजे तत्वों का स्थान बता देते थे। (घ) $42^2 \times 10.2 = 18.0\,\mathrm{keV}$ — टेक्नेशियम, जो दशकों बाद मिला और सूत्र का पालन कर गया।

हल — अभ्यास 11.6.

(क) दो बराबर द्रव्यमान: $\mu = m_{\text{e}}/2$: बंधन $6.8\,\mathrm{eV}$, त्रिज्या $2a_0 = 0.106\,\mathrm{nm}$। (ख) $\tfrac34 \times 6.8 = 5.1\,\mathrm{eV}$: $243\,\mathrm{nm}$। (ग) $511\,\mathrm{keV}$ के दो फ़ोटॉन, आमने-सामने (विराम में संवेग-संरक्षण)। (घ) पॉज़िट्रॉन-उत्सर्जन टोमोग्राफ़ी: $511\,\mathrm{keV}$ के संरेख फ़ोटॉनों का युग्म ही वह संकेत है जिसे हर PET वलय त्रिकोणित करता है।

हल — अभ्यास 11.7.

(क) $a_{\text{ex}} = 0.0529 \times 12.9/0.058 = 11.8\,\mathrm{nm}$। (ख) $E = 13.6 \times 0.058/12.9^2 = 4.7\,\mathrm{meV}$। (ग) युग्म का स्वाभाविक आकार बिंदु से बड़ा है: अतः अवस्था को दीवार आकार देती है, आकर्षण नहीं — $1/R^2$, $1/R$ को हरा देता है, जैसा कहा गया था। (घ) कमरे के ताप पर $k_{\text{B}}T$ बंधन का पाँच गुना है: अतः युग्म आयनित हो जाते हैं; और उत्तेजक-भौतिकी स्वच्छ क्रिस्टलों में $\sim50\,\mathrm{K}$ से नीचे ही जीती है।

हल — अभ्यास 11.8.

(क) $3s$: उसकी सबसे भीतरी पाली क्रोड के भीतर तक गोता लगाती है, जहाँ नाभिकीय $+11$ मुश्किल से परिरक्षित है। (ख) $-13.6/9 = -1.51\,\mathrm{eV}$ $3d$ से लगभग ठीक-ठीक मेल खाता है: $3d$ क्रोड के बाहर परिक्रमा करता है और उसे कुल $+1$ दिखता है; जबकि $3s$ (और आंशिक रूप से $3p$) गहरा विभव चख लेते हैं और नीचे बैठ जाते हैं। (ग) $\Delta E = 2.10\,\mathrm{eV}$: $\lambda = 590\,\mathrm{nm}$ — अर्थात् सड़क-बत्तियों का सोडियम-पीला। (घ) $n_{\text{प्र}} = \sqrt{13.6/|E|}$: $1.63$ और $2.11$, अतः $\delta_s = 1.37$, $\delta_p = 0.89$।

हल — अभ्यास 11.9.

(क) लगभग $n = 100$ का बंधन, $\sim1.4\,\mathrm{meV}$, और उस पर इलेक्ट्रॉन की छोटी तापीय ऊर्जा: अर्थात् कोई दूर-अवरक्त/रेडियो फ़ोटॉन। (ख) $\Delta n = 1$ वाले पग, $n \approx 100$ के पास, GHz रेडियो बैंड में पड़ते हैं — वही पुनर्संयोजन रेखाएँ। (ग) H$\alpha$ पग $3 \to 2$ है, जो झरने के अंत के पास है। (घ) लाइमन $\alpha$, यद्यपि सबसे प्रबल है, पराबैंगनी है और मूल-अवस्था हाइड्रोजन से भरी किसी नीहारिका में अनुनादी रूप से प्रकीर्ण होकर फँस जाती है; जबकि H$\alpha$ स्वतंत्र रूप से निकल जाती है और नीहारिका को लाल रंग देती है।

हल — अभ्यास 11.10.

(क) $\langle 1/r\rangle = 1/a_0$: अतः $\langle E_p\rangle = -k/a_0 = -27.2\,\mathrm{eV} = 2E_1$। (ख) $\langle E_k\rangle = E_1 - \langle E_p\rangle = +13.6\,\mathrm{eV}$: अर्थात् विरियल अनुपात $-\tfrac12$, हर $1/r$ कक्षा का। (ग) $v = \sqrt{2E_k/m_{\text{e}}} = \alpha c = 2.2 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$। (घ) $I = ev/2\pi a_0 \approx 1\,\mathrm{mA}$, जो $53\,\mathrm{pm}$ पर परिक्रमा करती है: $B \sim \mu_0I/2a_0 \approx 12\,\mathrm{T}$ — वही विशाल भीतरी क्षेत्र, जिस पर अतिसूक्ष्म संरचना पलेगी।

हल — अभ्यास 11.11.

(क) अभ्यास 11.10(ग) से $v/c = \alpha$; और मापन: $Z\alpha/n$। (ख) $\alpha^2E_{\text{I}} = 0.72\,\mathrm{meV}$; $n = 2$ पर विपाटन दसियों $\text{µ}\mathrm{eV}$ निकलते हैं — अर्थात् कोई $10\,\mathrm{GHz}$, जो रेडियो से मापने योग्य है (और मापे भी गए)। (ग) $Z\alpha = 0.67$: प्रकाश की चाल का दो तिहाई — अतः श्रोडिंगर वाला विवेचन विफल हो जाता है; डिराक का समीकरण मोर्चा सँभाल लेता है। (घ) $Z\alpha \to 1$ पर मूल अवस्था की ऊर्जा औपचारिक रूप से $-2m_{\text{e}}c^2$ के नीचे डूब जाती है: तब निर्वात स्वयं इलेक्ट्रॉन–पॉज़िट्रॉन युग्म छोड़ने लगता — अर्थात् अतिक्रांतिक क्षेत्र, जिन्हें भारी-आयन संघट्टों में खोजा जाता है।

हल — अभ्यास 11.12.

(क) अवकलन कीजिए: $\dot{\vect p}\wedge\vect L = -(mk/r^3)\vect r\wedge(\vect r\wedge\dot{\vect r}\,m)$; और दुहरे वज्र-गुणनफल का प्रसार ठीक $mk\,\dd\vect e_r/\dd t$ देता है: अतः $\dot{\vect A} = \vect 0$। (ख) कोई संरक्षित अक्ष समदैशिकता से परे की सममिति है; और अपह्रासिता अधूरा नामकरण है, तथा वह अतिरिक्त नाम ($\vect A$ का क्वांटम चचेरा भाई) $l$ को एक ही $n$ के भीतर जोड़ देता है। (ग) $V = -k/r + \epsilon/r^2$ के साथ प्रभावी कोणीय संवेग खिसक जाता है, कोणीय आवर्तकाल त्रिज्य आवर्तकाल से मेल नहीं खाता, और दीर्घवृत्त की अक्ष $\propto\epsilon$ की दर से घूम जाती है। (घ) स्वयं हाइड्रोजन में $\epsilon$ की भूमिका आपेक्षिकता के संशोधन निभाते हैं: अभ्यास 11.11 की सूक्ष्म संरचना ठीक वही $l$-अपह्रासिता का टूटना है।