12चक्रण और द्वि-स्तरीय तंत्र

हल — अभ्यास 12.1.

(क) सीधा गुणन। (ख) $[\hat S_x, \hat S_y] = (\hbar/2)^2\,2\iu\sigma_z = \iu\hbar\hat S_z$। (ग) $\hat S^2 = (\hbar/2)^2 \times 3\,\mathbb 1 = \tfrac34\hbar^2$: अर्थात् सचमुच $\tfrac12\cdot\tfrac32\hbar^2$। (घ) $\{\mathbb 1, \sigma_x, \sigma_y, \sigma_z\}$ हर्मिटीय $2\times2$ आव्यूहों की चारों वास्तविक विमाएँ फैलाते हैं ($a + \vect b\cdot\vect\sigma$, जिसमें $a, \vect b$ वास्तविक हैं)।

हल — अभ्यास 12.2.

(क) $\ket{\pm x} = (\ket\uparrow \pm \ket\downarrow)/\sqrt2$; $\ket{\pm y} = (\ket\uparrow \pm \iu\ket\downarrow)/\sqrt2$। (ख) आधे-आधे। (ग) फिर आधे-आधे: $|\braket{\pm y}{+x}|^2 = |1 \mp \iu|^2/4 = \tfrac12$। (घ) $\ket{+x}$: विषुवत् पर, $\varphi = 0$ पर; और $z$ या $y$ के अनुदिश मापने पर वह $90^\circ$ दूर के ध्रुवों पर प्रक्षिप्त होता है — अतः सदा $\cos^2(45^\circ) = \tfrac12$।

हल — अभ्यास 12.3.

(क) $\cos^2(\theta/2)$। (ख) $\cos^2(\theta/2) \times \cos^2(\theta/2) = \cos^4(\theta/2)$। (ग) $\theta = 90^\circ$: $(\tfrac12)^2 = \tfrac14$, अर्थात् ध्रुवक-शृंखला वाली वही संख्या। (घ) तुच्छ रूप से $\theta = 0$; पर असली सीख यह है कि कोमल मध्यवर्ती माप सबसे कम कीमत लेते हैं — अभ्यास 8.5 की छोटे-पग वाली सीमा, जहाँ अनेक छोटे घूर्णन अवस्था को लगभग बिना हानि के पार करा देते हैं।

हल — अभ्यास 12.4.

(क) $2\mu_{\text{B}}B = 116\,\text{µ}\mathrm{eV}$: $\nu = 28\,\mathrm{GHz}$। (ख) $2 \times 2.79\,\mu_{\text{N}}B = 0.18\,\text{µ}\mathrm{eV}$: $\nu = 42.6\,\mathrm{MHz}$। (ग) $k_{\text{B}}T = 25.9\,\mathrm{meV}$ के सामने: इलेक्ट्रॉन का ध्रुवण $\sim2 \times 10^{-3}$, प्रोटॉन का $\sim3 \times 10^{-6}$ — अर्थात् तापीय चक्रण-समुदाय लगभग पूरी तरह फेंटे हुए हैं। (घ) ESR: सूक्ष्मतरंगें; NMR: रेडियो — परिमाण की तीन कोटि दूर, पर एक ही भौतिकी।

हल — अभ्यास 12.5.

(क) $\dd\langle\hat S_x\rangle/\dd t = -\gamma B_0\langle\hat S_y\rangle$, $\dd\langle\hat S_y\rangle/\dd t = \gamma B_0\langle\hat S_x\rangle$, $\dd\langle\hat S_z\rangle/\dd t = 0$। (ख) $\langle\hat S_x\rangle = \tfrac\hbar2\cos\omega_0t$, $\langle\hat S_y\rangle = \tfrac\hbar2\sin\omega_0t$ ($\gamma$ के चिह्न के अनुसार चिह्न)। (ग) दोनों (ख) से स्पष्ट हैं। (घ) अवस्था दोनों ऊर्जा-अभिलक्षणिक अवस्थाओं का अध्यारोपण है; उसकी आपेक्षिक कला $\omega_0$ पर आगे बढ़ती है, और वही घूमती कला ही पुरस्सरण है — स्थायी स्तर और घूमता सदिश एक ही द्वि-स्तरीय विकास के दो पाठ हैं।

हल — अभ्यास 12.6.

(क) प्रतिस्थापन कीजिए और आधे-कोण की सर्वसमिकाएँ काम में लाइए। (ख) $\cos\tfrac\theta2\cos\tfrac{\pi-\theta}2 + \eu^{\iu\pi}\sin\tfrac\theta2\sin\tfrac{\pi-\theta}2 = \cos\tfrac\theta2\sin\tfrac\theta2 - \sin\tfrac\theta2\cos\tfrac\theta2 = 0$। (ग) विषुवत् पर, $\varphi = 0, \pi$ ($\sigma_x$) और $\varphi = \pm\pi/2$ ($\sigma_y$) पर। (घ) किसी भी विषुवतीय अक्ष के परितः $180^\circ$ का घूर्णन — चुंबकीय अनुनाद की $\pi$ स्पंद ही क्यूबिट का NOT फाटक है।

हल — अभ्यास 12.7.

(क) घूमते तंत्र में चालक ठहरा रहता है, जबकि तंत्र का घूर्णन प्रभावी स्थैतिक क्षेत्र में से $\omega/\gamma$ घटा देता है (वही हिसाब, जो किसी घूमते तंत्र के जड़त्वीय बल का होता है)। (ख) केवल $B_1$ बचता है: ब्लॉख सदिश उस (नियत) अनुप्रस्थ $B_1$ अक्ष के परितः $\Omega_1 = |\gamma|B_1$ पर पुरस्सरण करता है — अर्थात् स्थिर पलटाव। (ग) $t_\pi = \pi/\gamma B_1 = 1/(2 \times 42.58\,\text{ MHz/T} \times 10\,\text{µ}\mathrm{T}) = 1.2\,\mathrm{ms}$। (घ) एक तेज़, सिकुड़ता शंक्वाकार सर्पिल: $z$ के परितः $128\,\mathrm{MHz}$ पर पुरस्सरण, और उसके साथ $426\,\mathrm{Hz}$ पर धीरे-धीरे नीचे झुकाव — ध्रुव से ध्रुव तक हज़ार चक्करों का पेंच।

हल — अभ्यास 12.8.

(क) $\nu = \Delta E/h = 5.9 \times 10^{-6}/4.14 \times 10^{-15} = 1.42 \times 10^{9}\,\mathrm{Hz}$; $\lambda = c/\nu = 21.1\,\mathrm{cm}$। (ख) $\Delta \nu \sim 1/2\pi\tau \sim 10^{-15}\,\mathrm{Hz}$: बिलकुल नगण्य — अतः हर प्रेक्षित चौड़ाई गति है। (ग) $\Delta\nu = \nu\,(2v/c) = 1420\,\text{MHz} \times 1.5 \times 10^{-3} \approx 2\,\mathrm{MHz}$: अर्थात् किसी घूमती चकती की दो-सींगों वाली रूपरेखा। (घ) 21 cm वहीं बोलती है जहाँ हाइड्रोजन परमाणविक हो (गरम, विरल); जबकि CO वहाँ बोलती है जहाँ हाइड्रोजन युग्मित होकर अदृश्य H$_2$ बन चुका हो (ठंडा, सघन): दोनों मिलकर किसी मंदाकिनी का पूरा अंतरतारकीय माध्यम गिन लेते हैं।

हल — अभ्यास 12.9.

(क) दो विन्यास, सुरंगन से युग्मित: नीची ऊर्जा पर समष्टि द्विविमीय है — अमोनिया भेस में चक्रण-$\tfrac12$ ही है। (ख) $\nu = \Delta E/h = 24\,\mathrm{GHz}$, $\lambda = 1.25\,\mathrm{cm}$। (ग) पुंज को ऊपरी अवस्था की अधिक जनसंख्या के साथ आना चाहिए (जिसे स्थिरवैद्युत विक्षेपण से छाँटा जाता है) — अर्थात् जनसंख्या-प्रतीपन, जो तापीय रूप से मिल ही नहीं सकता, क्योंकि बोल्ट्समान सदा नीचे वाले स्तर का पक्ष लेता है। (घ) जनसंख्या-प्रतीपन से उद्दीपित प्रवर्धन — अर्थात् लेज़र का कार्यकारी सिद्धांत, जो पहले सूक्ष्मतरंग आवृत्तियों पर दिखा दिया गया।

हल — अभ्यास 12.10.

(क) $\mu_{\text{B}} \times 10\,\mathrm{T} = 0.58\,\mathrm{meV}$ — अर्थात् अभ्यास 11.11 का $\alpha^2E_{\text{I}} \approx 0.7\,\mathrm{meV}$ वाला पैमाना: सूक्ष्म संरचना चक्रण का उस गति-जनित क्षेत्र से मिलना ही है। (ख) $\Delta E = hc\,\Delta\lambda/ \lambda^2 = 2.1\,\mathrm{meV}$: अर्थात् आंतरिक क्षेत्र $\Delta E/2\mu_{ \text{B}} \approx 18\,\mathrm{T}$। (ग) भीतरी क्षेत्र $Z^4$ की तरह बढ़ता है (क्षेत्र में नाभिकीय आवेश का घन, और एक बार और कक्षा-त्रिज्या में): अतः भारी परमाणुओं की सूक्ष्म संरचना जेब के वर्णक्रमदर्शी से भी दिख जाती है। (घ) $j = \tfrac32$: चार अवस्थाएँ; $j = \tfrac12$: दो — कुल छह, अर्थात् ठीक $2 \times (2l + 1)$, $l = 1$ के लिए।

हल — अभ्यास 12.11.

(क) $S_z$ की गिनतियाँ: $+\hbar, 0, 0, -\hbar$; और सममित संयोजन पर $\hat S^2$ (सोपान-सर्वसमिका से) लगाने पर $2\hbar^2$ ($S = 1$) मिलता है, तथा प्रतिसममित पर $0$ ($S = 0$)। (ख) केवल एकक (और बीच वाली त्रिक-अवस्था) किसी गुणनफल के रूप में नहीं लिखी जा सकती — और एकक ही वह अधिकतम उलझा हुआ युग्म है। (ग) उत्सर्जन का अर्थ है कि त्रिक ऊपर है: अर्थात् समांतर-चक्रण वाला विन्यास $5.9\,\text{µ}\mathrm{eV}$ अधिक ऊर्जावान है। (घ) हर प्रेक्षक अकेले पूरी तरह यादृच्छिक परिणाम देखता है; और सहसंबंध तभी प्रकट होता है जब दोनों सूचियाँ साथ लाई जाएँ — किसी की स्थानिक सांख्यिकी नहीं बदलती, अतः कुछ भी संचरित नहीं होता (टिप्पणी 8.8 का तर्क)।

हल — अभ्यास 12.12.

(क) पहली $\pi/2$ ब्लॉख सदिश को विषुवत् पर लिटा देती है; और $T$ के दौरान वह परमाणु के अपने $\nu_0$ पर पुरस्सरण करता है, जबकि स्थानिक दोलित्र $\nu$ पर घूमता है: संचित कोण-अंतर $2\pi\delta T$ है; और दूसरी $\pi/2$ उस कला को किसी जनसंख्या में बदल देती है — अर्थात् काल में बना एक व्यतिकरणमापी। (ख) $\Delta\delta \sim 1/2T = 1\,\mathrm{Hz}$। (ग) $10^{-4}\,\mathrm{Hz}/9.19 \times 10^{9}\,\mathrm{Hz} \approx 10^{-14}$ — अर्थात् तीस लाख वर्षों में एक सेकंड। (घ) $10^5$ गुना ऊँचे वाहक पर वही निरपेक्ष झालर-विभाजन आंशिक यथार्थता में $10^5$ जीत लेता है: इसीलिए स्ट्रॉन्शियम और इटर्बियम की प्रकाशिक घड़ियाँ $10^{-18}$ पर हैं, और सेकंड की पुनर्परिभाषा प्रतीक्षा में है।