Apa itu Luas? — Matematika

Definisi 43.5 Matematika Sekolah Dasar dan Menengah · Bab 43 — Keliling, Luas, Volume

Luas sebuah bangun mengukur permukaan yang ditutupinya: berapa persegi satuan yang muat di dalamnya. Satuannya: cm $^2$ (persegi dengan sisi $1$ cm), m $^2$ , km $^2$ , … Hati-hati:

1 \text{ m}^2 = 100 \times 100 \text{ cm}^2 = 10\,000 \text{ cm}^2

— satu meter persegi adalah persegi $100$ cm kali $100$ cm, jadi setiap anak tangga satuannya bernilai $100$ , bukan $10$ .

Luas sebuah persegi panjang: 7 kolom yang masing-masing berisi 4 persegi satuan, jadi seluruhnya 7 × 4 = 28 persegi. Inilah sebabnya luas = panjang × lebar. — Luas sebuah persegi panjang: $7$ kolom yang masing-masing berisi $4$ persegi satuan, jadi seluruhnya $7 \times 4 = 28$ persegi. Inilah sebabnya luas $=$ panjang $\times$ lebar.

Contoh

Contoh 43.7 (Bangun gabungan)

Sebuah ruangan berbentuk L adalah persegi panjang $6$ m $\times$ $4$ m dengan pojok persegi $2$ m $\times$ $2$ m yang dibuang. Luasnya, selangkah demi selangkah:

seluruh persegi panjang: $6 \times 4 = 24$ m $^2$ ;
persegi yang dibuang: $2 \times 2 = 4$ m $^2$ ;
luas yang tersisa: $24 - 4 = 20$ m $^2$ .

Kelilingnya bukan $20$ apa pun: berjalan mengelilingi huruf L itu, tepinya tetap berukuran $6 + 4 + 6 + 4 = 20$ m — kedua potongan pojoknya menggantikan dua bagian dinding yang sama panjang. Bilangannya sama secara kebetulan, tetapi yang satu meter persegi, yang lain meter!

Baca dalam konteks →

Definisi 19.20 Matematika Universitas — Tahun 2 · Bab 19 — Permukaan

Misalkan $\sigma \colon U \to \R^3$ permukaan $\mathcal{C}^1$ yang regular dan injektif, serta $K \subseteq U$ daerah kompak yang di atasnya integral lipat bermakna (Bab 20). Adapun luas keping $\sigma(K)$ adalah

\mathcal{A} = \iint_K \norm{\sigma_u \wedge \sigma_v}\,\dd u\,\dd v = \iint_K \sqrt{EG - F^2}\;\dd u\,\dd v .

Pelana z = x2 - y2 di dekat titik asalnya, beserta kurva koordinatnya (yakni kurva-u yang biru dan kurva-v yang hijau), bidang singgungnya di M_0 = (0,0,0) (yang bergaris putus-putus) dan normal satuannya n. Permukaannya menyeberangi bidang singgungnya — yakni analogi dua dimensi bagi sebuah belokan. — **Gambar 19.1.** Pelana $z = x^2 - y^2$ di dekat titik asalnya, beserta kurva koordinatnya (yakni kurva- $u$ yang biru dan kurva- $v$ yang hijau), bidang singgungnya di $M_0 = (0,0,0)$ (yang bergaris putus-putus) dan normal satuannya $n$ . Permukaannya menyeberangi bidang singgungnya — yakni analogi dua dimensi bagi sebuah belokan.

Empat dari sembilan permukaan kuadrik yang digolongkan pada soal akhir pekan, yang disketsakan lewat siluetnya dan sebuah kurva aras (merah): yakni elipsoid yang terbatas, hiperboloid berdaun satu yang berpembangun ganda beserta pinggangnya, mangkuk paraboloid eliptiknya, dan pelananya, yang kedua irisan parabolanya membengkok ke arah berlawanan.

Contoh

Contoh 19.22 (Dua grafik berbeda, satu luas)

Di atas cakram satuannya, bandingkanlah mangkuk $z = \frac12(x^2 + y^2)$ dan pelana $z = xy$ . Adapun integran luasnya (Latihan 19.5) adalah

\sqrt{1 + x^2 + y^2} \qquad\text{dan}\qquad \sqrt{1 + y^2 + x^2} :

yang identik. Jadi kedua permukaannya — yang satu melengkung ke arah yang sama di segala arah, yang lain berbentuk pelana — berluas persis sama di atas setiap daerahnya, yakni $\frac{2\pi}3(2\sqrt2 - 1)$ di atas cakram satuannya. Sebab unsur luasnya hanya melihat panjang gradiennya, bukan penataan pembengkokannya; jadi membedakan mangkuknya dari pelananya menuntut data orde dua (yakni struktur tanda yang dipamerkan pada Gambar 19.1), yang tak terdeteksi oleh pengukuran luas seberapa pun banyaknya. Jadi bentuk fundamental pertama itu metrik dan buta terhadap bentuknya; sedangkan bentuk kedua yang melihat bentuknya adalah milik Tahun ke-3.

Contoh 19.23 (Luas bolanya)

Untuk bagan bola pada Contoh 19.2:

\sigma_\theta = R(-\sin\theta\cos\varphi,\ \cos\theta\cos\varphi,\ 0), \qquad \sigma_\varphi = R(-\cos\theta\sin\varphi,\ -\sin\theta\sin\varphi,\ \cos\varphi),

jadi $E = R^2\cos^2\varphi$ , $F = 0$ , $G = R^2$ dan $\sqrt{EG - F^2} = R^2\cos\varphi$ . Karena itu

\mathcal{A} = \int_{-\pi/2}^{\pi/2}\!\!\int_0^{2\pi} R^2\cos\varphi\;\dd\theta\,\dd\varphi = 2\pi R^2\,\bigl[\sin\varphi\bigr]_{-\pi/2}^{\pi/2} = \boxed{4\pi R^2} .

Contoh 19.24 (Kerucutnya, diperiksa terhadap rumus sekolah)

Untuk kerucut $z = \sqrt{x^2 + y^2}$ di atas anulus $a \leq \rho \leq b$ , rumus grafik pada Latihan 19.5 memberi $1 + f_x^2 + f_y^2 = 2$ (sebab $f_x = x/\rho$ dan $f_y = y/\rho$ ), jadi

\mathcal A = \sqrt2\,\pi\,(b^2 - a^2) .

Adapun pemeriksaan kekonsistenannya dengan rumus tinggi miring $\pi\rho\ell$ pada Contoh 19.26: kerucut penuh yang berjari-jari alas $b$ dan $a$ punya luas selimut $\pi b\cdot b\sqrt2$ dan $\pi a\cdot a\sqrt2$ , yang selisihnya persis $\sqrt2\pi(b^2 - a^2)$ . Jadi dua bagan, dua rumus, satu luas — yakni keinvarianan yang dibuktikan pada Latihan 19.8, yang terlihat di alam liar.

Baca dalam konteks →

Contoh

Contoh

Istilah terkait