Apa itu def? — Matematika

Definisi 21.1 Matematika Universitas — Tahun 1 · Bab 21 — Matriks

Himpunan $\mathcal{M}_{n,p}(K)$ adalah ruang vektor berisi larik $n \times p$ yaitu $A = (a_{ij})$ berisi skalar ( $i$ : barisnya, $j$ : kolomnya), yang berdimensi $np$ (dengan basisnya: matriks $E_{ij}$ yang bernilai $1$ tunggal). Diberikan basis $\mathcal{B} = (e_1, \dots, e_p)$ pada $E$ dan $\mathcal{C}$ pada $F$ (dengan $\dim F = n$ ), matriks $u \in \mathcal{L}(E, F)$ adalah larik yang kolom ke- $j$ -nya mendaftar koordinat $u(e_j)$ pada $\mathcal{C}$ :

\operatorname{Mat}_{\mathcal{B},\mathcal{C}}(u) = (a_{ij}), \qquad u(e_j) = \sum_{i=1}^{n} a_{ij}\, f_i .

Adapun pemetaan $u \mapsto \operatorname{Mat}_{\mathcal{B},\mathcal{C}}(u)$ merupakan isomorfisma dari $\mathcal{L}(E, F)$ pada $\mathcal{M}_{n,p}(K)$ (Proposisi 20.2: karena pemetaan linear tepat merupakan pemilihan peta $e_j$ -nya).

Contoh

Contoh 21.2 (Turunan, sebagai sebuah matriks)

Misalkan $D(P) = P'$ pada $\R_3[X]$ . Pada basis monomialnya $(1, X, X^2, X^3)$ : $D(1) = 0$ , $D(X) = 1$ , $D(X^2) = 2X$ , $D(X^3) = 3X^2$ , sehingga

\operatorname{Mat}(D) = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 3\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

Sedangkan pada basis yang terbagi $\bigl(1,\ X,\ \frac{X^2}2,\ \frac{X^3}6\bigr)$ , setiap vektor basisnya terpetakan ke yang sebelumnya (karena $D\bigl(\frac{X^k}{k!}\bigr) = \frac{X^{k-1}}{(k-1)!}$ ), dan matriksnya menjadi geseran murni: yaitu satuan pada superdiagonalnya, dan nol di tempat lain. Ada dua moralnya: bahwa matriksnya milik pasangan (pemetaan, basis), bukan pemetaannya belaka; dan bahwa basis yang baik membuat strukturnya kasatmata sekali pandang — karena bentuk geserannya seketika menunjukkan bahwa $D^4 = 0$ pada $\R_3[X]$ , dengan setiap pangkat matriksnya mendorong diagonal satuannya satu langkah lebih jauh ke luar.

Baca dalam konteks →

Contoh

Istilah terkait