O que é def? — Matemática

Definição 21.1 Matemática universitária — Graduação 1 · Capítulo 21 — Matrizes

$\mathcal{M}_{n,p}(K)$ é o espaço vetorial dos quadros $n \times p$ de escalares $A = (a_{ij})$ ( $i$ : linha, $j$ : coluna), de dimensão $np$ (base: as matrizes $E_{ij}$ com um único $1$ ). Dadas bases $\mathcal{B} = (e_1, \dots, e_p)$ de $E$ e $\mathcal{C}$ de $F$ ( $\dim F = n$ ), a matriz de $u \in \mathcal{L}(E, F)$ é o quadro cuja $j$ -ésima coluna lista as coordenadas de $u(e_j)$ em $\mathcal{C}$ :

\operatorname{Mat}_{\mathcal{B},\mathcal{C}}(u) = (a_{ij}), \qquad u(e_j) = \sum_{i=1}^{n} a_{ij}\, f_i .

A aplicação $u \mapsto \operatorname{Mat}_{\mathcal{B},\mathcal{C}}(u)$ é um isomorfismo de $\mathcal{L}(E, F)$ sobre $\mathcal{M}_{n,p}(K)$ (a Proposição 20.2: uma aplicação linear é exatamente uma escolha de imagens dos $e_j$ ).

Exemplos

Exemplo 21.2 (A derivada, como matriz)

Seja $D(P) = P'$ em $\R_3[X]$ . Na base monomial $(1, X, X^2, X^3)$ : $D(1) = 0$ , $D(X) = 1$ , $D(X^2) = 2X$ , $D(X^3) = 3X^2$ , logo

\operatorname{Mat}(D) = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 3\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

Na base dividida $\bigl(1,\ X,\ \frac{X^2}2,\ \frac{X^3}6\bigr)$ , cada vetor da base é levado no anterior ( $D\bigl(\frac{X^k}{k!}\bigr) = \frac{X^{k-1}}{(k-1)!}$ ), e a matriz torna-se o deslocamento puro: uns na superdiagonal, zeros em todo o resto. Duas morais: a matriz pertence ao par (aplicação, base), e não à aplicação sozinha; e uma boa base torna a estrutura visível de relance — a forma de deslocamento mostra na hora que $D^4 = 0$ em $\R_3[X]$ , cada potência da matriz empurrando a sua diagonal de uns um passo mais para fora.

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Exemplos

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