¿Qué es def? — Matemáticas

Definición 21.1 Matemáticas universitarias — Grado 1 · Capítulo 21 — Matrices

$\mathcal{M}_{n,p}(K)$ es el espacio vectorial de las tablas $n \times p$ de escalares $A = (a_{ij})$ ( $i$ : fila, $j$ : columna), de dimensión $np$ (base: las matrices $E_{ij}$ con un único $1$ ). Dadas bases $\mathcal{B} = (e_1, \dots, e_p)$ de $E$ y $\mathcal{C}$ de $F$ ( $\dim F = n$ ), la matriz de $u \in \mathcal{L}(E, F)$ es la tabla cuya columna $j$ -ésima enumera las coordenadas de $u(e_j)$ en $\mathcal{C}$ :

\operatorname{Mat}_{\mathcal{B},\mathcal{C}}(u) = (a_{ij}), \qquad u(e_j) = \sum_{i=1}^{n} a_{ij}\, f_i .

La aplicación $u \mapsto \operatorname{Mat}_{\mathcal{B},\mathcal{C}}(u)$ es un isomorfismo de $\mathcal{L}(E, F)$ sobre $\mathcal{M}_{n,p}(K)$ (Proposición 20.2: una aplicación lineal es exactamente una elección de imágenes de los $e_j$ ).

Ejemplos

Ejemplo 21.2 (La derivada, como matriz)

Sea $D(P) = P'$ en $\R_3[X]$ . En la base monomial $(1, X, X^2, X^3)$ : $D(1) = 0$ , $D(X) = 1$ , $D(X^2) = 2X$ , $D(X^3) = 3X^2$ , luego

\operatorname{Mat}(D) = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 3\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

En la base dividida $\bigl(1,\ X,\ \frac{X^2}2,\ \frac{X^3}6\bigr)$ , cada vector de la base va al anterior ( $D\bigl(\frac{X^k}{k!}\bigr) = \frac{X^{k-1}}{(k-1)!}$ ) y la matriz se convierte en el desplazamiento puro: unos en la superdiagonal y ceros en el resto. Dos moralejas: la matriz pertenece a la pareja (aplicación, base), no a la aplicación sola; y una buena base vuelve visible la estructura de un vistazo — la forma de desplazamiento muestra al instante que $D^4 = 0$ en $\R_3[X]$ , pues cada potencia de la matriz empuja su diagonal de unos un paso más lejos.

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Ejemplos

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