Wat is def? — Wiskunde

Definitie 21.1 Universitaire wiskunde — Bachelor jaar 1 · Hoofdstuk 21 — Matrices

$\mathcal{M}_{n,p}(K)$ is de vectorruimte van de $n \times p$ tabellen $A = (a_{ij})$ scalairen ( $i$ : rij, $j$ : kolom), van dimensie $np$ (basis: de matrices $E_{ij}$ met één enkele $1$ ). Gegeven bases $\mathcal{B} = (e_1, \dots, e_p)$ van $E$ en $\mathcal{C}$ van $F$ ( $\dim F = n$ ), is de matrix van $u \in \mathcal{L}(E, F)$ de tabel waarvan de $j$ -de kolom de coördinaten van $u(e_j)$ in $\mathcal{C}$ opsomt:

\operatorname{Mat}_{\mathcal{B},\mathcal{C}}(u) = (a_{ij}), \qquad u(e_j) = \sum_{i=1}^{n} a_{ij}\, f_i .

De afbeelding $u \mapsto \operatorname{Mat}_{\mathcal{B},\mathcal{C}}(u)$ is een isomorfisme van $\mathcal{L}(E, F)$ op $\mathcal{M}_{n,p}(K)$ (Propositie 20.2: een lineaire afbeelding is precies een keuze van beelden van de $e_j$ ).

Voorbeelden

Voorbeeld 21.2 (De afgeleide, als matrix)

Zij $D(P) = P'$ op $\R_3[X]$ . In de monomiale basis $(1, X, X^2, X^3)$ : $D(1) = 0$ , $D(X) = 1$ , $D(X^2) = 2X$ , $D(X^3) = 3X^2$ , dus

\operatorname{Mat}(D) = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 3\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

In de gedeelde basis $\bigl(1,\ X,\ \frac{X^2}2,\ \frac{X^3}6\bigr)$ wordt elke basisvector op de vorige afgebeeld ( $D\bigl(\frac{X^k}{k!}\bigr) = \frac{X^{k-1}}{(k-1)!}$ ), en wordt de matrix de zuivere verschuiving: enen op de superdiagonaal, nullen elders. Twee moralen: de matrix hoort bij het paar (afbeelding, basis), niet bij de afbeelding alleen; en een goede basis maakt structuur in één oogopslag zichtbaar — de verschuivingsvorm toont ogenblikkelijk dat $D^4 = 0$ op $\R_3[X]$ , waarbij elke macht van de matrix haar diagonaal enen één stap verder naar buiten duwt.

Lees in het hoofdstuk →

Voorbeelden

Verwante begrippen