def क्या है? — गणित

परिभाषा 21.1 विश्वविद्यालय गणित — स्नातक वर्ष 1 · अध्याय 21 — आव्यूह

$\mathcal{M}_{n,p}(K)$ अदिशों की $n \times p$ सारणियों $A = (a_{ij})$ की सदिश समष्टि है ( $i$ : पंक्ति, $j$ : स्तंभ), जिसकी विमा $np$ है (आधार: केवल एक $1$ वाले आव्यूह $E_{ij}$ )। $E$ का आधार $\mathcal{B} = (e_1, \dots, e_p)$ और $F$ का आधार $\mathcal{C}$ दिए हों ( $\dim F = n$ ), तो $u \in \mathcal{L}(E, F)$ का आव्यूह वह सारणी है जिसका $j$ -वाँ स्तंभ $\mathcal{C}$ में $u(e_j)$ के निर्देशांक देता है:

\operatorname{Mat}_{\mathcal{B},\mathcal{C}}(u) = (a_{ij}), \qquad u(e_j) = \sum_{i=1}^{n} a_{ij}\, f_i .

प्रतिचित्रण $u \mapsto \operatorname{Mat}_{\mathcal{B},\mathcal{C}}(u)$ $\mathcal{L}(E, F)$ से $\mathcal{M}_{n,p}(K)$ पर एक तुल्याकारिता है (प्रतिज्ञप्ति 20.2: रैखिक प्रतिचित्रण ठीक $e_j$ के प्रतिबिंबों का चुनाव ही है)।

उदाहरण

उदाहरण 21.2 (अवकलज, आव्यूह के रूप में)

$\R_3[X]$ पर मान लीजिए $D(P) = P'$ । एकपदी आधार $(1, X, X^2, X^3)$ में: $D(1) = 0$ , $D(X) = 1$ , $D(X^2) = 2X$ , $D(X^3) = 3X^2$ , अतः

\operatorname{Mat}(D) = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 3\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

विभाजित आधार $\bigl(1,\ X,\ \frac{X^2}2,\ \frac{X^3}6\bigr)$ में हर आधार-सदिश पिछले पर चला जाता है ( $D\bigl(\frac{X^k}{k!}\bigr) = \frac{X^{k-1}}{(k-1)!}$ ), और आव्यूह शुद्ध सरकाव बन जाता है: अधिविकर्ण पर इकाइयाँ, बाक़ी जगह शून्य। दो सीखें: आव्यूह (प्रतिचित्रण, आधार) की जोड़ी का होता है, अकेले प्रतिचित्रण का नहीं; और अच्छा आधार संरचना को एक नज़र में दिखा देता है — सरकाव-रूप तुरंत दिखा देता है कि $\R_3[X]$ पर $D^4 = 0$ , क्योंकि आव्यूह की हर घात अपने इकाइयों वाले विकर्ण को एक क़दम और बाहर धकेल देती है।

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उदाहरण

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