Qu'est-ce que « def » ? — Mathématiques

Définition 21.1 Mathématiques universitaires — Licence 1 · Chapitre 21 — Matrices

$\mathcal{M}_{n,p}(K)$ est l’espace vectoriel des tableaux $n \times p$ $A = (a_{ij})$ de scalaires ( $i$ : ligne, $j$ : colonne), de dimension $np$ (base : les matrices $E_{ij}$ n’ayant qu’un seul $1$ ). Étant données des bases $\mathcal{B} = (e_1, \dots, e_p)$ de $E$ et $\mathcal{C}$ de $F$ ( $\dim F = n$ ), la matrice de $u \in \mathcal{L}(E, F)$ est le tableau dont la $j$ -ième colonne donne les coordonnées de $u(e_j)$ dans $\mathcal{C}$ :

\operatorname{Mat}_{\mathcal{B},\mathcal{C}}(u) = (a_{ij}), \qquad u(e_j) = \sum_{i=1}^{n} a_{ij}\, f_i .

L’application $u \mapsto \operatorname{Mat}_{\mathcal{B},\mathcal{C}}(u)$ est un isomorphisme de $\mathcal{L}(E, F)$ sur $\mathcal{M}_{n,p}(K)$ (Proposition 20.2 : une application linéaire, c’est exactement un choix des images des $e_j$ ).

Exemples

Exemple 21.2 (La dérivée, vue comme matrice)

Soit $D(P) = P'$ sur $\R_3[X]$ . Dans la base des monômes $(1, X, X^2, X^3)$ : $D(1) = 0$ , $D(X) = 1$ , $D(X^2) = 2X$ , $D(X^3) = 3X^2$ , donc

\operatorname{Mat}(D) = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 3\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

Dans la base divisée $\bigl(1,\ X,\ \frac{X^2}2,\ \frac{X^3}6\bigr)$ , chaque vecteur de base est envoyé sur le précédent ( $D\bigl(\frac{X^k}{k!}\bigr) = \frac{X^{k-1}}{(k-1)!}$ ), et la matrice devient le décalage pur : des $1$ sur la surdiagonale, des zéros ailleurs. Deux morales : la matrice appartient au couple (application, base), et non à l’application seule ; et une bonne base rend la structure visible d’un coup d’œil — la forme de décalage montre instantanément que $D^4 = 0$ sur $\R_3[X]$ , chaque puissance de la matrice repoussant sa diagonale de $1$ d’un cran vers l’extérieur.

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