ما معنى def؟ — الرياضيات

تعريف 21.1 الرياضيات الجامعية — السنة 1 · الفصل 21 — المصفوفات

$\mathcal{M}_{n,p}(K)$ هو الفضاء المتجهي للجداول $n \times p$ $A = (a_{ij})$ من السلالم ( $i$ : السطر، $j$ : العمود)، وبُعده $np$ (بالأساس: المصفوفات $E_{ij}$ ذات $1$ واحد). ومن أجل أساسين $\mathcal{B} = (e_1, \dots, e_p)$ للمقدار $E$ و $\mathcal{C}$ للمقدار $F$ ( $\dim F = n$ )، تكون مصفوفة $u \in \mathcal{L}(E, F)$ هي الجدول الذي يسرد عموده $j$ إحداثيات $u(e_j)$ في $\mathcal{C}$ :

\operatorname{Mat}_{\mathcal{B},\mathcal{C}}(u) = (a_{ij}), \qquad u(e_j) = \sum_{i=1}^{n} a_{ij}\, f_i .

والتطبيق $u \mapsto \operatorname{Mat}_{\mathcal{B},\mathcal{C}}(u)$ تشاكل تقابلي من $\mathcal{L}(E, F)$ على $\mathcal{M}_{n,p}(K)$ (القضية 20.2: فالتطبيق الخطي هو بالضبط اختيار صور المقادير $e_j$ ).

أمثلة

مثال 21.2 (المشتقة، مصفوفةً)

لتكن $D(P) = P'$ على $\R_3[X]$ . وفي الأساس الوحيد الحدّ $(1, X, X^2, X^3)$ : $D(1) = 0$ و $D(X) = 1$ و $D(X^2) = 2X$ و $D(X^3) = 3X^2$ ، ومنه

\operatorname{Mat}(D) = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 3\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

وفي الأساس المقسوم $\bigl(1,\ X,\ \frac{X^2}2,\ \frac{X^3}6\bigr)$ ، يُرسل كل متجهة أساس إلى السابقة ( $D\bigl(\frac{X^k}{k!}\bigr) = \frac{X^{k-1}}{(k-1)!}$ )، و تصير المصفوفة إزاحةً محضة: آحادٌ على القطر الفوقي، وأصفار فيما عداه. ودرسان: المصفوفة تنتمي إلى الزوج (التطبيق، الأساس)، لا إلى التطبيق وحده؛ والأساس الجيد يجعل البنية مرئية بنظرة — فصورة الإزاحة تبيّن فورًا أن $D^4 = 0$ على $\R_3[X]$ ، إذ تدفع كل قوة للمصفوفة قطرَ آحادها خطوةً أبعد.

اقرأ في الفصل ←

أمثلة

مصطلحات ذات صلة