Interior, penutup, perbatasan কী?

Contoh 12.12

Di sini $\overline{\intoo{0}{1}} = \intcc{0}{1}$; $\mathring{\intcc{0}{1}} = \intoo{0}{1}$; $\partial\intoo{0}{1} = \{0, 1\}$. Untuk $A = \{\frac 1n : n \in \N^*\}$: $\overline A = A \cup \{0\}$, $\mathring A = \emptyset$, $\partial A = A \cup \{0\}$. Untuk $\Q$: menurut kepadatannya (Teorema 10.14) setiap bilangan real lekat pada $\Q$, sehingga $\overline{\Q} = \R$ sedangkan $\mathring{\Q} = \emptyset$ (karena setiap selang memuat bilangan irasional): jadi perbatasan $\Q$ adalah seluruh $\R$.

Contoh 12.13 (Anatomi yang lengkap)

Misalkan $A = \intoc{0}{1} \,\cup\, \bigl(\Q \cap \intoo{2}{3}\bigr) \,\cup\, \{4\}$. Kita menghitung ketiga himpunan pada Definisi 12.10, kepingan demi kepingan.

Interiornya. Sebuah titik $\intoo{0}{1}$ mempunyai seluruh selang di dalam $A$: jadi interior. Adapun titik $1$: setiap selang di sekitarnya bocor ke kanan $1$, yang di situ $A$ tak punya apa-apa sampai $2$: jadi bukan interior. Tak ada titik $\Q \cap \intoo{2}{3}$ yang interior (karena setiap selang memuat bilangan irasional, Teorema 10.14); demikian pula $4$ yang terasing. Jadi $\mathring A = \intoo{0}{1}$.

Penutupnya. Limit titik $A$ adalah: seluruh $\intcc{0}{1}$ (karena $0 = \lim \frac1n$ dengan $\frac 1n \in A$); seluruh $\intcc{2}{3}$ (karena setiap bilangan real di sana merupakan limit bilangan rasional pada selangnya, menurut kepadatan lagi); dan $4$. Tak ada yang lain: karena titik di luar $\intcc{0}{1} \cup \intcc{2}{3} \cup \{4\}$ berjarak positif ke himpunan tertutup itu. Jadi $\overline A = \intcc{0}{1} \cup \intcc{2}{3} \cup \{4\}$.

Perbatasannya. Di sini $\partial A = \overline A \setminus \mathring A = \{0, 1\} \cup \intcc{2}{3} \cup \{4\}$.

Inti gagasan penutupnya: bahwa ketiga operasinya bekerja secara lokal — karena setiap kepingan $A$ menyumbang menurut sifatnya sendiri (sebuah selang yang padu mempertahankan bagian dalamnya, kepingan yang padat tetapi berpori berubah seluruhnya menjadi perbatasan, sedangkan titik yang terasing murni perbatasan), dan gambaran dua baris atas $A$ meramalkan setiap jawabannya sebelum satu bukti pun dituliskan.

Contoh 12.15 (Sebuah penutup yang dihitung persis)

Misalkan $G = \bigl\{\frac1m + \frac1n : m, n \in \N^*\bigr\}$ (dari Contoh 12.7). Klaimnya:

($\supseteq$) Karena $\frac1m = \lim_n \bigl(\frac1m + \frac1n\bigr)$ dan $0 = \lim_n \frac2n$: jadi lekat menurut pencirian lewat barisan. ($\subseteq$) Misalkan $x = \lim_k \bigl( \frac{1}{m_k} + \frac{1}{n_k}\bigr)$; lalu urutkan setiap pasangannya sehingga $m_k \leq n_k$. Jika $(m_k)$ tak terbatas, maka suatu subbarisan mempunyai $m_k \to \infty$, sehingga $n_k \to \infty$ pula dan $x = 0$. Kalau tidak, $(m_k)$ mengambil nilai yang berhingga banyak, salah satunya, katakanlah $m$, tak hingga sering; lalu sepanjang subbarisan itu $\frac{1}{n_k} \to x - \frac1m$: jika $(n_k)$ terbatas maka ia mengambil suatu nilai $n$ tak hingga sering dan $x = \frac1m + \frac1n \in G$; kalau tidak, $x = \frac1m$. Jadi setiap kasusnya mendarat di himpunan yang diumumkan. Inti gagasan penutupnya: bahwa menghitung penutup adalah analisis kasus bergaya kekompakan atas indeksnya — indeks yang terbatas berarti nilai yang berhingga banyak (menurut sarang merpati), sedangkan indeks yang tak terbatas berarti sebuah limit kabur — dan jawabannya memperlihatkan struktur dua lapis yang khas bagi titik limit: yaitu himpunannya, limit generasi pertamanya, dan limitnya $0$.