Apa itu isometri? — Matematika

Definisi 23.15 Matematika Universitas — Tahun 1 · Bab 23 — Ruang Euklides

Sebuah endomorfisma $u$ pada ruang Euklides disebut isometri (atau pemetaan ortogonal) ketika ia mengawetkan normanya: $\norm{u(x)} = \norm x$ untuk semua $x$ — setara dengan itu (lewat polarisasi) ia mengawetkan hasil kali dalamnya; setara dengan itu matriksnya $A$ pada basis ortonormal memenuhi $A^{\mathsf T} A = I$ . Adapun isometri membentuk grup, yaitu grup ortogonal $O(E)$ .

Dua pencerminan membuat sebuah rotasi: mencerminkan M = (2, 0.5) pada sumbu x, lalu pada garis y = x, mendarat di (-0.5, 2) — yaitu peta M di bawah rotasi bersudut π2 terhadap titik asalnya, yakni dua kali sudut π4 antara sumbunya. Adapun soal akhir pekannya mengubah gambar ini menjadi hukum komposisi semua isometri bidang. — Dua pencerminan membuat sebuah rotasi: mencerminkan $M = (2, 0.5)$ pada sumbu $x$ , lalu pada garis $y = x$ , mendarat di $(-0.5, 2)$ — yaitu peta $M$ di bawah rotasi bersudut $\frac\pi2$ terhadap titik asalnya, yakni *dua kali* sudut $\frac\pi4$ antara sumbunya. Adapun soal akhir pekannya mengubah gambar ini menjadi hukum komposisi semua isometri bidang.

Contoh

Contoh 23.16 (Mengenali sebuah isometri sekali pandang)

Apakah $A = \dfrac15\begin{pmatrix} 3 & -4\\ 4 & 3\end{pmatrix}$ ortogonal? Kolomnya: normanya $\frac15\sqrt{9 + 16} = 1$ dan $\frac15\sqrt{16 + 9} = 1$ ; hasil kalinya $\frac1{25}(3\cdot(-4) + 4\cdot3) = 0$ . Ya — dan $\det A = \frac{9 + 16}{25} = 1$ , sehingga ia rotasi $R_\theta$ dengan $\cos\theta = \frac35$ , $\sin\theta = \frac45$ (yaitu “rotasi $3$ - $4$ - $5$ ”, yang sudutnya bukan pecahan $\pi$ yang istimewa). Sebaliknya $B = \frac{1}{\sqrt2}\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 0 & 1\end{pmatrix}$ tampak berdeterminan terskalakan satuan tetapi kolom pertamanya tak bersatuan ( $\frac1{\sqrt2}$ ): jadi tak ortogonal — karena determinan $\pm1$ belaka tak mengesahkan apa pun, kolomnya mesti diperiksa.

Baca dalam konteks →

Contoh

Istilah terkait