¿Qué es isometría? — Matemáticas

Definición 23.15 Matemáticas universitarias — Grado 1 · Capítulo 23 — Espacios euclídeos

Un endomorfismo $u$ de un espacio euclídeo es una isometría (o aplicación ortogonal) cuando conserva la norma: $\norm{u(x)} = \norm x$ para todo $x$ — equivalentemente (por polarización), conserva el producto escalar; equivalentemente, su matriz $A$ en una base ortonormal cumple $A^{\mathsf T} A = I$ . Las isometrías forman un grupo, el grupo ortogonal $O(E)$ .

Dos reflexiones hacen una rotación: reflejar M = (2, 0.5) en el eje x y después en la recta y = x aterriza en (-0.5, 2) — la imagen de M por la rotación de ángulo π2 en torno al origen, el doble del ángulo π4 entre los ejes. El problema del fin de semana convierte esta imagen en la ley de composición de todas las isometrías del plano. — Dos reflexiones hacen una rotación: reflejar $M = (2, 0.5)$ en el eje $x$ y después en la recta $y = x$ aterriza en $(-0.5, 2)$ — la imagen de $M$ por la rotación de ángulo $\frac\pi2$ en torno al origen, *el doble* del ángulo $\frac\pi4$ entre los ejes. El problema del fin de semana convierte esta imagen en la ley de composición de todas las isometrías del plano.

Ejemplos

Ejemplo 23.16 (Reconocer una isometría a simple vista)

¿Es ortogonal $A = \dfrac15\begin{pmatrix} 3 & -4\\ 4 & 3\end{pmatrix}$ ? Columnas: normas $\frac15\sqrt{9 + 16} = 1$ y $\frac15\sqrt{16 + 9} = 1$ ; producto $\frac1{25}(3\cdot(-4) + 4\cdot3) = 0$ . Sí — y $\det A = \frac{9 + 16}{25} = 1$ , así que es la rotación $R_\theta$ con $\cos\theta = \frac35$ , $\sin\theta = \frac45$ (la «rotación $3$ - $4$ - $5$ », cuyo ángulo no es ninguna fracción notable de $\pi$ ). En cambio, $B = \frac{1}{\sqrt2}\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 0 & 1\end{pmatrix}$ tiene aspecto de estar escalada para tener determinante unidad, pero su primera columna no es unitaria ( $\frac1{\sqrt2}$ ): no es ortogonal — el determinante $\pm1$ por sí solo no certifica nada, hay que comprobar las columnas.

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