Qu'est-ce que « isométrie » ? — Mathématiques

Définition 23.15 Mathématiques universitaires — Licence 1 · Chapitre 23 — Espaces euclidiens

Un endomorphisme $u$ d’un espace euclidien est une isométrie (ou application orthogonale) lorsqu’il conserve la norme : $\norm{u(x)} = \norm x$ pour tout $x$ — de façon équivalente (polarisation), il conserve le produit scalaire ; de façon équivalente, sa matrice $A$ dans une base orthonormale vérifie $A^{\mathsf T} A = I$ . Les isométries forment un groupe, le groupe orthogonal $O(E)$ .

Deux réflexions font une rotation : en réfléchissant M = (2, 0.5) par rapport à l’axe des x, puis par rapport à la droite y = x, on arrive en (-0.5, 2) — l’image de M par la rotation d’angle π2 de centre l’origine, soit deux fois l’angle π4 entre les axes. Le devoir maison transforme cette image en la loi de composition de toutes les isométries planes. — Deux réflexions font une rotation : en réfléchissant $M = (2, 0.5)$ par rapport à l’axe des $x$ , puis par rapport à la droite $y = x$ , on arrive en $(-0.5, 2)$ — l’image de $M$ par la rotation d’angle $\frac\pi2$ de centre l’origine, soit *deux fois* l’angle $\frac\pi4$ entre les axes. Le devoir maison transforme cette image en la loi de composition de toutes les isométries planes.

Exemples

Exemple 23.16 (Reconnaître une isométrie à vue)

La matrice $A = \dfrac15\begin{pmatrix} 3 & -4\\ 4 & 3\end{pmatrix}$ est-elle orthogonale ? Les colonnes : normes $\frac15\sqrt{9 + 16} = 1$ et $\frac15\sqrt{16 + 9} = 1$ ; produit $\frac1{25}(3\cdot(-4) + 4\cdot3) = 0$ . Oui — et $\det A = \frac{9 + 16}{25} = 1$ , c’est donc la rotation $R_\theta$ avec $\cos\theta = \frac35$ , $\sin\theta = \frac45$ (la « rotation $3$ - $4$ - $5$ », dont l’angle n’est aucune fraction remarquable de $\pi$ ). En revanche $B = \frac{1}{\sqrt2}\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 0 & 1\end{pmatrix}$ a un faux air de matrice normalisée, mais sa première colonne n’est pas unitaire ( $\frac1{\sqrt2}$ ) : elle n’est pas orthogonale — un déterminant $\pm1$ ne certifie rien à lui seul, il faut vérifier les colonnes.

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