O que é isometria? — Matemática

Definição 23.15 Matemática universitária — Graduação 1 · Capítulo 23 — Espaços Euclidianos

Um endomorfismo $u$ de um espaço euclidiano é uma isometria (ou aplicação ortogonal) quando preserva a norma: $\norm{u(x)} = \norm x$ para todo $x$ — equivalentemente (por polarização), quando preserva o produto interno; equivalentemente, quando a sua matriz $A$ numa base ortonormal satisfaz $A^{\mathsf T} A = I$ . As isometrias formam um grupo, o grupo ortogonal $O(E)$ .

Duas reflexões fazem uma rotação: refletir M = (2, 0.5) no eixo x e depois na reta y = x leva a (-0.5, 2) — a imagem de M pela rotação de ângulo π2 em torno da origem, o dobro do ângulo π4 entre os eixos. O problema de fim de semana transforma esta figura na lei de composição de todas as isometrias do plano. — Duas reflexões fazem uma rotação: refletir $M = (2, 0.5)$ no eixo $x$ e depois na reta $y = x$ leva a $(-0.5, 2)$ — a imagem de $M$ pela rotação de ângulo $\frac\pi2$ em torno da origem, o *dobro* do ângulo $\frac\pi4$ entre os eixos. O problema de fim de semana transforma esta figura na lei de composição de todas as isometrias do plano.

Exemplos

Exemplo 23.16 (Reconhecer uma isometria de relance)

Será $A = \dfrac15\begin{pmatrix} 3 & -4\\ 4 & 3\end{pmatrix}$ ortogonal? Colunas: normas $\frac15\sqrt{9 + 16} = 1$ e $\frac15\sqrt{16 + 9} = 1$ ; produto $\frac1{25}(3\cdot(-4) + 4\cdot3) = 0$ . Sim — e $\det A = \frac{9 + 16}{25} = 1$ , logo ela é a rotação $R_\theta$ com $\cos\theta = \frac35$ , $\sin\theta = \frac45$ (a “rotação $3$ - $4$ - $5$ ”, cujo ângulo não é fração notável alguma de $\pi$ ). Em contraste, $B = \frac{1}{\sqrt2}\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 0 & 1\end{pmatrix}$ tem aparência de determinante unitário mas primeira coluna de norma diferente de $1$ ( $\frac1{\sqrt2}$ ): não é ortogonal — determinante $\pm1$ sozinho não certifica nada, as colunas têm de ser verificadas.

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