Wat is isometrie? — Wiskunde

Definitie 23.15 Universitaire wiskunde — Bachelor jaar 1 · Hoofdstuk 23 — Euclidische ruimten

Een endomorfisme $u$ van een euclidische ruimte is een isometrie (of orthogonale afbeelding) wanneer het de norm bewaart: $\norm{u(x)} = \norm x$ voor alle $x$ — equivalent (polarisatie) bewaart het het inwendige product; equivalent voldoet haar matrix $A$ in een orthonormale basis aan $A^{\mathsf T} A = I$ . De isometrieën vormen een groep, de orthogonale groep $O(E)$ .

Twee spiegelingen maken een rotatie: M = (2, 0.5) eerst in de x-as spiegelen en daarna in de rechte y = x landt in (-0.5, 2) — het beeld van M onder de rotatie over de hoek π2 rond de oorsprong, tweemaal de hoek π4 tussen de assen. De weekendopgave maakt van dit beeld de samenstellingswet van alle isometrieën van het vlak. — Twee spiegelingen maken een rotatie: $M = (2, 0.5)$ eerst in de $x$ -as spiegelen en daarna in de rechte $y = x$ landt in $(-0.5, 2)$ — het beeld van $M$ onder de rotatie over de hoek $\frac\pi2$ rond de oorsprong, *tweemaal* de hoek $\frac\pi4$ tussen de assen. De weekendopgave maakt van dit beeld de samenstellingswet van alle isometrieën van het vlak.

Voorbeelden

Voorbeeld 23.16 (Een isometrie op het zicht herkennen)

Is $A = \dfrac15\begin{pmatrix} 3 & -4\\ 4 & 3\end{pmatrix}$ orthogonaal? Kolommen: normen $\frac15\sqrt{9 + 16} = 1$ en $\frac15\sqrt{16 + 9} = 1$ ; product $\frac1{25}(3\cdot(-4) + 4\cdot3) = 0$ . Ja — en $\det A = \frac{9 + 16}{25} = 1$ , dus is zij de rotatie $R_\theta$ met $\cos\theta = \frac35$ en $\sin\theta = \frac45$ (de “ $3$ - $4$ - $5$ -rotatie”, waarvan de hoek geen opmerkelijke breuk van $\pi$ is). Daarentegen heeft $B = \frac{1}{\sqrt2}\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 0 & 1\end{pmatrix}$ wel het uiterlijk van een eenheidsdeterminant maar een eerste kolom zonder norm $1$ ( $\frac1{\sqrt2}$ ): niet orthogonaal — een determinant $\pm1$ alleen certificeert niets, de kolommen moeten worden gecontroleerd.

Lees in het hoofdstuk →

Voorbeelden

Verwante begrippen