Apa itu hasil kali dalam? — Matematika

Definisi 23.1 Matematika Universitas — Tahun 1 · Bab 23 — Ruang Euklides

Sebuah hasil kali dalam pada $E$ adalah pemetaan $\langle\cdot,\cdot\rangle \colon E \times E \to \R$ yang bilinear, setangkup, dan tegas positif ( $\langle x, x\rangle > 0$ untuk $x \neq 0$ ). Adapun ruang berdimensi hingga yang dilengkapi demikian disebut ruang Euklides. Sedangkan norma $x$ adalah $\norm{x} = \sqrt{\langle x, x\rangle}$ , dan $d(x, y) = \norm{x - y}$ .

Contoh

Contoh 23.2

Pada $\R^n$ : hasil kali kanoniknya $\langle x, y\rangle = \sum x_i y_i$ . Pada $C(\intcc{a}{b})$ : $\langle f, g \rangle = \int_a^b fg$ (dengan ketegasan positifnya adalah Teorema 15.7 (4)). Pada $\R_n[X]$ : $\langle P, Q\rangle = \int_0^1 PQ$ , atau $\sum_{i} P(x_i)Q(x_i)$ atas $n+1$ titik yang berbeda.

Contoh 23.3 (Sudut antara dua polinomial)

Sekali sebuah hasil kali dalam dipilih, sebarang dua vektor taknol mempunyai sudut, lewat $\cos\theta = \frac{\langle x, y\rangle}{\norm x\,\norm y}$ (yaitu kosinus yang sah menurut Cauchy–Schwarz). Bagi $X$ dan $X^2$ pada $\int_0^1$ :

\langle X, X^2\rangle = \frac14, \qquad \norm X = \frac1{\sqrt3}, \qquad \norm{X^2} = \frac1{\sqrt5}, \qquad \cos\theta = \frac{1/4}{1/\sqrt{15}} = \frac{\sqrt{15}}{4} \approx 0.968 :

yaitu sudut sekitar $14.5$ derajat — jadi pada $\intcc{0}{1}$ , grafik $x$ dan $x^2$ “nyaris sejajar” dalam makna rerata kuadratnya, dan itulah sebabnya membuang arah yang terbagi itu (lewat Gram–Schmidt, di bawah) hanya menyisakan koreksi kecil $X^2 - X + \frac16$ .

Contoh 23.7 (Koordinat ortonormal, dengan periksa Parseval)

Jabarkanlah $x = (1, 2, 3)$ pada basis ortonormal Latihan 23.3,

e_1 = \tfrac{1}{\sqrt2}(1,1,0), \quad e_2 = \tfrac{1}{\sqrt6}(1,-1,2), \quad e_3 = \tfrac{1}{\sqrt3}(-1,1,1).

Tak ada sistem yang perlu dipecahkan — hanya tiga hasil kali dalam:

\langle x, e_1\rangle = \frac{3}{\sqrt2}, \qquad \langle x, e_2\rangle = \frac{1 - 2 + 6}{\sqrt6} = \frac{5}{\sqrt6}, \qquad \langle x, e_3\rangle = \frac{-1 + 2 + 3}{\sqrt3} = \frac{4}{\sqrt3}.

Pengesahannya lewat rumus norma pada proposisinya:

\frac{9}{2} + \frac{25}{6} + \frac{16}{3} = \frac{27 + 25 + 32}{6} = 14 = \norm{x}^2 = 1 + 4 + 9 .

Periksa jumlah kuadrat koordinat ini (yaitu kesamaan Parseval yang hingga) berongkos beberapa detik dan menangkap galat tanda dan penormalan nyaris pasti — jadikanlah ia kebiasaan kapan pun sebuah penjabaran ortonormal dihitung; adapun versi berdimensi takhingganya, bagi koefisien Fourier pada Contoh 23.14, merupakan teorema jilid Tahun 3.

Baca dalam konteks →

Definisi 13.1 Matematika Universitas — Tahun 3 · Bab 13 — Ruang Hilbert

Sebuah hasil kali dalam adalah pemetaan $\langle \cdot,\cdot\rangle \colon H\times H \to K$ , yang linear pada variabel keduanya, dengan $\langle y, x\rangle = \overline{\langle x, y\rangle}$ dan $\langle x, x\rangle > 0$ untuk $x \neq 0$ . Ia menginduksi norma $\norm x = \langle x, x\rangle^{1/2}$ , ketaksamaan Cauchy–Schwarz $\abs{\langle x, y\rangle} \leq \norm x\norm y$ (dengan bukti Tahun ke-2 — lewat diskriminannya — yang tak berubah), dan hukum jajaran genjang

\norm{x + y}^2 + \norm{x - y}^2 = 2\norm x^2 + 2\norm y^2 .

Sebuah ruang Hilbert adalah ruang hasil kali dalam yang lengkap terhadap norma ini. Contohnya: $\ell^2$ (Soal 8.1) dan, yang paling mendasar, $L^2(\mu)$ dengan $\langle f, g\rangle = \int\bar fg\,\dd\mu$ — yang lengkap menurut Riesz–Fischer (Teorema 12.4); sedangkan hasil kali dalamnya berhingga menurut Cauchy–Schwarz ( $=$ Hölder pada $p = q = 2$ ).

Contoh

Contoh 13.5 (Sebuah proyeksi, yang dihitung sampai tuntas)

Di $H = L^2(\intcc01)$ , apakah penghampiran terbaik atas $f(x) = x^2$ oleh fungsi afin? Subruang $F = \operatorname{Vect}(1, x)$ bersifat tertutup (sebab berdimensi berhingga), dan $p_F(f) = a + bx$ dicirikan oleh keortogonalan sisanya terhadap $1$ dan terhadap $x$ :

\int_0^1(x^2 - a - bx)\,\dd x = 0, \qquad \int_0^1x\,(x^2 - a - bx)\,\dd x = 0,

yakni $\frac13 = a + \frac b2$ dan $\frac14 = \frac a2 + \frac b3$ : sehingga $a = -\frac16$ dan $b = 1$ . Jadi $p_F(x^2) = x - \frac16$ , dan galatnya adalah

d(f, F)^2 = \int_0^1\Bigl(x^2 - x + \frac16\Bigr)^2\dd x = \frac1{180}, \qquad d(f, F) = \frac1{6\sqrt5} .

Dua catatan yang layak diendapkan. Pertama, perhitungannya tak lain sistem linear $2\times2$ — yakni persamaan normalnya; dan untuk basis monomialnya matriksnya $\bigl(\frac1{i+j+1}\bigr)$ adalah matriks Hilbert yang terkenal buruk kondisinya, sedangkan mengortogonalkannya lebih dahulu (lewat polinomial Legendre, Soal 13.1) merupakan obatnya. Kedua, penghampiran seragam terbaik atas $x^2$ oleh fungsi afin berbeda ( $x - \frac18$ , lewat osilasi setara): sebab setiap norma mempunyai geometrinya sendiri, dan hanya yang Hilbertlah yang menjawab dengan sebuah sistem linear.

Baca dalam konteks →

Contoh

Contoh

Istilah terkait