समदूरक क्या है? — गणित

परिभाषा 23.15 विश्वविद्यालय गणित — स्नातक वर्ष 1 · अध्याय 23 — यूक्लिडीय समष्टियाँ

किसी यूक्लिडीय समष्टि की अंतःसमाकारिता $u$ समदूरक (अथवा लांबिक प्रतिचित्रण) तब कहलाती है जब वह मानक सुरक्षित रखे: सभी $x$ के लिए $\norm{u(x)} = \norm x$ — तुल्य रूप से (ध्रुवण से) वह अंतर्गुणन सुरक्षित रखती है; और तुल्य रूप से किसी लांबिक-प्रसामान्य आधार में उसका आव्यूह $A$ $A^{\mathsf T} A = I$ संतुष्ट करता है। समदूरक एक समूह बनाते हैं, अर्थात् लांबिक समूह $O(E)$ ।

दो परावर्तन मिलकर घूर्णन बनाते हैं: M = (2, 0.5) को x-अक्ष में परावर्तित कीजिए, फिर रेखा y = x में, तो वह (-0.5, 2) पर पहुँचता है — अर्थात् मूल बिंदु के परितः π2 कोण के घूर्णन के अंतर्गत M का प्रतिबिंब, और यह कोण दोनों अक्षों के बीच के कोण π4 का दुगुना है। सप्ताहांत समस्या इसी चित्र को समतल के सभी समदूरकों के संयोजन-नियम में बदल देती है। — दो परावर्तन मिलकर घूर्णन बनाते हैं: $M = (2, 0.5)$ को $x$ -अक्ष में परावर्तित कीजिए, फिर रेखा $y = x$ में, तो वह $(-0.5, 2)$ पर पहुँचता है — अर्थात् मूल बिंदु के परितः $\frac\pi2$ कोण के घूर्णन के अंतर्गत $M$ का प्रतिबिंब, और यह कोण दोनों अक्षों के बीच के कोण $\frac\pi4$ का *दुगुना* है। सप्ताहांत समस्या इसी चित्र को समतल के सभी समदूरकों के संयोजन-नियम में बदल देती है।

उदाहरण

उदाहरण 23.16 (समदूरक को देखते ही पहचानना)

क्या $A = \dfrac15\begin{pmatrix} 3 & -4\\ 4 & 3\end{pmatrix}$ लांबिक है? स्तंभ: मानक $\frac15\sqrt{9 + 16} = 1$ और $\frac15\sqrt{16 + 9} = 1$ ; गुणन $\frac1{25}(3\cdot(-4) + 4\cdot3) = 0$ । हाँ — और $\det A = \frac{9 + 16}{25} = 1$ , अतः वह $\cos\theta = \frac35$ , $\sin\theta = \frac45$ वाला घूर्णन $R_\theta$ है (“ $3$ - $4$ - $5$ घूर्णन”, जिसका कोण $\pi$ का कोई उल्लेखनीय भिन्नांश नहीं है)। इसके विपरीत $B = \frac{1}{\sqrt2}\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 0 & 1\end{pmatrix}$ देखने में तो इकाई-सारणिक जैसा लगता है, पर उसका पहला स्तंभ इकाई नहीं है ( $\frac1{\sqrt2}$ ): अतः लांबिक नहीं — अकेला सारणिक $\pm1$ कुछ भी प्रमाणित नहीं करता, स्तंभ जाँचने ही पड़ते हैं।

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