什么是 keluarga bebas？

Contoh 18.16

Basis kanonik $K^n$: yaitu $e_i = (0, \dots, 1, \dots, 0)$ (dengan $1$ pada slot $i$). Adapun monomial $(1, X, X^2, \dots, X^n)$: merupakan basis $K_n[X]$ (dengan kebebasannya: karena kombinasi nolnya adalah polinomial nol, sehingga semua koefisiennya lenyap, Definisi 8.1). Di dalam $\C$ atas $\R$: basisnya $(1, \iu)$.

Contoh 18.18 (Menguji sebuah calon basis, dari awal sampai akhir)

Apakah $\mathcal{F} = (1 + X,\ 1 + X^2,\ X + X^2)$ merupakan basis $\R_2[X]$? Tulislah $u_1, u_2, u_3$ bagi ketiga polinomialnya. Kebebasannya: sebuah kombinasi nol $a\,u_1 + b\,u_2 + c\,u_3 = 0$ memberikan, koefisien demi koefisien,

lalu mengurangkan kedua yang pertama memberikan $b = c$, kemudian yang ketiga memberikan $2b = 0$: sehingga $a = b = c = 0$, jadi bebas. Pembangunnya: alih-alih memecahkan tiga sistem, perhatikanlah kombinasi setangkupnya

sehingga $1 = \frac12(u_1 + u_2 - u_3)$; lalu

Monomialnya terletak di rentangnya, sehingga segalanya demikian: jadi $\mathcal{F}$ merupakan basis. Sebagai bonusnya, merakit ketiga tampilannya memberikan koordinat sebarang $P = \alpha + \beta X + \gamma X^2$:

(Periksa kewarasannya dengan $P = X$: koordinatnya $\bigl(\frac12, -\frac12, \frac12\bigr)$, sebagaimana ditemukan di atas.) Ada dua pelajarannya: bahwa kesetangkupan pada keluarganya biasanya menyembunyikan kombinasi jalan pintas; dan bahwa begitu dimensinya tersedia (Bab 19), seluruh paruh pembangun kerja ini akan datang cuma-cuma — karena tiga vektor bebas pada ruang berdimensi $3$ selalu membentuk basis.

Contoh 18.20 (Asas tangganya)

Misalkan $P_0, P_1, \dots, P_n \in K_n[X]$ dengan $\deg P_k = k$ untuk setiap $k$ (yaitu sebuah “tangga” derajat). Maka $(P_0, \dots, P_n)$ merupakan basis $K_n[X]$. Adapun kebebasannya adalah Proposisi 18.19 (1). Sedangkan untuk sifat pembangunnya, berargumenlah lewat penurunan hingga pada derajatnya: misalkan $Q \in K_n[X]$, $Q \neq 0$, berderajat $d$, dengan koefisien utamanya $a$, dan misalkan $b \neq 0$ koefisien utama $P_d$. Maka $Q - \frac ab P_d$ berderajat $< d$ (karena suku puncaknya saling meniadakan); lalu dengan mengganti $Q$ dengan selisih ini dan mengulanginya, setelah paling banyak $n + 1$ langkah kita mencapai polinomial nolnya, dan membuka gulungan pengurangannya menyatakan $Q$ sebagai kombinasi $P_k$-nya. Adapun dua tangga yang sudah kita temui: pangkat yang tergeser $\bigl((X-a)^k\bigr)_{0 \leq k \leq n}$ (Latihan 18.4), dan hasil kali Newton $\bigl((X - x_0)(X - x_1)\cdots(X - x_{k-1})\bigr)_{0 \leq k \leq n}$, yang dipekerjakan pada soal akhir pekannya.