全部书籍

1 Matematika Sekolah Dasar dan Menengah1–9 年级在线 2 Matematika Sekolah Menengah Atas10–12 年级在线 3 Matematika Universitas — Tahun 1本科一年级在线 4 Matematika Universitas — Tahun 2本科二年级在线 5 Matematika Universitas — Tahun 3本科三年级在线

1 Fisika Sekolah Dasar dan Menengah Pertama1–9 年级在线 2 Fisika Sekolah Menengah Atas10–12 年级在线 3 Fisika Universitas — Tahun 1本科一年级在线 4 Fisika Universitas — Tahun 2本科二年级在线 5 Fisika Universitas — Tahun 3本科三年级在线

1 Kimia Sekolah — Kelas 1 sampai 121–12 年级在线 2 Kimia Universitas — Tahun 1本科一年级在线 3 Kimia Universitas — Tahun 2本科二年级在线 4 Kimia Universitas — Tahun 3本科三年级在线

1 Biologi Sekolah Dasar dan Menengah Pertama1–9 年级在线 2 Biologi Sekolah Menengah Atas10–12 年级在线 3 Biologi Universitas — Tahun 1本科一年级在线 4 Biologi Universitas — Tahun 2本科二年级在线 5 Biologi Universitas — Tahun 3本科三年级在线

1 Ilmu Kebumian dan Antariksa Sekolah Dasar dan Menengah Pertama1–9 年级在线 2 Ilmu Kebumian dan Antariksa Sekolah Menengah Atas10–12 年级在线 3 Ilmu Kebumian dan Antariksa Universitas — Tahun 1本科一年级在线 4 Ilmu Kebumian dan Antariksa Universitas — Tahun 2本科二年级在线 5 Ilmu Kebumian dan Antariksa Universitas — Tahun 3本科三年级在线

1 Markets I: The Ecosystem and Exchange-Traded Markets市场在线英文 2 Markets II: Rates, FX and Credit市场在线英文 3 Markets III: Commodities, Energy and Crypto市场在线英文 4 Quantitative Methods方法在线英文 5 Derivatives and Volatility衍生品在线英文 6 Rates, Credit, XVA and Risk利率、信用与风险在线英文 7 Research Craft: Predictors, Backtests, Measurement, Portfolios研究在线英文 8 Strategies I: Equities and Futures策略在线英文 9 Strategies II: Volatility, Relative Value, Macro and the Bank Desks策略在线英文 10 Microstructure and Execution交易执行在线英文 11 Market Making and High-Frequency Trading做市在线英文 12 Machine Learning for Markets机器学习在线英文 13 Low-Latency Software技术在线英文 14 Networks, Hardware and Trading Infrastructure技术在线英文 15 Research, Data and Risk Platforms技术在线英文 16 The Desk and the Firm公司运营在线英文 17 The Industry: Firms, Roles and Careers职业发展在线英文 18 Interviews I: Maths, Probability and Speed职业发展在线英文 19 Interviews II: Markets, Trading Games and the Final Round职业发展在线英文 20 Interviews III: Code职业发展在线英文

全部游戏 Math Fuse Word Reactor Atlas Dash

应用关于

Coach

English Français Español Nederlands Português हिन्दी العربية Bahasa Indonesia 简体中文 বাংলা

登录开始阅读

书籍暂未推出简体中文版——当前显示 Bahasa Indonesia 版。

Matematika · 术语表

什么是 koefisien Fourier？

又称： jumlah parsial Fourier

Definisi 14.1 Matematika Universitas — Tahun 2 · 第 14 章 — Deret Fourier

Adapun koefisien Fourier bagi $f$ adalah

c_n(f) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(t)\,\eu^{-\iu n t}\,\dd t \qquad (n \in \Z),

dan koefisien bentuk realnya $a_n = c_n + c_{-n}$ , $b_n = \iu(c_n - c_{-n})$ , sehingga jumlah parsial Fourier berbunyi

S_N(f)(t) = \sum_{n=-N}^{N} c_n(f)\,\eu^{\iu nt} = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{N}\bigl(a_n\cos nt + b_n \sin nt\bigr).

Pada $\mathcal{C}$ , definisikan hasil kali dalam Hermitian $\langle f, g\rangle = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\conj f\,g$ : maka eksponensial $e_n(t) = \eu^{\iu nt}$ bersifat ortonormal (sebab $\langle e_m, e_n\rangle = \delta_{mn}$ lewat perhitungan langsung), dan $c_n(f) = \langle e_n, f\rangle$ : jadi analisis Fourier adalah geometri Hermitian (Bab 13) dalam dimensi tak hingga.

示例

Contoh 14.3 (Hampiran terbaik, ditakar)

Seberapa baik polinomial trigonometri berderajat rendah menghampiri gigi gergaji $f(t) = t$ (pada $\intoo{-\pi}{\pi}$ ) dalam rerata kuadratiknya? Menurut Proposisi 14.2, hampiran terbaik berderajat $N$ adalah $S_N(f)$ , dengan galat kuadrat

\norm{f - S_Nf}_2^2 = \norm f_2^2 - \sum_{\abs n\leq N}\abs{c_n}^2 .

Di sini $\norm f_2^2 = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi t^2\dd t = \frac{\pi^2}{3}$ , dan dari $b_n = \frac{2(-1)^{n+1}}{n}$ (Contoh 14.12) diperoleh $\abs{c_n}^2 + \abs{c_{-n}}^2 = \frac{b_n^2}{2} = \frac{2}{n^2}$ . Jadi

\norm{f - S_Nf}_2^2 = \frac{\pi^2}{3} - \sum_{n=1}^{N}\frac{2}{n^2} \qquad\text{: secara numerik } 1.29,\ 0.79,\ 0.57,\ 0.44

untuk $N = 1, 2, 3, 4$ — yang menurun, tetapi lambat: sebab ekornya $\sum_{n>N}\frac2{n^2} \sim \frac2N$ dikendalikan oleh peluruhan $\frac1n$ yang lambat pada koefisiennya, dan itu sendiri tanda lompatannya (Latihan 14.6 yang dibaca terbalik). Pelajaran penutupnya: Parseval mengubah mutu hampiran menjadi ekor sebuah deret numerik — lalu meramalkan, sebelum sebuah gambar pun, bahwa lompatan membuat deret Fourier konvergen dengan enggan.

在原文中阅读 →