Matematika Sekolah Menengah Atas · Grades 10–12

18Peluang dan Peubah Acak

Peluang memodelkan percobaan yang hasilnya tidak pasti: lemparan dadu, kartu yang diambil, permainan yang dimainkan. Bab ini menyiapkan kosakatanya pada himpunan berhingga, lalu memperkenalkan tokoh utama seluruh teori peluang: peubah acak dan nilai harapannya. Gagasan ini ditinjau ulang dan diperdalam pada Bab 33, dan peluang bersyarat menyusul pada Bab 32.

18.1 Peluang pada himpunan berhingga

Definisi 18.1 (Model peluang)

Percobaan dengan berhingga banyak hasil dimodelkan oleh ruang sampelnya $\Omega = \{\omega_1, \dots, \omega_n\}$ (himpunan hasilnya) beserta sebuah peluang $\P$ yang memberikan kepada setiap hasil $\omega_i$ sebuah bilangan $p_i \geq 0$ , dengan $p_1 + \dots + p_n = 1$ . Sebuah kejadian adalah himpunan bagian $A \subseteq \Omega$ , dan

\P(A) = \sum_{\omega_i \in A} p_i .

Ketika semua hasilnya sama-sama mungkin ( $p_i = \frac1n$ : model seragam),

\P(A) = \frac{\text{banyaknya hasil dalam } A} {\text{banyaknya hasil dalam } \Omega}.

Contoh 18.2

Lemparlah dua dadu yang dapat dibedakan: $\Omega$ adalah himpunan $36$ pasangan terurut $(i, j)$ dengan $1 \leq i, j \leq 6$ , semuanya sama-sama mungkin. Kejadian $S$ = “jumlahnya $7$ ” memuat $6$ pasangan $(1,6)$ , $(2,5)$ , $(3,4)$ , $(4,3)$ , $(5,2)$ , $(6,1)$ , sehingga $\P(S) = \frac{6}{36} = \frac16$ . Kejadian “jumlahnya $12$ ” hanya memuat $(6,6)$ : peluangnya $\frac{1}{36}$ . Memilih ruang sampel yang tepat — pasangan terurut, bukan takterurut — itulah yang membuat model seragamnya dapat diterapkan.

Proposisi 18.3 (Aturan peluang)

Untuk kejadian $A, B \subseteq \Omega$ :

\P(\emptyset) = 0, \qquad \P(\Omega) = 1, \qquad \P(\bar A) = 1 - \P(A),

\P(A \cup B) = \P(A) + \P(B) - \P(A \cap B),

dengan $\bar A$ adalah komplemen $A$ (semua hasil yang tidak dalam $A$ ). Khususnya, $\P(A \cup B) = \P(A) + \P(B)$ ketika $A$ dan $B$ saling lepas ( $A \cap B = \emptyset$ ).

Bukti. Kejadian kosong tidak memuat hasil apa pun (jumlah kosong), dan $\Omega$ memuat semuanya (jumlah totalnya $1$ ). Setiap hasil berada tepat pada salah satu dari $A$ dan $\bar A$ , sehingga $\P(A) + \P(\bar A) = 1$ . Untuk gabungannya: menjumlahkan $p_i$ atas $A$ lalu atas $B$ membilang hasil dalam $A \cap B$ dua kali; mengurangkan $\P(A \cap B)$ membetulkan penghitungan gandanya. ∎

Contoh 18.4

Di sebuah kelas, $60\%$ belajar musik ( $M$ ), $45\%$ berolahraga ( $S$ ), dan $25\%$ melakukan keduanya. Bagian yang melakukan paling sedikit satu di antaranya adalah $\P(M \cup S) = 0.60 + 0.45 - 0.25 = 0.80$ , sehingga $20\%$ tidak melakukan keduanya (komplemennya).

18.2 Peubah acak

Definisi 18.5 (Peubah acak, distribusi)

Sebuah peubah acak pada $\Omega$ adalah fungsi $X$ yang memberikan sebuah bilangan kepada setiap hasil. Yang disebut distribusi peubah itu adalah tabel nilai yang mungkin $x_1, \dots, x_k$ beserta peluangnya

\P(X = x_i) = \P\bigl(\{\omega : X(\omega) = x_i\}\bigr), \qquad \sum_{i=1}^k \P(X = x_i) = 1 .

Contoh 18.6

Sebuah permainan: bayar $2$ euro, lempar satu dadu setimbang, terimalah nilai mata yang muncul bila paling sedikit $5$ , dan tidak menerima apa-apa selain itu. Misalkan $G$ keuntungannya (yang diterima dikurangi yang dibayar). Hasil $1, 2, 3, 4$ memberi $G = -2$ ; hasil $5$ memberi $G = 3$ ; hasil $6$ memberi $G = 4$ . Distribusi $G$ :

$g$	$-2$	$3$	$4$
$\P(G = g)$	$\dfrac46$	$\dfrac16$	$\dfrac16$

Metode 18.7 (Menyusun tabel distribusi)

Daftarkan nilai $X$ yang mungkin; untuk setiap nilai, kumpulkan hasil yang menghasilkannya lalu jumlahkan peluangnya; periksalah bahwa baris peluangnya berjumlah $1$ .

18.3 Nilai harapan

Definisi 18.8 (Nilai harapan)

Nilai harapan (atau rata-rata) $X$ adalah rata-rata nilainya yang dibobot oleh peluangnya:

\E(X) = \sum_{i=1}^{k} \P(X = x_i)\; x_i .

Catatan 18.9

$\E(X)$ adalah rata-rata yang akan diperoleh dari pengulangan percobaan itu yang sangat banyak dan saling bebas — versi tepat pernyataan ini adalah hukum bilangan besar, yang dibuktikan pada Bab 34. Perhatikan keserupaan bentuknya dengan rata-rata sebuah kumpulan data berfrekuensi (Definisi 17.1): peluang berperan sebagai frekuensi relatif $\frac{n_i}{n}$ .

Contoh 18.10

Untuk permainan pada Contoh 18.6:

\E(G) = \frac46 \times (-2) + \frac16 \times 3 + \frac16 \times 4 = \frac{-8 + 3 + 4}{6} = -\frac16 \approx -0.17 .

Secara rata-rata pemainnya rugi kira-kira $17$ sen setiap permainan: jadi permainan itu merugikan. Sebuah permainan disebut adil bila harapan keuntungannya $0$ .

Proposisi 18.11 (Kelinearan)

Untuk semua bilangan real $a, b$ :

\E(aX + b) = a\,\E(X) + b .

Bukti. Peubah $aX + b$ mengambil nilai $a x_i + b$ dengan peluang $\P(X = x_i)$ , sehingga

\E(aX + b) = \sum_i \P(X = x_i)(a x_i + b) = a \sum_i \P(X = x_i)\,x_i + b \underbrace{\sum_i \P(X = x_i)}_{=\,1} = a\,\E(X) + b .

∎

18.4 Ragam dan simpangan baku

Definisi 18.12 (Ragam)

Ragam $X$ mengukur sebaran nilainya di sekitar nilai harapan $m = \E(X)$ :

\V(X) = \E\bigl((X - m)^2\bigr) = \sum_{i=1}^{k} \P(X = x_i)\,(x_i - m)^2, \qquad \sigma(X) = \sqrt{\V(X)} .

Proposisi 18.13 (Rumus jalan pintas)

\V(X) = \E(X^2) - \E(X)^2 .

Bukti. Jabarkan $(x_i - m)^2 = x_i^2 - 2m\,x_i + m^2$ di dalam jumlahnya:

\V(X) = \sum_i \P(X = x_i)\,x_i^2 - 2m \sum_i \P(X = x_i)\,x_i + m^2\sum_i \P(X = x_i) = \E(X^2) - 2m^2 + m^2 ,

yang sama dengan $\E(X^2) - m^2$ . Inilah versi peubah acak dari identitas yang dibuktikan untuk kumpulan data pada Proposisi 17.7. ∎

Proposisi 18.14 (Transformasi afin)

$\V(aX + b) = a^2\,\V(X)$ dan $\sigma(aX + b) = \abs a\,\sigma(X)$ .

Bukti. Menurut kelinearannya, $aX + b$ menyimpang dari nilai harapannya $a m + b$ sebesar $(aX + b) - (am + b) = a(X - m)$ : jadi setiap simpangannya terskalakan dengan $a$ , sehingga setiap kuadrat simpangannya terskalakan dengan $a^2$ , dan begitu pula rata-rata berbobotnya. Pergeseran $b$ lenyap — menggeser sebuah peubah tidak mengubah sebarannya. ∎

Contoh 18.15

Untuk permainan pada Contoh 18.6: $\E(G^2) = \frac46 \times 4 + \frac16 \times 9 + \frac16 \times 16 = \frac{16 + 9 + 16}{6} = \frac{41}{6}$ , sehingga

\V(G) = \frac{41}{6} - \left(-\frac16\right)^2 = \frac{41}{6} - \frac{1}{36} = \frac{245}{36} \approx 6.8, \qquad \sigma(G) \approx 2.6 .

Kerugian $0.17$ per permainan secara rata-rata itu datang bersama ayunan sebesar $2.6$ euro — jadi nilai harapan tanpa simpangan baku hanya menceritakan separuh kisahnya.

Distribusi keuntungan G pada , dan nilai harapannya (G) = -1/6 (putus-putus): yaitu titik seimbang massa peluangnya. — Distribusi keuntungan $G$ pada Contoh 18.6, dan nilai harapannya $\E(G) = -\frac16$ (putus-putus): yaitu titik seimbang massa peluangnya.

18.5 Latihan

Latihan 18.1 ★

Sehelai kartu diambil dari satu set $52$ kartu baku. Hitunglah peluang mengambil: sehelai hati; seorang raja; sehelai hati atau seorang raja; bukan hati dan bukan pula raja.

Solusi

Solusi Latihan 18.1.

Model seragam pada $52$ kartu. Hati: $\frac{13}{52} = \frac14$ . Raja: $\frac{4}{52} = \frac{1}{13}$ . Hati atau raja: $\frac{13 + 4 - 1}{52} = \frac{16}{52} = \frac{4}{13}$ (raja hati terhitung sekali). Bukan keduanya: $1 - \frac{4}{13} = \frac{9}{13}$ .

Latihan 18.2 ★

Dua dadu setimbang dilempar dan jumlah matanya $S$ dicatat. Dengan model $36$ hasil pada Contoh 18.2, hitunglah $\P(S = 6)$ , $\P(S \geq 10)$ dan $\P(S \text{ genap})$ .

Solusi

Solusi Latihan 18.2.

$S = 6$ : pasangan $(1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1)$ , sehingga $\P(S = 6) = \frac{5}{36}$ .

$S \geq 10$ : tiga pasangan untuk $10$ , dua untuk $11$ , satu untuk $12$ : $\P(S \geq 10) = \frac{6}{36} = \frac16$ .

$S$ genap: jumlah $2, 4, 6, 8, 10, 12$ mempunyai $1 + 3 + 5 + 5 + 3 + 1 = 18$ pasangan: peluangnya $\frac{18}{36} = \frac12$ .

Latihan 18.3 ★

Sebuah peubah acak mempunyai distribusi

$x$	$-1$	$0$	$2$	$5$
$\P(X=x)$	$0.3$	$0.2$	$0.4$	$p$

Carilah $p$ , lalu hitunglah $\E(X)$ .

Solusi

Solusi Latihan 18.3.

Peluangnya berjumlah $1$ : $p = 1 - 0.3 - 0.2 - 0.4 = 0.1$ . Lalu

\E(X) = 0.3 \times (-1) + 0.2 \times 0 + 0.4 \times 2 + 0.1 \times 5 = -0.3 + 0.8 + 0.5 = 1 .

Latihan 18.4 ★

$X$ memenuhi $\E(X) = 3$ dan $\V(X) = 4$ . Berikan nilai harapan, ragam dan simpangan baku $Y = 2X - 5$ .

Solusi

Solusi Latihan 18.4.

$\E(Y) = 2 \times 3 - 5 = 1$ ; $\V(Y) = 2^2 \times 4 = 16$ ; $\sigma(Y) = 4$ .

Latihan 18.5 ★★

Sebuah roda keberuntungan mempunyai $10$ juring yang sama: $5$ bertuliskan $0$ euro, $3$ bertuliskan $2$ euro, $2$ bertuliskan $5$ euro. Bermain berbiaya $2$ euro. Berikan distribusi keuntungan $G$ (perolehan dikurangi taruhan), hitunglah $\E(G)$ , lalu putuskan apakah permainannya menguntungkan.

Solusi

Solusi Latihan 18.5.

Perolehannya $0$ , $2$ , $5$ euro dengan peluang $0.5$ , $0.3$ , $0.2$ ; setelah dikurangi taruhan $2$ euro, $G$ mengambil nilai $-2, 0, 3$ :

$g$	$-2$	$0$	$3$
$\P(G=g)$	$0.5$	$0.3$	$0.2$

$\E(G) = -1 + 0 + 0.6 = -0.4$ : pemainnya rugi $40$ sen per permainan secara rata-rata — jadi merugikan.

Latihan 18.6 ★★

Sebuah guci berisi $3$ bola merah dan $2$ bola biru; dua bola diambil tanpa pengembalian. Misalkan $X$ banyaknya bola merah yang terambil. Susunlah distribusi $X$ (daftarkan $20$ pengambilan terurutnya, atau pakailah sebuah pohon), lalu hitunglah $\E(X)$ .

Solusi

Solusi Latihan 18.6.

Mengambil secara berurutan: $\P(X = 2) = \frac35 \times \frac24 = \frac{3}{10}$ (merah lalu merah); $\P(X = 0) = \frac25 \times \frac14 = \frac{1}{10}$ (biru lalu biru); sehingga $\P(X = 1) = 1 - \frac{3}{10} - \frac{1}{10} = \frac{6}{10}$ . Lalu

\E(X) = 0 \times \frac1{10} + 1 \times \frac6{10} + 2 \times \frac3{10} = \frac{12}{10} = 1.2 ,

yang sesuai dengan gerak hati: $\frac35$ dari kedua pengambilan itu merah secara rata-rata.

Latihan 18.7 ★★

Untuk roda pada Latihan 18.5, hitunglah $\V(G)$ dan $\sigma(G)$ .

Solusi

Solusi Latihan 18.7.

$\E(G^2) = 0.5 \times 4 + 0.3 \times 0 + 0.2 \times 9 = 3.8$ , sehingga menurut rumus jalan pintasnya $\V(G) = 3.8 - (-0.4)^2 = 3.8 - 0.16 = 3.64$ dan $\sigma(G) \approx 1.9$ euro.

Latihan 18.8 ★★

Sebuah perusahaan asuransi menjual polis seharga $80$ euro. Dengan peluang $0.05$ nasabahnya mengeklaim $1000$ euro, dengan peluang $0.01$ nasabahnya mengeklaim $5000$ euro, dan selain itu tidak ada klaim. Misalkan $B$ manfaat yang diperoleh perusahaan dari satu polis. Berikan distribusi $B$ , hitunglah $\E(B)$ , lalu tafsirkan.

Solusi

Solusi Latihan 18.8.

Manfaatnya adalah $80$ dikurangi klaimnya:

$b$	$80$	$-920$	$-4920$
$\P(B=b)$	$0.94$	$0.05$	$0.01$

$\E(B) = 75.2 - 46 - 49.2 = -20$ : pada harga ini perusahaannya rugi $20$ euro per polis secara rata-rata. Preminya terlalu rendah untuk risiko yang ditanggung (preminya harus melampaui $100$ euro agar harapan manfaatnya positif).

Latihan 18.9 ★★

Sebuah soal pilihan ganda mempunyai $4$ jawaban, satu di antaranya benar. Jawaban benar bernilai $+1$ ; untuk mencegah terkaan, jawaban salah bernilai $x < 0$ . Seorang siswa menjawab secara acak. Untuk nilai $x$ yang mana harapan nilai siswa itu sama dengan nol?

Solusi

Solusi Latihan 18.9.

Nilai acaknya adalah $+1$ dengan peluang $\frac14$ dan $x$ dengan peluang $\frac34$ :

\E = \frac14 + \frac{3x}{4} = 0 \iff x = -\frac13 .

Dengan denda $-\frac13$ , menerka secara acak tidak membawa apa-apa secara rata-rata.

Latihan 18.10 ★★

Dua koin setimbang dilempar. Ani mengusulkan: “jika kedua koinnya sama, saya membayarmu $1$ euro; jika berbeda, kamu membayarku $1$ euro.” Hitunglah harapan keuntungan setiap pemain. Apakah permainannya adil? Pertanyaan yang sama dengan tiga koin, dengan Ani membayar $2$ euro bila ketiganya sama.

Solusi

Solusi Latihan 18.10.

Dua koin: keduanya sama (GG atau AA) dengan peluang $\frac24 \times 2 = \frac12$ . Keuntungan pemainnya $+1$ atau $-1$ dengan peluang yang sama: jadi nilai harapannya $0$ untuk kedua pemain — permainannya adil.

Tiga koin: ketiganya sama (GGG atau AAA) dengan peluang $\frac{2}{8} = \frac14$ . Pemainnya menerima $2$ dengan peluang $\frac14$ dan membayar $1$ dengan peluang $\frac34$ : $\E = \frac24 - \frac34 = -\frac14$ . Permainan itu menguntungkan Ani sebesar $25$ sen per ronde; permainannya akan adil bila ia membayar $3$ euro untuk ketiganya sama.

Latihan 18.11 ★★★

Sebuah undian menjual $1000$ karcis seharga $5$ euro masing-masing. Satu karcis memenangkan $2000$ euro, lima karcis memenangkan $200$ euro, dan dua puluh karcis memenangkan $25$ euro.

Berikan distribusi pendapatan total penyelenggara dikurangi hadiahnya, dan distribusi keuntungan $G$ seorang pemain.
Hitunglah $\E(G)$ dan total harapan laba penyelenggaranya. Periksalah bahwa kedua jawabannya taat asas.

Solusi

Solusi Latihan 18.11.

1. Penyelenggaranya menerima $1000 \times 5 = 5000$ euro dan membayarkan $2000 + 5 \times 200 + 20 \times 25 = 3500$ euro seluruhnya: jadi labanya adalah konstanta $1500$ (tanpa keacakan sama sekali begitu semua karcisnya terjual). Keuntungan $G$ seorang pemain (hadiah dikurangi karcis $5$ euro):

$g$	$1995$	$195$	$20$	$-5$
$\P(G=g)$	$\dfrac{1}{1000}$	$\dfrac{5}{1000}$	$\dfrac{20}{1000}$	$\dfrac{974}{1000}$

\E(G) = \frac{1995 + 5 \times 195 + 20 \times 20 - 974 \times 5}{1000} = \frac{1995 + 975 + 400 - 4870}{1000} = -1.5 .

Setiap pemain berharap rugi $1.50$ euro; atas $1000$ pemain jumlahnya $1500$ euro — persis sama dengan laba penyelenggaranya. Bukunya seimbang: apa yang rugi bagi pemain secara rata-rata persis sama dengan apa yang dipungut penyelenggaranya.

18.6 Soal: Permainan yang tak selesai

Soal 18.1

Soal akhir pekan — Pascal, Fermat dan pembagian adil sebuah taruhan yang terhenti: kelahiran nilai harapan, keajaiban kelinearan, dan apa yang tak terlihat oleh nilai harapan

Pada tahun 1654 Chevalier de Méré — penjudi yang sama, yang taruhan dadunya membuka soal peluang di jilid sebelumnya — mengajukan pertanyaan yang lebih dalam kepada Blaise Pascal: dua pemain yang sama mahirnya harus menghentikan rangkaian permainannya pada kedudukan $5$ lawan $3$ , sedangkan enam kemenangan mengambil taruhan $64$ pistole. Bagaimana taruhan itu harus dibagi secara adil? Surat-menyurat antara Pascal dan Fermat yang menjawabnya mendirikan gagasan yang menjadi inti bab ini: nilai harapan (Definisi 18.8). Kamu akan menurunkan ulang jawaban mereka dengan kedua cara, lalu berjumpa dengan sulap kelinearan dan satu titik buta nilai harapan.

Bagian I — Kefasihan dengan nilai harapan.

Lemparlah dadu setimbang; keuntunganmu adalah (mata dadu $- 3$ ) euro. Susunlah tabel distribusi keuntungan $G$ (Metode 18.7) lalu hitunglah $\E(G)$ .
Hitunglah $V(G)$ dengan rumus jalan pintasnya (Proposisi 18.13) dan $\sigma(G)$ (dua angka desimal).
Tanpa tabel baru apa pun, berikan $\E(2G - 1)$ dan $V(2G - 1)$ (Proposisi 18.14).
Sebuah lapak menarik $m$ euro untuk melempar dua dadu lalu menyerahkan jumlah matanya kepadamu dalam euro. Berapa harga $m$ yang adil? Lapak itu menarik $8$ : berapa harapan kerugianmu per permainan?
Sebuah laptop seharga $800$ euro mempunyai peluang $5\,\%$ rusak total setiap tahun. Hitunglah premi asuransi yang adil, dan harapan laba penjamin per polis bila ia menarik $60$ euro.

Bagian II — Membagi taruhannya. Kedudukannya $5$ – $3$ , yang lebih dahulu mencapai $6$ mengambil $64$ pistole, dan setiap ronde adalah lemparan koin yang setimbang.

Dua jawaban keliru yang menggoda: bagilah $5 : 3$ (sebanding dengan ronde yang dimenangkan), atau berikan semuanya kepada yang unggul. Katakan dalam satu kalimat untuk masing-masing apa yang tidak adil padanya.
Metode Fermat: pemain A butuh $1$ kemenangan lagi, B butuh $3$ ; bayangkan bermain tepat $3$ ronde lagi apa pun yang terjadi. Daftarkan $8$ hasil yang sama-sama mungkin, tandai siapa yang menang rangkaiannya pada masing-masing, lalu simpulkan pembagian adil $64$ pistole itu.
Butir halus yang harus dibela Fermat: permainan yang sesungguhnya mungkin berhenti setelah satu ronde — lalu mengapa bernalar atas semua $3$ ronde khayalan itu tetap sah?
Metode Pascal, mundur dari ujungnya: hitunglah bagian adil A pada kedudukan (khayalan) $5$ – $5$ , lalu $5$ – $4$ , lalu $5$ – $3$ , setiap kali dengan merata-ratakan kedua masa depan yang sama-sama mungkin. Bandingkan dengan pertanyaan 7.
Pertanyaan yang sama pada kedudukan $4$ – $3$ : berapa ronde khayalan, hasil mana yang memberi rangkaiannya kepada B, dan berapa pembagian adilnya?
Nyatakan asas yang dibagi kedua metode itu — nilai adil sebuah masa depan yang tak pasti adalah nilai harapannya — lalu sebutkan dua industri modern yang seluruhnya berjalan atasnya (pertanyaan 5 memperlihatkan salah satunya).
Sebuah pemeriksaan kewarasan untuk setiap kedudukan: jelaskan, dengan kelinearan nilai harapan (Proposisi 18.11), mengapa bagian adil kedua pemain harus selalu berjumlah tepat sama dengan taruhan $64$ pistole itu.

Bagian III — Sulap kelinearan.

Temukan kembali $\E(\text{jumlah dua dadu}) = 7$ hanya dalam satu baris dengan kelinearan (Proposisi 18.11), tanpa tabel $36$ sel. Untuk ragam jumlahnya, aturan $V(X + Y) = V(X) + V(Y)$ menuntut dadunya saling bebas (diterima tanpa bukti): hitunglah.
Pesta penitipan topi: $n$ tamu melemparkan topinya ke dalam satu tumpukan lalu masing-masing mengambil satu kembali secara acak. Misalkan $X$ membilang tamu yang memperoleh topinya sendiri. Untuk satu tamu tertentu, berapa peluang memperoleh topinya sendiri? Dengan menjumlahkan $n$ peluang itu (kelinearan!), hitunglah $\E(X)$ . Jawabannya semestinya mengejutkan: nilainya tidak bergantung pada $n$ .
Periksalah $\E(X) = 1$ secara paksa untuk $n = 2$ dan $n = 3$ (daftarkan $2$ dan $6$ penugasan topi yang sama-sama mungkin lalu rata-ratakan cacahnya).
Perolehan topi para tamu jauh dari saling bebas (jika $n - 1$ tamu memperoleh topinya sendiri, maka tamu terakhir pun pasti memperolehnya). Di bagian mana persisnya perhitungan pertanyaan 14 tidak menuntut kebebasan? Nyatakan kekuatan super kelinearannya.

Bagian IV — Apa yang tak terlihat oleh nilai harapan.

Dua kartu gosok seharga $5$ euro: kartu A memenangkan $10$ euro dengan peluang $\frac12$ ; kartu B memenangkan $1\,000$ euro dengan peluang $0.005$ . Periksalah bahwa kedua keuntungannya mempunyai nilai harapan yang sama, lalu hitunglah kedua ragamnya. Kartu mana yang sungguh dibeli orang, dan apa sebenarnya yang mereka beli?
Permainan St Petersburg: lempar koin sampai angka pertama muncul; jika angka pertamanya muncul pada lemparan ke- $n$ kamu menerima $2^n$ euro. Hitunglah sumbangan setiap $n$ pada nilai harapannya dan nilai harapannya sendiri. Maukah kamu membayar $1\,000$ euro untuk bermain sekali? Apa yang diajarkan benturan itu tentang nilai harapan?
Asuransi dari sisi nasabah: membayar $20$ euro, atau menghadapi risiko $1\,\%$ kehilangan $1\,000$ ? Bandingkan kedua nilai harapannya, lalu jelaskan mengapa membeli asuransi tetap dapat masuk akal (apa yang tidak dapat “dirata-ratakan” oleh satu keluarga?).
Penutup — riwayat hidup nilai harapan, satu kalimat untuk setiap babnya: lahir pada tahun 1654 untuk membagi taruhan; kekuatan supernya, yaitu kelinearan, yang menjumlahkan nilai harapan tanpa menuntut kebebasan (topi tadi); titik butanya, yaitu risiko, yang diukur oleh ragam (kartu gosok, St Petersburg, asuransi); dan penobatannya tahun berikutnya, ketika hukum bilangan besar menjelaskan tepatnya mengapa bandar selalu menang.

Solusi

Solusi Soal 18.1.

1. $G$ mengambil $-2, -1, 0, 1, 2, 3$ , masing-masing dengan peluang $\frac16$ : $\E(G) = \frac{-2 - 1 + 0 + 1 + 2 + 3}{6} = \frac12$ euro.

2. $\E(G^2) = \frac{4 + 1 + 0 + 1 + 4 + 9}{6} = \frac{19}{6}$ ; $V(G) = \frac{19}{6} - \frac14 = \frac{35}{12} \approx 2.92$ ; $\sigma(G) \approx 1.71$ .

3. $\E(2G - 1) = 2 \times \frac12 - 1 = 0$ ; $V(2G - 1) = 4\,V(G) = \frac{35}{3}$ .

4. $\E(\text{jumlahnya}) = 7$ : jadi harga adilnya $7$ euro. Pada $8$ , harapan kerugiannya $1$ euro per permainan.

5. Premi adilnya: $0.05 \times 800 = 40$ euro. Dengan menarik $60$ : harapan labanya $20$ euro per polis.

6. Membagi $5:3$ mengganjar masa lalu — padahal taruhannya menjadi milik siapa pun yang memenangkan masa depan, dan B masih mungkin menang. Memberikan semuanya kepada A memperlakukan kemenangan yang mungkin sebagai kemenangan yang pasti — padahal peluang kecil B tetap ada harganya.

7. Ronde yang dimainkan: $3$ ; hasilnya (A menang atau B menang per ronde): AAA, AAB, ABA, ABB, BAA, BAB, BBA, BBB. Pemain B merebut rangkaiannya hanya dengan memenangkan ketiganya: yaitu BBB saja. A memenangkan rangkaiannya pada $7$ dari $8$ kasus: jadi pembagian adilnya $64 \times \frac78 = 56$ pistole untuk A, dan $8$ untuk B.

8. Memainkan ronde tambahan yang tidak berguna itu tidak mengubah kemenangan siapa pun: begitu A memperoleh kemenangan keenamnya, ronde berikutnya tinggal upacara. Namun mematok cakrawalanya tepat pada $3$ ronde membuat semua $8$ hasilnya sama-sama mungkin — pembilangan yang jujur menuntut cerita yang sama panjangnya, dan memanjangkannya tidak berongkos apa pun.

9. Pada $5$ – $5$ : satu ronde penentu, $32$ untuk masing-masing. Pada $5$ – $4$ : A memperoleh $\frac{64 + 32}{2} = 48$ . Pada $5$ – $3$ : ronde berikutnya membawa ke $64$ (bila A memenangkannya) atau ke kedudukan $5$ – $4$ yang bernilai $48$ : jadi bagian A adalah $\frac{64 + 48}{2} = 56$ — yaitu $56 : 8$ milik Fermat, yang diturunkan ulang dengan berjalan mundur.

10. A butuh $2$ , B butuh $3$ : mainkan $4$ ronde khayalan ( $16$ hasil). B merebut rangkaiannya dengan $3$ atau $4$ kemenangan B: yaitu $4 + 1 = 5$ hasil. Pembagiannya: $B$ : $64 \times \frac{5}{16} = 20$ ; $A$ : $44$ .

11. Nilai kini yang adil bagi imbalan masa depan yang tak pasti adalah nilai harapannya — yaitu rata-rata berbobot peluang atas apa yang mungkin datang. Asuransi (pertanyaan 5) dan keuangan (memberi harga pada imbalan yang tak pasti) adalah kalimat itu yang diubah menjadi industri; demikian pula kasino, dari sisi meja yang lain.

12. Taruhannya selalu berakhir di suatu tempat: kedua bagiannya adalah peubah acak yang berjumlah konstanta $64$ , sehingga menurut kelinearan $\E_A + \E_B = 64$ — jadi bagian yang adil menghabiskan taruhannya, pada kedudukan mana pun.

13. Kelinearan: $\E(X + Y) = 3.5 + 3.5 = 7$ , tanpa tabel — benar bahkan untuk dadu yang direkatkan. Ragam satu dadu: $\E(X^2) - 3.5^2 = \frac{91}{6} - \frac{49}{4} = \frac{35}{12}$ ; untuk dadu yang saling bebas $V(X + Y) = \frac{35}{12} + \frac{35}{12} = \frac{35}{6}$ .

14. Setiap tamu tertentu memperoleh topinya sendiri dengan peluang $\frac1n$ (topinya satu di antara $n$ ). Setelah dijumlahkan atas $n$ tamu: $\E(X) = n \times \frac1n = 1$ — jadi rata-rata satu tamu yang beruntung, entah di pesta berisi dua topi entah dua ribu topi.

15. $n = 2$ : penugasannya: keduanya tepat ( $X = 2$ ) atau tertukar ( $X = 0$ ): $\E = 1$ . $n = 3$ : keenam penugasannya memberi $X = 3, 1, 1, 1, 0, 0$ : $\E = \frac{6}{6} = 1$ .

16. Perhitungannya menjumlahkan nilai harapan $n$ penunjuk perorangan (“tamu $i$ memperoleh topinya”), dan kelinearan menjumlahkan nilai harapan tanpa syarat — kebergantungan akan merusak sebuah hasil kali atau sebuah ragam, tetapi tidak pernah merusak jumlah nilai harapan. Itulah kekuatan super kelinearan: tanpa pertanyaan tentang kebebasan sama sekali.

17. Kedua keuntungannya: $\E = 0.5 \times 10 - 5 = 0$ dan $0.005 \times 1000 - 5 = 0$ . Ragamnya (bagi keuntungannya): A: $\E(G^2) = 0.5 \times 25 + 0.5 \times 25 = 25$ ; B: $0.005 \times 995^2 + 0.995 \times 25 \approx 4\,975$ : jadi $\sigma_A = 5$ , $\sigma_B \approx 70.5$ . Orang membeli B: yang mereka beli bukan nilai harapan (nol pada keduanya) melainkan sebarannya — yaitu peluang kecil untuk ekor kanan yang mengubah hidup.

18. Angka pertama muncul pada lemparan ke- $n$ dengan peluang $2^{-n}$ dan membayar $2^n$ : jadi setiap $n$ menyumbang $2^{-n} \times 2^n = 1$ pada nilai harapannya, yang karena itu bernilai $1 + 1 + 1 + \dots$ : takhingga. Namun tidak ada orang waras yang membayar $1\,000$ untuk bermain sekali: dengan peluang $\frac{15}{16}$ pembayarannya paling besar $16$ . Nilai harapan meringkas jangka panjang taruhan yang dapat diulang; permainan sekali seumur hidup dengan ekor yang liar tidak diberi harga oleh rata-ratanya.

19. Nilai harapannya: berasuransi $-20$ ; tanpa asuransi $-0.01 \times 1000 = -10$ . Strategi telanjang itu menang secara rata-rata — bagi orang yang sanggup menyerap kerugiannya dan mengulang taruhannya berkali-kali. Sebuah keluarga yang tidak dapat bertahan dari $-1\,000$ tidak berada dalam usaha merata-ratakan: keluarga itu membayar $10$ lebih banyak untuk menghapus ragamnya. Penjamin merata-ratakan; rumah tangga membeli kepastian.

20. Lahir untuk membagi taruhan di antara dua penjudi yang tak sabar; diberdayai oleh kelinearan, yang menjumlahkan harapan tanpa meminta izin kepada kebergantungan; buta terhadap risiko, yang justru harus diukur oleh ragam — undian, permainan Petersburg, polis keluarga tadi; lalu dinobatkan tahun berikutnya oleh hukum bilangan besar, yang menjelaskan mengapa rata-ratanya selalu, pada akhirnya, tertagih.

Istilah yang didefinisikan dalam bab ini

Lihat semua 395 istilah di glosarium