Panjang sebuah busur কী?

Contoh 24.10 (Periksa kewarasan: lingkarannya)

Untuk $f(t) = (R\cos t, R\sin t)$ pada $\intcc{0}{2\pi}$: $\norm{f'} = R$, sehingga $L = 2\pi R$ — jadi definisinya mengembalikan kelilingnya. Uji pemarameteran ulangnya: pemetaan $g(t) = (R\cos 2t, R\sin 2t)$ pada $\intcc{0}{\pi}$ menggambar lingkaran yang sama pada laju yang berganda $\norm{g'} = 2R$, dan

lagi: separuh waktunya, dua kali lajunya, panjang yang sama — yaitu keinvarianan yang dijanjikan pada definisinya, disaksikan sekali pada bilangan. (Menjalankan $g$ pada seluruh $\intcc{0}{2\pi}$ akan memberikan $4\pi R$: karena kurva yang dilintasi dua kali dua kali lebih panjang sebagai perjalanan; sebab panjangnya mengukur lintasan yang terparameter, dan pembukuan yang jujur atas selangnya bagian dari perhitungannya.) Bagi astroid $(\cos^3t, \sin^3t)$: $\norm{f'} = 3\abs{\sin t\cos t} = \tfrac32\abs{\sin 2t}$, dan lewat kesetangkupannya $L = 4\int_0^{\pi/2} \tfrac32\sin 2t\,\dd t = 6$: yaitu kurva yang digambar di dalam lingkaran satuan, yang berpanjang $6 < 2\pi$. Adapun soal akhir pekannya mengukur lengkungan yang paling termasyhur.