Peluang bersyarat কী?

Contoh 32.6 (Uji penapisan)

Suatu penyakit menyerang $1\%$ penduduk. Sebuah uji mendeteksinya dengan peluang $0.99$ (kepekaannya) dan memberi positif palsu dengan peluang $0.05$. Jika ujinya positif, peluang benar-benar mengidap penyakit itu adalah

Walaupun ujinya jitu, lima dari enam positifnya palsu — sebab penyakitnya jarang. Mengacaukan $\pcond{A}{B}$ dengan $\pcond{B}{A}$ adalah sesat pikir jaksa.

Contoh 21.12 (Penyaratan dapat menciptakan keseragaman)

Lemparkan dua dadu setimbang lalu syaratkan jumlahnya $7$: maka untuk setiap $k \in \intint16$,

jadi jika diketahui jumlahnya $7$, dadu pertamanya persis seragam — sebab $7$ adalah satu-satunya total yang serasi dengan setiap mukanya, jadi penyaratannya menghapus semua informasi tentang $X$. Adapun total lain memiringkan hukumnya (sebab jika diketahui $S = 4$, dadu pertamanya seragam pada $\{1, 2, 3\}$ saja). Jadi menghitung hukum bersyarat berarti menormalkan ulang bobot bersamanya sepanjang kejadian penyaratannya, tak lebih.

Contoh 21.13 (Tarikan kedua sama baiknya dengan yang pertama)

Sebuah guci berisi $3$ bola putih dan $2$ bola hitam; tariklah dua tanpa pengembalian. Semua orang sepakat $\P(W_1) = \frac35$; lalu berapa $\P(W_2)$? Peluang total sepanjang tarikan pertamanya:

yakni persis $\P(W_1)$. Jadi tak ada perhitungan yang diperlukan: sebab berkat kesimetriannya, setiap bolanya sama mungkin menjadi bola kedua yang ditarik, jadi tarikan kedua — tanpa disyaratkan — berhukum sama dengan yang pertama. Adapun menyaratkan pada hasil pertamanya mengubah peluangnya; sedangkan tak mengetahuinya tidak. Hujah keterpertukaran ini kembali pada bab berikutnya bagi pencuplikan tanpa pengembalian, tempat ia memberi rerata hipergeometrik $np$ tanpa satu kesamaan binomial pun.

Contoh 21.15 (Tabrakan ulang tahun, lewat aturan rantai)

Dengan $n$ orang yang ulang tahunnya saling bebas dan seragam atas $365$ hari, misalkan $D_n = {}$“semua $n$ ulang tahunnya berbeda”. Lalu dengan menyaratkan orang demi orang (yakni aturan rantai):

sebab tiap orang baru harus menghindari $k$ hari yang sudah terpakai. Untuk $n = 23$: berlaku $\P(D_{23}) \approx 0.493$ — jadi ulang tahun yang sama sudah lebih mungkin daripada tidak. Adapun heuristik yang menjelaskan kekecilan $23$: dengan mengambil logaritmanya, $-\ln \P(D_n) \approx \sum_{k<n}\frac k{365} = \frac{\binom n2}{365}$, lalu $\binom{23}2 = 253$ memberi $253/365 \approx 0.693 \approx \ln 2$. Jadi yang berperan adalah banyaknya pasangan, yang tumbuh kuadratik: sehingga masalah tabrakan hidup pada skala $n \sim \sqrt{365}$, bukan $n \sim 365$ — jadi paradoks ulang tahun adalah akar kuadrat yang menyamar.