Penggantian parameter কী?

Contoh 18.4 (Kelajuan tak mengubah apa pun yang geometris)

Parameterkan lingkaran satuannya lewat

Kelajuannya $\norm{\gamma'(t)} = 2t$ tumbuh linear, namun

yakni panjang yang sama seperti pada kelajuan tetap — sebagaimana dijanjikan Teorema 18.7, lewat penggantian parameter $t \mapsto t^2$. Garis singgungnya, kelengkungan yang dihitung dari Proposisi 18.17, dan setiap besaran geometris lainnya juga sepakat; hanya $t = 0$ yang pantas dilirik, tempat $\gamma'(0) = 0$ membuat parameterisasi ini tak regular walaupun lintasannya berupa lingkaran yang sempurna. Jadi pernyataan geometris kurang toleran terhadap parameterisasi yang buruk: parameterkan ulang dulu, simpulkan kemudian.

Contoh 18.5

Busur $\gamma(t) = (t^2, t^3)$ bersifat $\mathcal{C}^\infty$ tetapi tak regular: sebab $\gamma'(0) = (0, 0)$. Lintasannya, yakni parabola semikubik $y^2 = x^3$, punya titik runcing di titik asalnya: jadi kemulusan parameterisasinya tak mencegah kesingularan geometris di tempat kecepatannya lenyap. Itulah sebabnya hipotesis keregularan $\gamma' \neq 0$ bukan sekadar hiasan.