ما معنى فضاء متري تام؟

مثال 4.8 (متتالية كوشي بلا نهاية)

في $X = \Q$ مع المسافة المعتادة، تحقق الاقتطاعات العشرية للعدد $\sqrt2$،

العلاقةَ $\abs{x_p - x_q} \leq 10^{-\min(p,q)}$: فهي متتالية كوشي في $\Q$. وأي نهاية في $\Q$ تكون نهاية في $\R$ أيضًا، أي $\sqrt2 \notin \Q$: فلا نهاية لها في $X$. وعدم التمام هو وجود مثل هذه “النهايات الشبحية”؛ وقد صُمّم تمام $\R$ في مجلد السنة الأولى بالضبط ليعطي كل متتالية كوشي بيتًا.

مثال 4.13 (معادلة تكاملية)

على الفضاء التام $X = C(\intcc{0}{1})$ (مع المبرهنة 4.9)، لننظر في $T(f)(x) = 1 + \frac12 \int_0^x f(t)\,\dd t$. من أجل $f, g \in X$:

ومن ثم فإن $T$ متقلّص بالثابت $\frac12$: فله نقطة ثابتة متصلة وحيدة — وهي حلّ المعادلة $f' = \frac f2$، $f(0) = 1$، أي $\eu^{x/2}$. وهذه الخطة، بعد تصنيعها، تصير مبرهنةَ كوشي–ليبشيتز في الفصل 16.

مثال 4.14 (نقطة ثابتة عددية: $x = \cos x$)

على الفترة التامة $X = \intcc{0}{1}$، يرسل التطبيق $f = \cos$ المجموعةَ $X$ داخل $\intcc{\cos 1}{1} \subseteq X$ وهو متقلّص: فبمتراجحة التزايدات المنتهية،

وبمبرهنة باناخ: حلّ وحيد للمعادلة $x = \cos x$ في $\intcc01$ (ومن ثم في $\R$: فأي نقطة ثابتة حقيقية تقع في $\intcc{-1}{1}$، ثم في $\intcc{\cos 1}{1}$ بعد تطبيق واحد)، ويتقارب التكرار $x_{n+1} = \cos x_n$ إليه انطلاقًا من أي بداية: $x_\infty \approx 0.739085$، وهو العدد الشهير الذي نحصل عليه بالنقر المتواصل على زرّ جيب التمام في الآلة الحاسبة. ويتنبأ حدّ الخطأ بتناقص من رتبة $(\sin1)^n/(1 - \sin1)$ — أي نحو رقم واحد لكل $13$ نقرة؛ ويصدّق الحدّ البعدي في مسألة نهاية الأسبوع في هذا الفصل (السؤال 14) كل خطوة أثناء الحساب.

مثال 7.5 (اضطراب التطابق)

ليكن $g \colon \R^d \to \R^d$ ليبشيتزيًا بثابت $k$ مع $k < 1$. عندئذٍ يكون $\varphi = \mathrm{id} + g$ تماثلًا طوبولوجيًا من $\R^d$ على $\R^d$. والتباين، مع معامل كمّي:

وأما الشمولية فهي مبرهنة النقطة الصامدة: إذ إن حل $\varphi(x) = y$ يعني $x = y - g(x)$، ويكون $x \mapsto y - g(x)$ تقلّصًا بثابت $k$ للفضاء التام $\R^d$ — ومنه يوجد حل وحيد $x = \psi(y)$ من أجل كل $y$. وتجعل المتراجحة المعروضة المقلوبَ $\psi$ ليبشيتزيًا بثابت $\frac1{1-k}$: أي تماثلًا طوبولوجيًا، بحدود صريحة على المعاملين كليهما. وهذه العبارة التي تبدو بريئة هي المحرّك داخل مبرهنة التطبيق العكسي (الفصل 20): إذ يكون $f$، قرب نقطة يكون فيها $Df$ قابلًا للقلب، هو تطبيقًا خطيًا قابلًا للقلب مضافًا إليه اضطراب ليبشيتزي صغير، ويقوم مثال اليوم بالباقي. وهي تُكمّم أيضًا المتانة العددية: فجملة مضطربة بأقل من هامش المقلوب تبقى قابلة للحل، ويتحرّك حلها بمقدار لا يتجاوز $\frac{1}{1-k}$ مضروبًا في الاضطراب.