Algebra কী?

Voorbeeld 1.34 (Een evaluatiemorfisme en zijn kern)

Neem $A = \begin{pmatrix}0 & 1\\ 0 & 0\end{pmatrix}$ en de evaluatie $\varepsilon_A \colon \R[X] \to \mathcal{M}_2(\R)$, $P \mapsto P(A)$. Omdat $A^2 = 0$ is

(alleen de constante en de lineaire term van $P$ overleven). Bijgevolg is $\ker\varepsilon_A = \{P : P(0) = P'(0) = 0\} = X^2\,\R[X]$: een hoofdideaal, precies zoals Stelling 1.26 voorspelt, voortgebracht door de monische $X^2$ van kleinste graad in de kern — de minimale veelterm van $A$, hoofdrolspeler in Hoofdstuk 3. Het beeld is de tweedimensionale commutatieve algebra $\{aI + bA\}$: evaluatiemorfismen krimpen het oneindigdimensionale $\R[X]$ tot kleine, berekenbare algebra’s.