Wat is Discrete toevalsveranderlijke; verdeling? — Wiskunde

Definitie 22.1 Universitaire wiskunde — Bachelor jaar 2 · 第 22 章 — Discrete toevalsveranderlijken

Zij $(\Omega, \P)$ een aftelbare kansruimte. Een toevalsveranderlijke is een afbeelding $X \colon \Omega \to E$ ( $E$ een willekeurige verzameling; reële toevalsveranderlijke wanneer $E = \R$ ). Haar verdeling (of kansverdeling) is de kansmaat $\P_X$ op de aftelbare verzameling $X(\Omega)$ gedefinieerd door

\P_X(\{x\}) = \P(X = x) = \P\bigl(\{\omega : X(\omega) = x\}\bigr) .

示例

Voorbeeld 22.2 (De klassieke verdelingen)

Bernoulli $\mathcal{B}(p)$ : $X \in \{0, 1\}$ , $\P(X = 1) = p$ . De indicator van een gebeurtenis.
Binomiaal $\mathcal{B}(n, p)$ : $\P(X = k) = \binom nk p^k(1-p)^{n-k}$ , $0 \leq k \leq n$ : het aantal successen in $n$ onafhankelijke bernoulli-experimenten (bovenbouwvolume; hieronder opnieuw bewezen via sommen van onafhankelijke veranderlijken).
Meetkundig $\mathcal{G}(p)$ : $\P(X = k) = (1-p)^{k-1}p$ , $k \in \N^*$ : de rang van het eerste succes (Voorbeeld 21.5).
Poisson $\mathcal{P}(\lambda)$ : $\P(X = k) = e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!}$ , $k \in \N$ — een kansmaat wegens de exponentiële reeks. De verdeling van de zeldzame gebeurtenissen (Hoofdstuk 23).

Voorbeeld 22.10 (Overdracht in actie)

Bereken voor $X \sim \mathcal P(\lambda)$ de waarde $\E\bigl(\frac1{1+X}\bigr)$ — de verdeling van $\frac1{1+X}$ zelf is onhandig, maar de overdracht vraagt er nooit naar:

\E\Bigl(\frac1{1+X}\Bigr) = \sum_{k\geq0}\frac{1}{k+1}\,\eu^{-\lambda} \frac{\lambda^k}{k!} = \frac{\eu^{-\lambda}}{\lambda}\sum_{k\geq0} \frac{\lambda^{k+1}}{(k+1)!} = \frac{\eu^{-\lambda}}{\lambda}\bigl(\eu^\lambda - 1\bigr) = \frac{1 - \eu^{-\lambda}}{\lambda} .

Twee lessen. Rekenkundig: een verschoven exponentiële reeks herkennen is het hele werk — de overdracht herleidt verwachtingswaarden van $f(X)$ tot het hanteren van reeksen. Structureel: de naïeve invulwaarde zou $\frac1{1 + \E X} = \frac1{1 + \lambda}$ zijn, en het echte antwoord is groter,

\frac{1 - \eu^{-\lambda}}{\lambda} \geq \frac{1}{1 + \lambda},

precies zoals de ongelijkheid van Jensen voor de convexe functie $t \mapsto \frac1{1+t}$ eist. Verwachtingswaarden van convexe beelden liggen boven de naïeve invulwaarde, en de overdracht plus een reekscontrole maakt de abstracte ongelijkheid concreet.

Voorbeeld 22.12 (Producten, met en zonder onafhankelijkheid)

Gooi met twee eerlijke dobbelstenen. Is $Y$ de tweede dobbelsteen (onafhankelijk van de eerste), dan is $\E(XY) = \E(X)\E(Y) = 3.5^2 = 12.25$ . Is daarentegen $Y = X$ (het “product” van een dobbelsteen met zichzelf), dan is

\E(X^2) = \frac{1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36}{6} = \frac{91}{6} \approx 15.17 \neq 12.25 :

dezelfde marginale verdelingen in beide scenario’s, verschillende gezamenlijke verdelingen, verschillende verwachtingswaarden van het product. De moraal, het onthouden waard: $\E(XY)$ is een functionaal van het paar, niet van de twee marginalen — en het gat $\E(X^2) - \E(X)^2 \approx 2.92$ is volgens König–Huygens precies de variantie $\frac{35}{12}$ van de dobbelsteen.

在原文中阅读 →

示例

相关术语