euclidisch domein কী?

Voorbeeld 2.15

$\Z$ (met $\nu = \abs\cdot$) en $K[X]$ (met $\nu = \deg$) zijn euclidisch — het volume van bachelorjaar 2 bewees beide delingen. Ook $\Z[\iu]$ is het, met $\nu = N$ de kwadratische norm (Oefening 2.4); de meetkunde achter het bewijs staat in de figuur hieronder. Een hoofdideaaldomein dat niet euclidisch is bestaat, maar is lastig te certificeren (het standaardvoorbeeld is $\Z\bigl[\frac{1+\iu\sqrt{19}}2\bigr]$); een UFD dat geen hoofdideaaldomein is, ligt voor het grijpen: $K[X, Y]$ (Oefening 2.6) of $\Z[X]$.

Voorbeeld 2.20 (Een ring zonder eenduidige ontbinding)

Geen van de implicaties euclidisch $\Rightarrow$ hoofdideaaldomein $\Rightarrow$ UFD is een gelijkwaardigheid, en het falen van de laatste is het waard om één keer helemaal uit te schrijven. In

is de norm multiplicatief en geldt $N(z) = 1$ precies wanneer $z \in A^\times = \{\pm1\}$. Beschouw

Alle vier de factoren zijn irreducibel: hun normen zijn $4, 9, 6, 6$, en een echte ontbinding $z = z_1z_2$ zou $N(z_1) \in \{2, 3\}$ afdwingen — maar $a^2 + 5b^2$ is nooit $2$ of $3$ ($b = 0$ laat de niet-kwadraten $2, 3$ over; $\abs b \geq 1$ geeft $\geq 5$). En toch is $2$ met geen van beide $1 \pm \iu\sqrt5$ geassocieerd (normen $4 \neq 6$): twee werkelijk verschillende ontbindingen van $6$ in irreducibele factoren. Gelijkwaardig: hier is irreducibel $\neq$ priem, want $2$ deelt het product $(1 + \iu\sqrt5)(1 - \iu\sqrt5) = 6$ maar geen van beide factoren (opnieuw de normen). De ideaaltheoretische reparatie van dit falen — idealen ontbinden in plaats van elementen — is de geboorte van de algebraïsche getaltheorie; op ons niveau ijkt het voorbeeld hoe bijzonder de euclidische ringen $\Z$, $K[X]$ en $\Z[\iu]$ van dit hoofdstuk werkelijk zijn.