Integriteitsdomein, lichaam কী?

Voorbeeld 7.19 (Idempotenten: nieuwe verschijnselen in nieuwe ringen)

In $\Z$ heeft de vergelijking $x^2 = x$, oftewel $x(x - 1) = 0$, alleen de oplossingen $0$ en $1$. In $\Z/6\Z$ geeft het aflopen van alle klassen: $\overline0^2 = \overline0$, $\overline1^2 = \overline1$, $\overline3^2 = \overline9 = \overline3$ en $\overline4^2 = \overline{16} = \overline4$ — vier idempotenten. De twee exotische komen van nuldelers: $\overline3\,(\overline3 - \overline1) = \overline3 \times \overline2 = \overline6 = \overline0$, terwijl geen van beide factoren nul is. Zulke berekeningen ijken je instinct: vertrouwde feiten over vergelijkingen overleven in integriteitsdomeinen en lichamen, maar een algemene ring kan zich anders gedragen, en doet dat ook — zie ook de booleaanse ringen van Oefening 7.10, waar elk element idempotent is.

Voorbeeld 7.26 (Hoeveel vierkantswortels van $1$?)

Los $x^2 = \overline 1$ op in $\Z/8\Z$ en in $\Z/7\Z$. De acht klassen modulo $8$ aflopen: $1^2 = 1$, $3^2 = 9 \equiv 1$, $5^2 = 25 \equiv 1$, $7^2 = 49 \equiv 1$ — vier oplossingen $\{\overline1, \overline3, \overline5, \overline7\}$, hoewel de veelterm $X^2 - 1$ graad $2$ heeft. In het lichaam $\Z/7\Z$ daarentegen betekent $x^2 = \overline1$ dat $(x - \overline1)(x + \overline1) = \overline0$, en een lichaam heeft geen nuldelers: $x = \pm\overline1$, slechts twee oplossingen. Het falen modulo $8$ is na te speuren: $(3-1)(3+1) = 2 \times 4 = 8 \equiv 0$ zonder dat een van beide factoren nul wordt. Moraal: de vertrouwde regel “een vergelijking van graad $d$ heeft hoogstens $d$ wortels” is een stelling over integriteitsdomeinen (Gevolg 8.8 bewijst haar over lichamen); in ringen met nuldelers faalt ze stilzwijgend — en precies daarom had het koppelbewijs van de stelling van Wilson (Oefening 6.11) een priem $p$ nodig.