Universitaire wiskunde — Bachelor jaar 3 · Bachelor Year 3

9Maattheorie

Hoe lang is een deelverzameling van $\R$ ? Het naïeve antwoord — ken aan elke verzameling een translatie-invariante lengte toe die die van de intervallen voortzet — is onmogelijk: de constructie van Vitali, aan het eind van dit hoofdstuk, levert een verzameling zonder samenhangende lengte. De maattheorie is de gedisciplineerde terugtocht: beperk je tot een rijke klasse meetbare verzamelingen, waarop een aftelbaar additieve lengte bestaat en uniek is. De beloning is enorm — de integraal van Lebesgue (Hoofdstuk 10), de $L^p$ -ruimten van de functionaalanalyse en de hele moderne kansrekening (Hoofdstuk 22) rusten op de drie stellingen die we hier bewijzen: het eenduidigheidslemma van Dynkin, de uitbreidingsstelling van Carathéodory, en het bestaan van de lebesguemaat.

9.1 $\sigma$ -algebra’s

Definitie 9.1

Een $\sigma$ -algebra op een verzameling $X$ is een familie $\mathcal A$ deelverzamelingen die $\varnothing$ bevat en gesloten is onder complementvorming en onder aftelbare verenigingen (en dus onder aftelbare doorsneden en verschillen, en ze bevat $X$ ). Het paar $(X, \mathcal A)$ heet een meetbare ruimte; de leden van $\mathcal A$ heten meetbare verzamelingen. Voor een willekeurige familie $\mathcal E$ deelverzamelingen noteert $\sigma(\mathcal E)$ de kleinste $\sigma$ -algebra die $\mathcal E$ bevat (de doorsnede van alle zulke — een doorsnede van $\sigma$ -algebra’s is er weer een).

Definitie 9.2

De Borel- $\sigma$ -algebra van een topologische ruimte is $\mathcal B(X) = \sigma(\{\text{open verzamelingen}\})$ . Op $\R$ wordt $\mathcal B(\R)$ ook voortgebracht door de open intervallen, door de gesloten intervallen, door de halfrechten $(-\infty, a]$ en door de halfrechten met rationale eindpunten (Oefening 9.1) — elke familie brengt de open verzamelingen voort met aftelbare bewerkingen, want elke open deelverzameling van $\R$ is een aftelbare vereniging van open intervallen met rationale gegevens.

Definitie 9.3

Een $\pi$ -systeem is een familie die gesloten is onder eindige doorsneden. Een $\lambda$ -systeem (dynkinklasse) is een familie $\mathcal D$ met: $X \in \mathcal D$ ; uit $A, B \in \mathcal D$ met $A \subseteq B$ volgt $B \setminus A \in \mathcal D$ ; en uit $A_n \uparrow A$ met $A_n \in \mathcal D$ volgt $A \in \mathcal D$ .

Stelling 9.4 ( $\pi$ – $\lambda$ -lemma van Dynkin)

Bevat een $\lambda$ -systeem $\mathcal D$ een $\pi$ -systeem $\mathcal P$ , dan is $\mathcal D \supseteq \sigma(\mathcal P)$ .

Bewijs. Zij $\mathcal D_0$ het kleinste $\lambda$ -systeem dat $\mathcal P$ bevat (de doorsnede van alle zulke); het volstaat aan te tonen dat $\mathcal D_0$ een $\sigma$ -algebra is, want dan is $\sigma(\mathcal P) \subseteq \mathcal D_0 \subseteq \mathcal D$ . Een $\lambda$ -systeem dat gesloten is onder eindige doorsneden is een $\sigma$ -algebra: complementen ( $X \setminus A$ met $A \subseteq X$ ), eindige verenigingen ( $A \cup B = X \setminus ((X\setminus A)\cap(X\setminus B))$ ), en aftelbare verenigingen via $\bigcup_{k \leq n}A_k \uparrow \bigcup_kA_k$ . We bewijzen dus dat $\mathcal D_0$ een $\pi$ -systeem is, in twee stappen. Zij

\mathcal D_1 = \{A \in \mathcal D_0 : A \cap P \in \mathcal D_0 \ \forall P \in \mathcal P\}.

$\mathcal D_1$ is een $\lambda$ -systeem (alle drie de axioma’s gaat men na door met $P$ te snijden: bijvoorbeeld $(B\setminus A)\cap P = (B \cap P)\setminus(A \cap P)$ , een echt verschil binnen $\mathcal D_0$ ) en bevat $\mathcal P$ ( $\pi$ -systeem): dus $\mathcal D_1 = \mathcal D_0$ . Zij nu

\mathcal D_2 = \{A \in \mathcal D_0 : A \cap D \in \mathcal D_0\ \forall D \in \mathcal D_0\}.

Wegens de vorige stap is $\mathcal D_2 \supseteq \mathcal P$ ; en $\mathcal D_2$ is een $\lambda$ -systeem volgens dezelfde verificatie: dus $\mathcal D_2 = \mathcal D_0$ , wat precies zegt dat $\mathcal D_0$ gesloten is onder doorsneden. ∎

9.2 Maten

Definitie 9.5

Een maat op $(X, \mathcal A)$ is een afbeelding $\mu \colon \mathcal A \to [0, +\infty]$ met $\mu(\varnothing) = 0$ die $\sigma$ -additief is: voor paarsgewijs disjuncte $(A_n)_{n\in\N}$ geldt

\mu\Bigl(\bigsqcup_n A_n\Bigr) = \sum_n \mu(A_n).

$(X, \mathcal A, \mu)$ heet een maatruimte; $\mu$ heet eindig als $\mu(X) < \infty$ , een kansmaat als $\mu(X) = 1$ , en $\sigma$ -eindig als $X$ een aftelbare vereniging is van verzamelingen van eindige maat. Voorbeelden: de telmaat op $(\N, \mathcal P(\N))$ ; de diracmassa $\delta_a(A) = \mathbf 1_{a \in A}$ ; en, het onderwerp van dit hoofdstuk, de lebesguemaat.

Propositie 9.6

Zij $\mu$ een maat. (a) Monotonie: uit $A \subseteq B$ volgt $\mu(A) \leq \mu(B)$ . (b) Aftelbare subadditiviteit: $\mu(\bigcup A_n) \leq \sum\mu(A_n)$ . (c) Continuïteit van onderen: uit $A_n \uparrow A$ volgt $\mu(A_n) \to \mu(A)$ . (d) Continuïteit van boven: uit $A_n \downarrow A$ met $\mu(A_1) < \infty$ volgt $\mu(A_n) \to \mu(A)$ .

Bewijs. (a) $B = A \sqcup (B\setminus A)$ . (b) Maak disjunct: de $B_n = A_n \setminus \bigcup_{k<n}A_k$ zijn disjunct met dezelfde vereniging, en $\mu(B_n) \leq \mu(A_n)$ . (c) $A = \bigsqcup_n (A_n \setminus A_{n-1})$ (met $A_0 = \varnothing$ ): de partiële sommen van $\sum\mu(A_n\setminus A_{n-1})$ zijn $\mu(A_n)$ . (d) Pas (c) toe op $A_1 \setminus A_n \uparrow A_1 \setminus A$ en trek af van $\mu(A_1)$ — de eindigheid maakt het aftrekken geoorloofd. Tegenvoorbeeld zonder haar: $A_n = [n, \infty)$ voor de lebesguemaat: $A_n \downarrow \varnothing$ terwijl $\mu(A_n) = \infty$ . ∎

Stelling 9.7 (Eenduidigheid)

Zij $\mu, \nu$ maten op $\sigma(\mathcal P)$ , met $\mathcal P$ een $\pi$ -systeem, en $\mu = \nu$ op $\mathcal P$ . Zijn er verzamelingen $P_k \in \mathcal P$ met $P_k \uparrow X$ en $\mu(P_k) < \infty$ , dan is $\mu = \nu$ op heel $\sigma(\mathcal P)$ .

Bewijs. Leg $k$ vast en beschouw de eindige maten $\mu_k(A) = \mu(A \cap P_k)$ en $\nu_k(A) = \nu(A \cap P_k)$ op $\sigma(\mathcal P)$ : ze vallen samen op $\mathcal P$ , want $P \cap P_k \in \mathcal P$ ( $\pi$ -systeem), en ze kennen aan $X$ dezelfde eindige waarde $\mu(P_k)$ toe. De klasse $\mathcal D = \{A : \mu_k(A) = \nu_k(A)\}$ is een $\lambda$ -systeem: $X \in \mathcal D$ ; echte verschillen door aftrekken (eindige waarden); en stijgende limieten door de continuïteit van onderen (Propositie 9.6(c)). Ze bevat het $\pi$ -systeem $\mathcal P$ , dus geeft Dynkin (Stelling 9.4) dat $\mathcal D \supseteq \sigma(\mathcal P)$ : $\mu_k = \nu_k$ overal. Ten slotte geeft voor elke $A \in \sigma(\mathcal P)$ de continuïteit van onderen langs $A \cap P_k \uparrow A$ dat $\mu(A) = \lim_k\mu_k(A) = \lim_k\nu_k(A) = \nu(A)$ . ∎

9.3 Buitenmaten en de stelling van Carathéodory

Definitie 9.8

Een buitenmaat op $X$ is een afbeelding $\mu^* \colon \mathcal P(X) \to [0, \infty]$ met $\mu^*(\varnothing) = 0$ , monotoon en aftelbaar subadditief. Een verzameling $A$ heet $\mu^*$ -meetbaar (Carathéodory) als ze elke verzameling additief splitst:

\mu^*(E) = \mu^*(E \cap A) + \mu^*(E \setminus A) \qquad \text{voor elke } E \subseteq X

( $\leq$ geldt altijd wegens de subadditiviteit; de inhoud zit in $\geq$ ).

Stelling 9.9 (Carathéodory)

De $\mu^*$ -meetbare verzamelingen vormen een $\sigma$ -algebra $\mathcal M$ , en $\mu^*\restriction_{\mathcal M}$ is een maat. Bovendien behoort elke verzameling met $\mu^*(N) = 0$ tot $\mathcal M$ (de maat is volledig).

Bewijs. $\mathcal M$ bevat $\varnothing$ en is gesloten onder complementvorming (de definiërende voorwaarde is symmetrisch in $A$ en $X\setminus A$ ). Eindige verenigingen: zij $A, B \in \mathcal M$ en $E$ willekeurig; splits $E$ met $A$ en daarna elk stuk met $B$ :

\mu^*(E) = \mu^*(E\cap A\cap B) + \mu^*(E\cap A\setminus B) + \mu^*(E\cap B\setminus A) + \mu^*(E\setminus(A\cup B)).

De eerste drie stukken overdekken $E \cap (A \cup B)$ , dus geeft de subadditiviteit $\mu^*(E) \geq \mu^*(E\cap(A\cup B)) + \mu^*(E\setminus(A\cup B))$ : dus $A \cup B \in \mathcal M$ . Per inductie volgen de eindige verenigingen; en met de complementen zijn eindige disjunctheidsmanipulaties beschikbaar.

Additiviteit op $\mathcal M$ : voor disjuncte $A, B \in \mathcal M$ en willekeurige $E$ is $\mu^*(E\cap(A\sqcup B)) = \mu^*(E\cap A) + \mu^*(E \cap B)$ (splits met $A$ ); en per inductie

\mu^*\Bigl(E \cap \bigsqcup_{k\leq n}A_k\Bigr) = \sum_{k\leq n}\mu^*(E\cap A_k). \tag{$*$}

Aftelbare verenigingen: zij $(A_k) \subseteq \mathcal M$ disjunct (dat volstaat, door binnen de algebra $\mathcal M$ disjunct te maken), $A = \bigsqcup A_k$ en $E$ willekeurig. Met $\bigsqcup_{k\leq n}A_k \in \mathcal M$ en de monotonie:

\mu^*(E) = \mu^*\Bigl(E\cap\bigsqcup_{k\leq n}A_k\Bigr) + \mu^*\Bigl(E\setminus\bigsqcup_{k\leq n}A_k\Bigr) \geq \sum_{k \leq n}\mu^*(E\cap A_k) + \mu^*(E\setminus A)

volgens ( $*$ ). Laat $n \to \infty$ gaan en gebruik de aftelbare subadditiviteit in de andere richting:

\mu^*(E) \geq \sum_{k}\mu^*(E\cap A_k) + \mu^*(E\setminus A) \geq \mu^*(E \cap A) + \mu^*(E\setminus A) \geq \mu^*(E):

alle ongelijkheden zijn gelijkheden. Dat bewijst zowel $A \in \mathcal M$ als, met $E = A$ , de aftelbare additiviteit van $\mu^*$ op $\mathcal M$ .

Nulverzamelingen: is $\mu^*(N) = 0$ , dan is voor elke $E$ : $\mu^*(E \cap N) + \mu^*(E\setminus N) \leq 0 + \mu^*(E)$ , dus $N \in \mathcal M$ . ∎

9.4 De lebesguemaat op $\R$

Definitie 9.10

De lebesgue-buitenmaat van $A \subseteq \R$ is

\lambda^*(A) = \inf\Bigl\{\sum_{n} (b_n - a_n) : A \subseteq \bigcup_n \intoo{a_n}{b_n}\Bigr\}

(aftelbare overdekkingen met open intervallen).

Lemma 9.11

$\lambda^*$ is een buitenmaat, invariant onder translaties, en $\lambda^*(I) = \ell(I)$ (de lengte) voor elk interval $I$ .

Bewijs. Buitenmaat: $\varnothing$ wordt door willekeurig kleine intervallen overdekt; de monotonie is duidelijk; en de subadditiviteit: gegeven overdekkingen van elke $A_n$ tot op $\varepsilon 2^{-n}$ van het infimum, overdekt hun vereniging $\bigcup A_n$ met totale lengte $\leq \sum \lambda^*(A_n) + \varepsilon$ . Translatie-invariantie: verschuif de overdekkingen.

Lengte: het volstaat $I = \intcc ab$ te behandelen (de andere types verschillen in de eindpunten, die buitenmaat $0$ hebben: overdek met piepkleine intervallen; en vergelijk dan met $\intcc{a+\varepsilon}{b - \varepsilon} \subseteq \intoo ab$ ). $\lambda^*(\intcc ab) \leq b - a$ : overdek met $\intoo{a-\varepsilon}{b+\varepsilon}$ . Zij omgekeerd $\intcc ab \subseteq \bigcup_n\intoo{a_n}{b_n}$ : wegens de compactheid (Borel–Lebesgue, Stelling 6.16) volstaan eindig veel intervallen, zeg $I_1, \dots, I_N$ . We tonen $\sum_{k\leq N}(b_k - a_k) \geq b - a$ aan met inductie naar $N$ : kies $I_{k_1} \ni a$ ; is $b_{k_1} > b$ , dan zijn we klaar ( $b_{k_1} - a_{k_1} > b - a$ ); anders wordt het segment $\intcc{b_{k_1}}b$ door de overige $N - 1$ intervallen overdekt, en geeft de inductie $\sum_{k \neq k_1}(b_k - a_k) \geq b - b_{k_1}$ , terwijl $b_{k_1} - a_{k_1} > b_{k_1} - a$ : tel op. ∎

Stelling 9.12 (Lebesguemaat)

Elke borelverzameling van $\R$ is $\lambda^*$ -meetbaar. De beperking $\lambda$ van $\lambda^*$ tot de $\sigma$ -algebra $\mathcal L = \mathcal M_{\lambda^*} \supseteq \mathcal B(\R)$ (de lebesgue- $\sigma$ -algebra) is de unieke maat op $\mathcal B(\R)$ die aan elk interval zijn lengte toekent; ze is translatie-invariant en $\sigma$ -eindig.

Bewijs. Volgens Stelling 9.9 volstaat het aan te tonen dat elke halfrechte $A = \intoo{-\infty}c$ $\lambda^*$ -meetbaar is (de halfrechten brengen $\mathcal B$ voort, Definitie 9.2). Zij $E \subseteq \R$ met $\lambda^*(E) < \infty$ en $\bigcup I_n \supseteq E$ een overdekking met $\sum\ell(I_n) \leq \lambda^*(E) + \varepsilon$ . Elke $I_n$ splitst in de twee intervallen $I_n' = I_n \cap A$ en $I_n'' = I_n\setminus A$ (een interval min een halfrechte is een interval) met $\ell(I_n') + \ell(I_n'') = \ell(I_n)$ ; de $I_n'$ overdekken $E \cap A$ en de $I_n''$ overdekken $E \setminus A$ (vergroot elk tot een open interval van lengte $\ell + \varepsilon2^{-n}$ om binnen de definitie te blijven), dus

\lambda^*(E\cap A) + \lambda^*(E\setminus A) \leq \sum_n\bigl(\ell(I_n') + \ell(I_n'')\bigr) + 2\varepsilon \leq \lambda^*(E) + 3\varepsilon .

Eenduidigheid: twee maten die op het $\pi$ -systeem van de intervallen $\intoc ab$ met de lengte samenvallen (en er eindig zijn) vallen samen op $\sigma(\text{intervallen}) = \mathcal B$ , volgens Stelling 9.7 met $P_k = \intoc{-k}k$ . $\sigma$ -eindigheid: $\R = \bigcup(-k, k]$ . ∎

Stelling 9.13 (Regulariteit)

Voor elke $A \in \mathcal L$ geldt

\lambda(A) = \inf\{\lambda(U) : U \supseteq A \text{ open}\} = \sup\{\lambda(K) : K \subseteq A \text{ compact}\}.

Bewijs. Van buiten: een overdekking $\bigcup I_n$ met $\sum\ell(I_n) \leq \lambda(A) + \varepsilon$ is een open verzameling $U \supseteq A$ met $\lambda(U) \leq \lambda(A) + \varepsilon$ (subadditiviteit); is $\lambda(A) = \infty$ , dan is de uitspraak triviaal. Van binnen: zij $A$ eerst begrensd, $A \subseteq [-M, M]$ . Kies een open $U \supseteq ([-M,M]\setminus A)$ met $\lambda(U) \leq \lambda([-M,M]\setminus A) + \varepsilon$ ; dan is $K = [-M, M]\setminus U$ compact met $K \subseteq A$ , en

\lambda(K) = \lambda([-M,M]) - \lambda([-M,M]\cap U) \geq \lambda([-M,M]) - \bigl(\lambda([-M,M]) - \lambda(A) + \varepsilon\bigr) = \lambda(A) - \varepsilon .

Voor algemene $A$ : $\lambda(A) = \lim_M\lambda(A\cap[-M,M])$ (continuïteit van onderen), en pas daarbinnen het begrensde geval toe. ∎

Voorbeeld 9.14

De cantorverzameling (Oefening 6.10) heeft $\lambda(C) = 0$ : $C \subseteq C_n$ , een vereniging van $2^n$ intervallen van lengte $3^{-n}$ , dus $\lambda(C) \leq (2/3)^n \to 0$ . Een overaftelbare nulverzameling — de kardinaliteit ziet de maat niet. Omgekeerd zijn dikke cantorverzamelingen (Oefening 9.5) nergens dicht met positieve maat: ook de topologie ziet de maat niet. De weekendopgave drijft dat samenspel tot zijn treffende conclusie: er bestaan lebesgue-meetbare verzamelingen die geen borelverzameling zijn.

Stelling 9.15 (Vitali)

Er bestaat geen maat op alle deelverzamelingen van $\R$ die translatie-invariant is en aan elk interval zijn lengte toekent. In het bijzonder is $\mathcal L \neq \mathcal P(\R)$ : er bestaan niet-meetbare verzamelingen.

Bewijs. Stel dat $\mu$ er een was. Beschouw op $\intcc01$ de equivalentie $x \sim y \iff x - y \in \Q$ ; kies met het keuzeaxioma per klasse één representant in $\intcc01$ : een verzameling $V$ . Voor $q \in \Q\cap\intcc{-1}1$ zijn de translaten $V + q$ paarsgewijs disjunct (twee punten van $V$ die een rationaal getal verschillen zouden equivalent en toch verschillende representanten zijn), en

\intcc01 \subseteq \bigsqcup_{q \in \Q\cap\intcc{-1}1}(V + q) \subseteq \intcc{-1}2 :

de eerste inclusie omdat elke $x \in \intcc01$ van haar representant $v$ verschilt met een rationaal getal $q = x - v \in \intcc{-1}1$ . De monotonie en de $\sigma$ -additiviteit geven

1 \leq \sum_{q}\mu(V + q) \leq 3, \qquad\text{met } \mu(V + q) = \mu(V) \text{ voor alle } q .

Een oneindige som van de constante $\mu(V)$ is $0$ of $\infty$ : beide grenzen kunnen niet tegelijk gelden. Zo’n $\mu$ bestaat dus niet — en $V \notin \mathcal L$ , want $\lambda$ heeft op $\mathcal L$ alle gebruikte eigenschappen. ∎

Opmerking 9.16

In $\R^3$ is het falen dramatischer: de paradox van Banach–Tarski ontbindt een bol in vijf stukken die zich, door rotaties en translaties, weer laten samenvoegen tot twee bollen van dezelfde straal — zodat er zelfs geen eindig additief, rotatie-invariant volume op alle deelverzamelingen van $\R^3$ bestaat. De stukken zijn uiteraard niet meetbaar. Meetbaarheid is geen bureaucratische voorzichtigheid; het is de grens van de samenhang.

Methode 9.17

Het principe van de goede verzamelingen: om te bewijzen dat alle verzamelingen van $\sigma(\mathcal E)$ een eigenschap hebben, toon je aan dat de goede verzamelingen een $\sigma$ -algebra vormen (of een $\lambda$ -systeem, als de eigenschap maattheoretisch is en $\mathcal E$ een $\pi$ -systeem — dan Dynkin) die $\mathcal E$ bevat. Bijna elk bewijs in dit hoofdstuk en het volgende is er een geval van. Om twee maten gelijk te bewijzen: controleer ze op een voortbrengend $\pi$ -systeem, plus $\sigma$ -eindigheid (Stelling 9.7). Om een maat te bouwen: bouw met overdekkingen een buitenmaat en roep Carathéodory in.

9.5 Oefeningen

Oefening 9.1 ★

(a) Toon aan dat $\{A \subseteq X : A$ of $X\setminus A$ is aftelbaar $\}$ een $\sigma$ -algebra is: die voortgebracht door de singletons. (b) Toon aan dat $\mathcal B(\R)$ wordt voortgebracht door elk van: de open intervallen; de gesloten intervallen; de halfrechten $\intoc{-\infty}a$ ; en de halfrechten met $a \in \Q$ . (c) Is de familie van de eindige disjuncte verenigingen van intervallen $\intoc ab$ een $\sigma$ -algebra? Een algebra (gesloten onder complementvorming en eindige verenigingen)?

Oplossing

Oplossing van Oefening 9.1.

(a) Complementvorming verwisselt de twee definiërende gevallen. Een aftelbare vereniging van aftelbare verzamelingen is aftelbaar; en is één lid co-aftelbaar, dan is de vereniging co-aftelbaar: de geslotenheid geldt dus. Ze bevat de singletons, en elke $\sigma$ -algebra die die bevat, bevat alle aftelbare verzamelingen (aftelbare verenigingen) en hun complementen: ze is dus $\sigma(\{\text{singletons}\})$ .

(b) Schrijf $\mathcal B = \sigma(\text{open verzamelingen})$ . Elke open deelverzameling van $\R$ is een aftelbare vereniging van open intervallen met rationale eindpunten (kies rond elk rationaal punt van de open verzameling een interval met rationale straal erbinnen), dus liggen de open verzamelingen in $\sigma(\text{open intervallen}) \subseteq \sigma(\text{rationale gegevens})$ . Omzettingen: $\intoo ab = \bigcup_n\intcc{a + \frac1n}{b - \frac1n}$ ; $\intcc ab = \bigcap_n \intoo{a - \frac1n}{b + \frac1n}$ ; $\intoc{-\infty}a = \bigcap_n \intoo{-\infty}{a + \frac1n}$ en omgekeerd $\intoo ab = \intoo{-\infty}b \setminus \intoc{-\infty}a$ ; en voor de rationale halfrechten: $\intoc{-\infty}a = \bigcap_{q \in \Q,\, q > a}\intoc{-\infty}q$ . Elke familie brengt de andere voort met aftelbare bewerkingen: alle vier brengen $\mathcal B$ voort.

(c) Met alleen eindige eindpunten is de familie zelfs geen algebra: het complement van $\intoc01$ bevat onbegrensde halfrechten. Laten we ook oneindige eindpunten toe ( $\intoc{-\infty}b$ , $\intoo a{+\infty}$ ), dan wordt het een algebra (complementen en eindige verenigingen van zulke verenigingen zijn weer zo), maar geen $\sigma$ -algebra: $\{0\} = \bigcap_n\intoc{-\frac1n}0$ is geen eindige vereniging van niet-ontaarde intervallen.

Oefening 9.2 ★

(a) Bewijs de in-en-uitsluiting voor een eindige maat: $\mu(A\cup B) = \mu(A) + \mu(B) - \mu(A\cap B)$ , en de versie met drie verzamelingen. (b) Geef een voorbeeld dat laat zien dat de continuïteit van boven (Propositie 9.6(d)) zonder de eindigheidsveronderstelling faalt. (c) Toon aan dat een aftelbare verzameling lebesguemaat nul heeft. Leid af dat $\lambda(\Q) = 0$ en $\lambda(\intcc01\setminus\Q) = 1$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 9.2.

(a) $A \cup B = A \sqcup (B \setminus (A\cap B))$ , dus $\mu(A\cup B) = \mu(A) + \mu(B) - \mu(A\cap B)$ (de eindigheid staat het aftrekken toe). Met drie verzamelingen: pas de formule voor twee tweemaal toe,

\mu(A\cup B\cup C) = \sum\mu(A) - \sum\mu(A\cap B) + \mu(A\cap B\cap C)

(sommen over de voor de hand liggende indexverzamelingen).

(b) Voor de lebesguemaat is $A_n = [n, +\infty) \downarrow \varnothing$ , terwijl $\lambda(A_n) = \infty \not\to 0$ .

(c) Een punt ligt in een interval van lengte $\varepsilon$ : dus $\lambda(\{x\}) = 0$ ; en de aftelbare subadditiviteit doodt de aftelbare verzamelingen. Bijgevolg is $\lambda(\Q \cap \intcc01) = 0$ en, wegens de additiviteit, $\lambda(\intcc01\setminus\Q) = 1$ : de irrationale getallen dragen de hele lengte.

Oefening 9.3 ★★

Zij $\mu, \nu$ kansmaten op $\mathcal B(\R)$ met $\mu(\intoc{-\infty}t) = \nu(\intoc{-\infty}t)$ voor alle $t \in \R$ . Toon aan dat $\mu = \nu$ . (Daarmee is de verdelingsfunctie $F(t) = \mu(\intoc{-\infty}t)$ een volledige invariant — de grondslag van Hoofdstuk 22.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 9.3.

De halfrechten $\intoc{-\infty}t$ vormen een $\pi$ -systeem (de doorsnede van twee is de kleinste) dat $\mathcal B(\R)$ voortbrengt (Oefening 9.1). De verzamelingen $P_k = \intoc{-\infty}k$ stijgen naar $\R$ met $\mu(P_k) \leq 1 < \infty$ : Stelling 9.7 is van toepassing, en $\mu = \nu$ op $\mathcal B(\R)$ . De verdelingsfunctie legt de maat dus vast.

Oefening 9.4 ★★

(Borel–Cantelli, maatversie) Zij $(A_n)$ meetbaar met $\sum_n\mu(A_n) < \infty$ , en $\limsup A_n = \bigcap_N\bigcup_{n\geq N}A_n$ (de punten die tot oneindig veel $A_n$ behoren). Toon aan dat $\mu(\limsup A_n) = 0$ . Toepassing: voor bijna elke $x \in \intcc01$ voldoen slechts eindig veel $n$ aan $\abs{x - p/q_n} \leq 4^{-n}$ voor het $n$ -de rationale getal $p/q_n$ van een opsomming van $\Q\cap\intcc01$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 9.4.

Voor elke $N$ is $\limsup A_n \subseteq \bigcup_{n \geq N}A_n$ , dus $\mu(\limsup A_n) \leq \sum_{n\geq N}\mu(A_n)$ , de staart van een convergente reeks: laat $N \to \infty$ gaan. Toepassing: met $A_n = \{x \in \intcc01 : \abs{x - r_n} \leq 4^{-n}\}$ (met $r_n$ het $n$ -de rationale getal) is $\lambda(A_n) \leq 2\cdot4^{-n}$ sommeerbaar: dus $\lambda(\limsup A_n) = 0$ , dat wil zeggen bijna elke $x$ behoort tot slechts eindig veel $A_n$ . (En toch is elke $x$ een limiet van rationale getallen: het gaat om de snelheid $4^{-n}$ .)

Oefening 9.5 ★★

(Dikke cantorverzameling) Herhaal de cantorconstructie op $\intcc01$ , maar haal in stap $n$ uit elk van de $2^{n-1}$ intervallen slechts een gecentreerd open interval van lengte $4^{-n}$ weg. Toon aan dat de resulterende $K = \bigcap K_n$ compact is, een leeg inwendige heeft (geen enkel interval overleeft) en

\lambda(K) = 1 - \sum_{n\geq1}2^{n-1}4^{-n} = \tfrac12 :

een nergens dichte verzameling van maat $\frac12$ . Leid daaruit een magere deelverzameling van $\intcc01$ van volle maat $1$ af, en een open dichte deelverzameling van maat $< \varepsilon$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 9.5.

$K = \bigcap K_n$ is een doorsnede van eindige verenigingen gesloten intervallen: compact. In stap $n$ blijven $2^n$ intervallen van gemeenschappelijke lengte $\ell_n \leq 2^{-n}$ over (elke stap halveert en krimpt); een interval $I \subseteq K$ zou voor elke $n$ binnen één interval van stap $n$ moeten liggen, wat $\ell(I) = 0$ afdwingt: leeg inwendige. De weggehaalde maat is $\sum_{n\geq1}2^{n-1}\cdot 4^{-n} = \frac12\sum_{n\geq1}2^{-n} = \frac12$ , en alle weghalingen zijn disjuncte open intervallen: $\lambda(K) = \frac12$ .

Variant: gecentreerde intervallen van lengte $\varepsilon 4^{-n}$ weghalen laat een nergens dichte compacte $K^{(\varepsilon)}$ van maat $1 - \frac\varepsilon2$ over. Dan is $\bigcup_m K^{(1/m)}$ mager (aftelbare vereniging van nergens dichte verzamelingen) met maat $\geq \sup_m(1 - \frac1{2m}) = 1$ : een magere verzameling van volle maat — en haar complement in $\intoo01$ is een dichte $G_\delta$ van maat $0$ (topologisch dik, metrisch nul). Het complement van $K^{(\varepsilon)}$ in $\intoo01$ is open, dicht en van maat $\frac\varepsilon2 < \varepsilon$ .

Oefening 9.6 ★★

Zij $\mu$ een maat op $\mathcal B(\R)$ , invariant onder translaties, met $c = \mu(\intoc01) < \infty$ . Toon aan dat $\mu = c\,\lambda$ op $\mathcal B(\R)$ . (Bereken $\mu$ op dyadische intervallen door $\intoc01$ in $2^n$ translaten te verdelen, en roep dan Stelling 9.7 in.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 9.6.

Snijd $\intoc01$ in $2^n$ translaten van $\intoc0{2^{-n}}$ : dan is $c = 2^n\,\mu(\intoc0{2^{-n}})$ , dus $\mu(\intoc0{2^{-n}}) = c\,2^{-n} = c\,\lambda(\intoc0{2^{-n}})$ . Met de translatie-invariantie en de additiviteit is $\mu = c\lambda$ op elk interval $\intoc ab$ waarvan $b - a$ een dyadisch rationaal getal is, voor elke $a$ ; en een algemene $\intoc ab$ is een stijgende vereniging van zulke ( $b_k \uparrow b$ in dyadische stappen vanaf $a$ ), zodat de continuïteit van onderen de gelijkheid uitbreidt. De intervallen $\intoc ab$ vormen een $\pi$ -systeem dat $\mathcal B(\R)$ voortbrengt, met $\intoc{-k}k \uparrow \R$ van eindige maat ( $\mu(\intoc{-k}k) = 2kc$ ): Stelling 9.7 geeft $\mu = c\lambda$ op $\mathcal B(\R)$ .

Oefening 9.7 ★★

(Benadering) Zij $A \in \mathcal L$ met $\lambda(A) < \infty$ en $\varepsilon > 0$ . Toon aan dat er een eindige vereniging van intervallen $B$ is met $\lambda(A\,\triangle\,B) < \varepsilon$ ( $\triangle$ is het symmetrische verschil). (Regulariteit: klem $K \subseteq A \subseteq U$ in en gebruik de structuur van de open $U$ als aftelbare vereniging van intervallen, plus de compactheid van $K$ .)

Oplossing

Oplossing van Oefening 9.7.

Kies met de regulariteit (Stelling 9.13) $K \subseteq A \subseteq U$ met $K$ compact en $U$ open, en $\lambda(U\setminus K) < \varepsilon$ (beide benaderingen tot op $\varepsilon/2$ , en $\lambda(U \setminus K) = \lambda(U\setminus A) + \lambda(A \setminus K)$ ). Schrijf $U$ als aftelbare disjuncte vereniging van open intervallen $(I_n)$ (de componenten van de open verzameling); de compacte $K$ wordt door eindig veel overdekt: $K \subseteq B = I_1\cup\dots\cup I_N \subseteq U$ . Dan is $A \setminus B \subseteq A\setminus K \subseteq U\setminus K$ en $B \setminus A \subseteq U \setminus A \subseteq U\setminus K$ : dus $\lambda(A\,\triangle\,B) \leq 2\lambda(U\setminus K)$ — begin bij $\varepsilon/2$ om onder $\varepsilon$ uit te komen.

Oefening 9.8 ★★★

(Steinhaus) Zij $A \in \mathcal L$ met $\lambda(A) > 0$ . Toon aan dat $A - A = \{x - y : x, y \in A\}$ een interval rond $0$ bevat. (Herleid tot $\lambda(A) < \infty$ ; vind met regulariteit in de trant van Oefening 9.7 een interval $I$ met $\lambda(A \cap I) > \frac34\ell(I)$ ; dan liggen voor $\abs t < \frac12\ell(I)$ de verzamelingen $A\cap I$ en $(A\cap I) + t$ beide in een interval van lengte $\frac32\ell(I)$ met totale maat $> \frac32\ell(I)$ : ze moeten elkaar snijden.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 9.8.

Vervang $A$ door $A \cap [-M, M]$ met positieve maat (een zekere $M$ voldoet, wegens de continuïteit van onderen) en neem dus $0 < \lambda(A) < \infty$ . Neem $U \supseteq A$ open met $\lambda(U) < \frac43\lambda(A)$ en ontbind $U = \bigsqcup_nI_n$ in disjuncte open intervallen: dan is $\lambda(A) = \sum_n\lambda(A\cap I_n)$ . Was voor elke $n$ $\lambda(A\cap I_n) \leq \frac34\ell(I_n)$ , dan gaf sommeren $\lambda(A) \leq \frac34\lambda(U) < \lambda(A)$ : er is dus een interval $I$ met $\lambda(A\cap I) > \frac34\ell(I)$ . Stel $B = A \cap I$ en zij $\abs t < \frac12\ell(I)$ : dan liggen $B$ en $B + t$ beide in het interval $I \cup (I + t)$ , van lengte $< \frac32\ell(I)$ . Waren ze disjunct, dan zou $\lambda(B) + \lambda(B + t) = 2\lambda(B) > \frac32\ell(I)$ de maat van dat omvattende interval overschrijden — onmogelijk. Dus $B \cap (B + t) \neq \varnothing$ : een zekere $x \in B$ schrijft zich als $x = y + t$ met $y \in B$ , en $t = x - y \in A - A$ . Bijgevolg is $\intoo{-\frac{\ell(I)}2}{\frac{\ell(I)}2} \subseteq A - A$ .

Oefening 9.9 ★★★

Toon aan dat elke $A \in \mathcal L$ met $\lambda(A) > 0$ een niet-meetbare deelverzameling bevat. (Snijd $A$ met de translaten $V + q$ van de verzameling van Vitali: waren alle $A \cap (V+q)$ meetbaar, dan was elk van hen een nulverzameling volgens het argument van Stelling 9.15 — Steinhaus (Oefening 9.8) helpt: een meetbare verzameling van positieve maat binnen $V + q$ zou geven dat $(V+q) - (V+q)$ een interval bevat, in strijd met het feit dat die verschilverzameling $\Q$ alleen in $0$ snijdt; besluit met de subadditiviteit.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 9.9.

De translaten $(V + q)_{q\in\Q}$ van Vitali delen $\R$ op (elk reëel getal is met precies één representant equivalent). Stel dat alle verzamelingen $B_q = A \cap (V + q)$ meetbaar waren. Twee elementen van $V + q$ verschillen een irrationaal getal of niets (twee verschillende representanten zijn niet equivalent), dus snijdt $B_q - B_q$ de verzameling $\Q$ alleen in $\{0\}$ : ze bevat geen interval, en Steinhaus (Oefening 9.8) dwingt $\lambda(B_q) = 0$ af. Dan is $\lambda(A) \leq \sum_{q}\lambda(B_q) = 0$ , in strijd met $\lambda(A) > 0$ . Een zekere $B_q \subseteq A$ is dus niet meetbaar.

Oefening 9.10 ★★

Toon aan dat een $A \subseteq \R$ met $\lambda^*(A) < \infty$ lebesgue-meetbaar is dan en slechts dan als er voor elke $\varepsilon > 0$ een open $U \supseteq A$ is met $\lambda^*(U \setminus A) < \varepsilon$ , en dan en slechts dan als er een $G_\delta$ -verzameling $G \supseteq A$ is met $\lambda^*(G\setminus A) = 0$ . (Lebesgueverzamelingen zijn dus borelverzamelingen op nulverzamelingen na.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 9.10.

Meetbaar $\Rightarrow$ $\varepsilon$ -benadering: kies met de uitwendige regulariteit (Stelling 9.13) een open $U \supseteq A$ met $\lambda(U) \leq \lambda(A) + \varepsilon$ ; de meetbaarheid staat het aftrekken toe: $\lambda(U\setminus A) = \lambda(U) - \lambda(A) \leq \varepsilon$ . $\varepsilon$ -versie $\Rightarrow$ $G_\delta$ -versie: neem $U_n$ met $\lambda^*(U_n\setminus A) < \frac1n$ en $G = \bigcap U_n$ : een $G_\delta$ met $\lambda^*(G\setminus A) \leq \lambda^*(U_n\setminus A) \to 0$ . $G_\delta$ -versie $\Rightarrow$ meetbaar: $G\setminus A$ is $\lambda^*$ -nul en dus meetbaar wegens de volledigheid (Stelling 9.9), en $A = G \setminus (G\setminus A)$ is meetbaar ( $G$ is een borelverzameling). Lebesgueverzamelingen zijn dus precies “borel op nulverzamelingen na”.

Oefening 9.11 ★★

(Continuïteit langs monotone limieten, en de scherpte ervan) (a) Toon aan dat voor meetbare verzamelingen $\mu(\liminf A_n) \leq \liminf\mu(A_n)$ (Fatou voor verzamelingen), en dat, als $\mu\bigl(\bigcup A_n\bigr) < \infty$ , ook $\limsup\mu(A_n) \leq \mu(\limsup A_n)$ . (b) Geef, voor de lebesguemaat op $\R$ , een rij met $\mu(A_n) = 1$ voor alle $n$ en toch $\mu(\limsup A_n) = 0$ : de eindigheidshypothese in de tweede ongelijkheid is geen versiering. (c) Leid af: uit $\sum\mu(A_n) < \infty$ volgt $\mu(\limsup A_n) = 0$ (opnieuw Borel–Cantelli), en als de $A_n$ stijgen of dalen (met $\mu(A_1) < \infty$ in het dalende geval), dan is $\mu(\lim A_n) = \lim\mu(A_n)$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 9.11.

(a) $\liminf A_n = \bigcup_N\bigcap_{n\geq N}A_n$ is een stijgende vereniging van de verzamelingen $B_N = \bigcap_{n\geq N}A_n$ , dus is $\mu(\liminf A_n) = \lim_N\mu(B_N)$ (continuïteit van onderen); en $\mu(B_N) \leq \inf_{n \geq N}\mu(A_n)$ , waarvan de limiet $\liminf\mu(A_n)$ is. Voor de $\limsup$ : pas hetzelfde toe op de complementen binnen de omgeving $U = \bigcup A_n$ van eindige maat — de continuïteit van boven op de dalende $C_N = \bigcup_{n\geq N}A_n$ vergt $\mu(C_1) \leq \mu(U) < \infty$ , en geeft $\mu(\limsup A_n) = \lim\mu(C_N) \geq \limsup\mu(A_n)$ .

(b) Het bewegende interval $A_n = \intcc n{n+1}$ : elk punt behoort tot hoogstens twee van de $A_n$ en uiteindelijk tot geen enkele, dus $\limsup A_n = \varnothing$ ; en toch is $\mu(A_n) = 1$ . Bijgevolg is $\limsup\mu(A_n) = 1 > 0 = \mu(\limsup A_n)$ : zonder omhulsel van eindige maat faalt de tweede ongelijkheid van (a) — de massa ontsnapt naar oneindig, waar geen vaste verzameling haar kan vangen.

(c) Is $\sum\mu(A_n) < \infty$ , dan is $\mu(C_N) \leq \sum_{n\geq N}\mu(A_n) \to 0$ en heeft $\limsup A_n = \bigcap C_N$ maat $\leq \inf\mu(C_N) = 0$ . Monotone gevallen: stijgend is de continuïteit van onderen; dalend met $\mu(A_1) < \infty$ is die van boven — beide bewezen bij de basiseigenschappen van Hoofdstuk 9; en het tegenvoorbeeld $A_n = \intco n\infty$ (dalend naar $\varnothing$ met $\mu \equiv \infty$ ) laat zien dat de eindigheid opnieuw wezenlijk is.

Oefening 9.12 ★★★

(Stelling van Egorov) Zij $\mu(X) < \infty$ en $f_n \to f$ puntsgewijs, alle meetbaar (reëelwaardig). Stel voor $k, N \geq 1$

E_{k,N} = \bigcap_{n \geq N}\Bigl\{x : \abs{f_n(x) - f(x)} \leq \tfrac1k\Bigr\} .

(a) Toon aan dat voor vaste $k$ geldt $E_{k,N} \nearrow X$ als $N \to \infty$ , en leid een $N_k$ af met $\mu(X \setminus E_{k,N_k}) \leq \varepsilon2^{-k}$ . (b) Besluit de stelling van Egorov: voor elke $\varepsilon > 0$ is er een meetbare $A$ met $\mu(X\setminus A) \leq \varepsilon$ zodanig dat $f_n \to f$ uniform op $A$ — puntsgewijze convergentie is uniforme convergentie buiten een willekeurig kleine verzameling. (c) Toon aan dat de stelling faalt op $(\R, \lambda)$ : de bewegende bulten $f_n = \mathbf 1_{\intcc n{n+1}}$ convergeren puntsgewijs naar $0$ maar op geen enkel complement van een verzameling van eindige maat uniform. Waar gebruikte (a) dat $\mu(X) < \infty$ ?

Oplossing

Oplossing van Oefening 9.12.

(a) De verzamelingen $E_{k,N}$ stijgen met $N$ (minder voorwaarden), en elke $x$ voldoet vanaf zeker moment aan $\abs{f_n(x) - f(x)} \leq \frac1k$ voor alle $n \geq N(x)$ (puntsgewijze convergentie): dus $\bigcup_NE_{k,N} = X$ . Continuïteit van onderen: $\mu(E_{k,N}) \to \mu(X) < \infty$ , zodat $\mu(X\setminus E_{k,N}) \to 0$ ; kies $N_k$ dienovereenkomstig.

(b) Zij $A = \bigcap_kE_{k,N_k}$ : dan is $\mu(X\setminus A) \leq \sum_k\varepsilon2^{-k} = \varepsilon$ . Op $A$ geldt voor elke $k$ en alle $n \geq N_k$ dat $\sup_A\abs{f_n - f} \leq \frac1k$ — precies de uniforme convergentie op $A$ .

(c) Voor de bewegende bult vergt uniforme convergentie op $A$ dat $A$ vanaf zeker moment elke $\intcc n{n+1}$ mijdt — preciezer dwingt $\sup_A\abs{f_n} < \frac12$ af dat $A \cap \intcc n{n+1}$ voor grote $n$ leeg is, zodat $X \setminus A$ een staart $\bigcup_{n\geq n_0}\intcc n{n+1}$ bevat, van oneindige maat. In (a) zette de eindigheid “ $E_{k,N}\nearrow X$ ” om in “de maten van de complementen gaan naar $0$ ”: de continuïteit van boven heeft een eindig begin nodig, en op ruimten van oneindige maat is juist de ontsnapping naar oneindig wat ze niet kan zien.

9.6 Probleem: de cantortrap en een meetbare verzameling die geen borelverzameling is

De cantortrap van Cantor en Vitali: constant op elk gat van de cantorverzameling, en toch continu klimmend van 0 naar 1. Haar afgeleide verdwijnt bijna overal — al het klimmen gebeurt op een nulverzameling. — De cantortrap van Cantor en Vitali: constant op elk gat van de cantorverzameling, en toch continu klimmend van $0$ naar $1$ . Haar afgeleide verdwijnt bijna overal — al het klimmen gebeurt op een nulverzameling.

Probleem 9.1

Weekendopgave — de duivelstrap, en $\mathcal B(\R) \subsetneq \mathcal L$

We construeren de functie van Cantor en Vitali (de duivelstrap), gebruiken haar om maat op pathologische wijze te vervoeren, en besluiten met een stelling die geen zacht argument oplevert: er bestaan lebesgue-meetbare verzamelingen die geen borelverzameling zijn. Notatie: $C$ is de cantorverzameling, $C_n$ haar $n$ -de stadium ( $2^n$ intervallen van lengte $3^{-n}$ ), en elke $x \in C$ heeft ternaire cijfers $x = \sum 2b_n3^{-n}$ met $b_n \in \{0,1\}$ (Oefening 6.10).

Deel I — De trap. Definieer $c_0(x) = x$ en $c_{n+1}$ uit $c_n$ door

c_{n+1}(x) = \begin{cases} \tfrac12\,c_n(3x) & 0 \leq x \leq \tfrac13,\\[2pt] \tfrac12 & \tfrac13 \leq x \leq \tfrac23,\\[2pt] \tfrac12 + \tfrac12\,c_n(3x - 2) & \tfrac23 \leq x \leq 1. \end{cases}

Toon aan dat elke $c_n$ continu en niet-dalend is met $c_n(0) = 0$ en $c_n(1) = 1$ , en dat $\norm{c_{n+1} - c_n}_\infty \leq \tfrac12\norm{c_n - c_{n-1}}_\infty$ .
Leid af dat $(c_n)$ uniform convergeert naar een continue, niet-dalende $c$ met $c(0) = 0$ en $c(1) = 1$ (de functie van Cantor en Vitali), die aan dezelfde zelfgelijkvormige betrekkingen voldoet als de $c_{n+1}$ hierboven.
Toon aan dat $c$ constant is op elke samenhangscomponent van $\intcc01\setminus C$ , en dat voor $x = \sum_n 2b_n3^{-n} \in C$ geldt $c(x) = \sum_n b_n2^{-n}$ : de trap leest cantorcijfers binair (de functie $g$ van Probleem 6.1, monotoon en globaal gemaakt).
Leid af dat $c$ in elk punt van $\intcc01\setminus C$ differentieerbaar is met $c' = 0$ : dus $c' = 0$ $\lambda$ -bijna overal (Voorbeeld 9.14). Besluit dat de hoofdstelling van de integraalrekening voor $c$ faalt:

$c(1) - c(0) = 1 \neq 0 = \int_0^1 c'(t)\,\dd t$

(de integraal over de verzameling van volle maat waar $c' = 0$ ; vooruitlopend op Hoofdstuk 10: nulverzamelingen beïnvloeden integralen niet). Welke hypothese van de $\mathcal C^1$ -hoofdstelling wordt geschonden?
Toon aan dat $c(C) = \intcc01$ : de nulverzameling $C$ wordt op een verzameling van volle maat afgebeeld.

Deel II — Het scheve homeomorfisme. Zij $h(x) = \frac{c(x) + x}{2}$ .

Toon aan dat $h \colon \intcc01 \to \intcc01$ een homeomorfisme is (strikt stijgend, continu, surjectief).
Toon aan dat $\lambda\bigl(h(\intcc01\setminus C)\bigr) = \tfrac12$ : op elk gat van lengte $\ell$ werkt $h$ als een affiene afbeelding met helling $\tfrac12$ , en de gaten hebben samen lengte $1$ .
Leid af dat $\lambda\bigl(h(C)\bigr) = \tfrac12$ : het homeomorfe beeld van een nulverzameling kan positieve maat hebben. (Waar botst dat met de naïeve intuïtie over “grootte”?)

Deel III — Een meetbare verzameling die geen borelverzameling is.

Kies met Oefening 9.9 een niet-meetbare $W \subseteq h(C)$ . Toon aan dat $Z = h^{-1}(W) \subseteq C$ lebesgue-meetbaar is. (Het is een deelverzameling van een nulverzameling; volledigheid, Stelling 9.9.)
Toon aan dat het origineel van een borelverzameling onder een continue afbeelding een borelverzameling is. (Principe van de goede verzamelingen: $\{B : h^{-1}(B) \in \mathcal B\}$ is een $\sigma$ -algebra die de open verzamelingen bevat — let op de richting van de afbeelding.)
Besluit dat $Z$ geen borelverzameling is: was ze het, dan was $W = (h^{-1})^{-1}(Z)$ er een (pas vraag 10 toe op de continue $h^{-1}$ ) en dus meetbaar — tegenspraak. Bijgevolg is

$\boxed{\ \mathcal B(\R) \subsetneq \mathcal L\ }$

en vergroot de volledigheid de borelwereld werkelijk.
Geef een lebesgue-meetbare functie $g$ en een continue functie $\varphi$ zodanig dat $g \circ \varphi$ niet lebesgue-meetbaar is: meetbaarheid stelt zich, anders dan continuïteit, niet samen. (Neem $g = \mathbf 1_Z$ en $\varphi = h^{-1}$ , vooruitlopend op de definitie van meetbare functies uit Hoofdstuk 10: originelen van borelverzamelingen zijn lebesgueverzamelingen. Waar moet je oppassen met de vraag welke $\sigma$ -algebra op het doel wordt gebruikt?)

Deel IV — Slotwoord.

Orden de volgende klassen naar strikte inclusie en verantwoord elke striktheid met een voorbeeld uit dit hoofdstuk en zijn probleem: aftelbare verzamelingen; borelnulverzamelingen; lebesguenulverzamelingen; borelverzamelingen; lebesgueverzamelingen; willekeurige verzamelingen.

Deel V — De cantormaat: massa op een nulverzameling. De trap is de verdelingsfunctie van een opmerkelijke maat, die we nu met het gereedschap van dit hoofdstuk bouwen.

(Lebesgue–Stieltjes, bestaan) Zij $F\colon\R\to\R$ niet-dalend, continu en begrensd. Definieer op halfopen intervallen $\rho\bigl(\intoc ab\bigr) = F(b) - F(a)$ en, voor $A \subseteq \R$ ,

$\mu_F^*(A) = \inf\Bigl\{\sum_k\bigl(F(b_k) - F(a_k)\bigr) : A \subseteq \bigcup_k\intoc{a_k}{b_k}\Bigr\} .$

Toon aan dat $\mu_F^*$ een buitenmaat is en dat $\mu_F^*\bigl(\intoc ab\bigr) = F(b) - F(a)$ (boots het compactheidsargument van Stelling 9.12 na, waarbij je elke $\intoc{a_k}{b_k}$ tot een open interval vergroot tegen een $F$ -kost $\leq \varepsilon2^{-k}$ — waar wordt de continuïteit van $F$ gebruikt?).
Toon aan dat elke borelverzameling $\mu_F^*$ -meetbaar is in de zin van Carathéodory (net als bij Lebesgue volstaat het de halfrechten te toetsen; volg het bewijs van de toepassing van Stelling 9.9), zodat $\mu_F = \mu_F^*$ beperkt tot $\mathcal B(\R)$ een maat is met $\mu_F(\intoc ab) = F(b) - F(a)$ : de Lebesgue–Stieltjes-maat van $F$ .
Pas dit toe op de trap ( $F = c$ , voortgezet met $0$ op $\R_-$ en $1$ op $\intco1\infty$ ): de cantormaat $\mu$ . Toon aan dat $\mu(\R) = 1$ , dat elk gat van de cantorverzameling $\mu$ -nul is ( $c$ is daar constant), en besluit

$\mu(C) = 1, \qquad \lambda(C) = 0 :$

$\mu$ en $\lambda$ leven op disjuncte dragers ( $C$ en haar complement). Twee maten in die positie heten onderling singulier, genoteerd $\mu \perp \lambda$ .
Toon aan dat $\mu$ geen atomen heeft: $\mu(\{x\}) = 0$ voor elke $x$ (de continuïteit van $c$ ). Een atoomloze kansmaat gedragen door een lebesgue-nulle compacte verzameling: vergelijk met de tot nu toe geziene maten.
(Munten gooien in vermomming) Zij voor een woord $(\varepsilon_1, \dots, \varepsilon_m) \in \{0,1\}^m$ de verzameling $C_{\varepsilon}$ die van de $x \in C$ waarvan de ternaire cijfers voldoen aan $b_i(x) = \varepsilon_i$ voor $i \leq m$ (een van de $2^m$ cantorstukken van diepte $m$ ). Toon aan dat $\mu(C_\varepsilon) = 2^{-m}$ (de trap klimt $2^{-m}$ over dat stuk: gebruik Deel I, vraag 3). De cantormaat is de wet van een oneindige rij eerlijke muntworpen, ternair gelezen — Hoofdstuk 22 zal dat precies maken.
Bewijs de zelfgelijkvormigheid: voor elke borelverzameling $A$ is

$\mu(A) = \tfrac12\,\mu(3A) + \tfrac12\,\mu(3A - 2) ,$

waarbij $3A - 2 = \{3x - 2 : x \in A\}$ (controleer het op de voortbrengende intervallen $\intoc ab$ via de zelfgelijkvormige betrekkingen van $c$ , en roep dan de eenduidigheid in, Stelling 9.7).
Toon aan dat de spiegeling $s(x) = 1 - x$ de maat $\mu$ bewaart: $\mu(s(A)) = \mu(A)$ (via $c(1 - x) = 1 - c(x)$ , wat uit de symmetrie van de constructie volgt — bewijs dat).
Bereken de eerste twee momenten van $\mu$ , dat wil zeggen van een toevallig punt $X$ met wet $\mu$ (de integralen mogen als limieten van sommen over de stukken van diepte $m$ behandeld worden, vooruitlopend op Hoofdstuk 10): de symmetrie geeft $\int x\,\dd\mu = \frac12$ , en de zelfgelijkvormigheid geeft

$\int x^2\,\dd\mu = \frac38, \qquad\text{en dus}\qquad \operatorname{Var}(X) = \frac18 .$

Vergelijk met de uniforme wet op $\intcc01$ (variantie $\frac1{12}$ ): de cantormassa, naar de randen geduwd, spreidt meer.
Toon aan dat de (topologische) drager van $\mu$ — de kleinste gesloten verzameling van volle maat — precies $C$ is.
(Synthese) De trap $c$ is continu en niet-dalend en faalt toch voor de hoofdstelling van de integraalrekening (Deel I); en de maat $\mu_c$ is een kansmaat, atoomloos, singulier ten opzichte van $\lambda$ . Leg in een korte alinea uit hoe dat twee gezichten van één verschijnsel zijn, en formuleer de algemene moraal: niet-dalende functies corresponderen met maten ( $F \leftrightarrow \mu_F$ ), differentieerbaarheid bijna overal correspondeert met het “absoluut continue deel”, en $c$ is de standaardgetuige dat een continue $F$ helemaal geen absoluut continu deel hoeft te dragen.
(De scherpe continuïteitsmodulus) Zij $s = \frac{\ln 2}{\ln 3}$ . Toon aan dat $c$ hölder continu is met exponent $s$ :

$\abs{c(x) - c(y)} \leq 4\,\abs{x - y}^{s} \qquad (x, y \in \intcc01),$

en dat geen enkele exponent $t > s$ kan werken, ook niet lokaal. Leid de maattheoretische vorm af: voor elke $x$ en elke $r \in \intoc01$ is

$\mu\bigl(\intcc{x - r}{x + r}\bigr) \leq 8\,r^{s} .$

(Vergelijk een triadisch rooster van diepte $m$ met de schaal van $\abs{x - y}$ ; vraag 18 geeft de klim over elk stuk. De exponent $s$ is de hausdorffdimensie van $C$ , zoals latere cursussen zullen zeggen.)
(Zelfgelijkvormigheid kenmerkt $\mu$ ) Bewijs de omkering van vraag 19: is $\nu$ een kansmaat op $\mathcal B(\R)$ gedragen door $\intcc01$ die voldoet aan

$\nu(A) = \tfrac12\,\nu(3A) + \tfrac12\,\nu(3A - 2) \qquad (A \in \mathcal B(\R)),$

dan is $\nu = \mu$ . (Herhaal de betrekking $m$ maal om $\nu$ over de $2^m$ cantorstukken van diepte $m$ te spreiden, schat $\nu(\intoc ab)$ af tegen het aantal stukken binnen $\intoc ab$ , en laat $m \to \infty$ gaan; maak het af met Stelling 9.7.)

Oplossing

Oplossing van Probleem 9.1.

1. Inductie. Continuïteit: de drie formules komen in de aansluitpunten overeen ( $\frac12c_n(1) = \frac12$ en $\frac12 + \frac12c_n(0) = \frac12$ ); en elk stuk is continu. De monotonie en de randwaarden worden geërfd. Voor de contractieschatting: op $[0,\frac13]$ is $\abs{c_{n+1} - c_n}(x) = \frac12\abs{c_n - c_{n-1}}(3x) \leq \frac12\norm{c_n - c_{n-1}}_\infty$ ; op het middelste derde is het verschil $0$ ; en op het rechterderde net als op het linker.

2. $\norm{c_{n+1} - c_n}_\infty \leq 2^{-n}\norm{c_1 - c_0}_\infty$ : de reeks van de aangroeiingen convergeert uniform, dus $c_n \to c$ uniform; $c$ is continu, niet-dalend, $c(0) = 0$ en $c(1) = 1$ (alles blijft onder uniforme limieten behouden), en overgaan tot de limiet in de definiërende recursie laat zien dat $c$ zelf aan de drie zelfgelijkvormige identiteiten voldoet.

3. Wegens de middelste identiteit is $c \equiv \frac12$ op $\intcc{\frac13}{\frac23}$ , het eerste gat. Elk gat van $C$ is het beeld van dat eerste gat onder een samenstelling van de twee affiene contracties $x \mapsto \frac x3$ en $x\mapsto\frac{x + 2}3$ ; en de identiteiten dragen de constantheid dienovereenkomstig over (met dyadische rationale waarden). Voor de cijferformule: zij $x = \sum_n 2b_n3^{-n} \in C$ ; is $b_1 = 0$ , dan is $x \in [0,\frac13]$ en $c(x) = \frac12c(3x)$ , waarbij $3x$ de cijfers $(b_2, b_3, \dots)$ heeft; is $b_1 = 1$ , dan is $x \in [\frac23, 1]$ en $c(x) = \frac12 + \frac12c(3x - 2)$ , met dezelfde verschuiving. Per inductie zijn de eerste $N$ binaire cijfers van $c(x)$ gelijk aan $b_1, \dots, b_N$ voor elke $N$ : dus $c(x) = \sum_nb_n2^{-n}$ .

4. Buiten $C$ is $c$ lokaal constant: differentieerbaar met afgeleide $0$ . En omdat $\lambda(C) = 0$ (Voorbeeld 9.14), is $c' = 0$ bijna overal. Toch is $c(1) - c(0) = 1$ : de hoofdstelling in haar $\mathcal C^1$ -vorm vergt dat $c$ overal differentieerbaar is met continue (of minstens integreerbare, plus absoluut continue — zie Hoofdstuk 10) afgeleide; $c$ is in de punten van $C$ niet differentieerbaar, en fundamenteler faalt $c$ voor de absolute continuïteit: ze klimt op een nulverzameling.

5. Gegeven $y = \sum_n\beta_n2^{-n} \in \intcc01$ (met $\beta_n \in \{0,1\}$ ) heeft het punt $x = \sum_n2\beta_n3^{-n} \in C$ volgens vraag 3 dat $c(x) = y$ : dus $c(C) = \intcc01$ , een verzameling van maat $1$ — de nulverzameling $C$ draagt via $c$ het hele interval.

6. $h$ is continu en strikt stijgend ( $x$ is dat, $c$ is niet-dalend); $h(0) = 0$ en $h(1) = 1$ , dus is $h$ volgens de tussenwaardestelling een continue bijectie van $\intcc01$ ; en een continue bijectie van een compacte ruimte naar een hausdorffruimte is een homeomorfisme (Gevolg 6.14).

7. Op een gat $(u, v)$ (lengte $\ell$ ) is $c$ constant, dus is $h$ affien met helling $\frac12$ : $h((u,v))$ is een interval van lengte $\frac\ell2$ . De gaten zijn disjunct en $h$ is injectief: de beelden zijn dus disjunct, met totale maat $\frac12\sum\ell = \frac12(1 - \lambda(C)) = \frac12$ .

8. $h(\intcc01) = \intcc01$ en $h(C)$ is compact (continu beeld) en dus meetbaar, met

\lambda\bigl(h(C)\bigr) = 1 - \lambda\bigl(h(\intcc01\setminus C)\bigr) = 1 - \tfrac12 = \tfrac12 .

Een homeomorfisme kan een nulverzameling dus tot maat $\frac12$ opblazen: “topologische grootte” (categorie, dimensie) en “maat” worden door homeomorfismen heel verschillend vervoerd — alleen de eerste is een topologische invariant.

9. $Z = h^{-1}(W) \subseteq h^{-1}(h(C)) = C$ heeft $\lambda^*(Z) \leq \lambda(C) = 0$ : een nulverzameling, en dus lebesgue-meetbaar wegens de volledigheid (Stelling 9.9).

10. Zij $\varphi$ continu en $\mathcal D = \{B : \varphi^{-1}(B) \in \mathcal B\}$ . Originelen verdragen zich met complementen en aftelbare verenigingen, dus is $\mathcal D$ een $\sigma$ -algebra; en ze bevat de open verzamelingen (continuïteit): dus $\mathcal D \supseteq \mathcal B$ — originelen van borelverzamelingen onder continue afbeeldingen zijn borelverzamelingen.

11. Was $Z$ een borelverzameling, pas dan vraag 10 toe op de continue $\varphi = h^{-1}$ : dan was $\varphi^{-1}(Z) = h(Z) = W$ een borelverzameling en dus lebesgue-meetbaar — in strijd met de keuze van $W$ . Dus $Z \in \mathcal L \setminus \mathcal B$ : de $\sigma$ -algebra van Lebesgue bevat die van Borel strikt.

12. $g = \mathbf 1_Z$ is lebesgue-meetbaar ( $Z \in \mathcal L$ ) en $\varphi = h^{-1}$ is continu, maar $(g\circ\varphi)^{-1}(\{1\}) = \varphi^{-1}(Z) = W$ is niet meetbaar: $g \circ \varphi$ is dus niet lebesgue-meetbaar. De vereiste zorgvuldigheid: “lebesgue-meetbare functie” betekent dat originelen van borelverzamelingen in $\mathcal L$ landen; samenstellen vergt dat originelen van lebesgueverzamelingen lebesgueverzamelingen zijn, en dat verschaft continuïteit niet (hier is $\varphi^{-1}(Z) \notin \mathcal L$ , hoewel $\varphi$ een homeomorfisme is).

13. De ketens, met getuigen voor de striktheid:

\{\text{aftelbaar}\} \subsetneq \{\text{borelnul}\} \subsetneq \{\text{lebesguenul}\} \subsetneq \mathcal L \subsetneq \mathcal P(\R), \qquad \{\text{borelnul}\} \subsetneq \mathcal B \subsetneq \mathcal L .

Getuigen: $C$ is borel, nul en overaftelbaar (eerste gat); $Z$ is lebesguenul maar geen borelverzameling (tweede, en binnen $\mathcal B \subsetneq \mathcal L$ het zesde); een dikke cantorverzameling is borel, nergens dicht en van positieve maat (wat de nulverzamelingen van de borelverzamelingen scheidt); en de $V$ van Vitali ligt niet in $\mathcal L$ (het laatste gat). Maat, topologie en kardinaliteit snijden $\mathcal P(\R)$ langs werkelijk verschillende lijnen.

14. Buitenmaat: $\mu_F^*(\varnothing) = 0$ (overdek met een verdwijnend interval), de monotonie is duidelijk, en de aftelbare subadditiviteit volgt door $\varepsilon2^{-k}$ -optimale overdekkingen aaneen te lassen, precies als bij $\lambda^*$ . De overdekking met één interval geeft $\mu_F^*(\intoc ab) \leq F(b) - F(a)$ . Zij omgekeerd $\intoc ab \subseteq \bigcup_k\intoc{a_k}{b_k}$ . Kies wegens de continuïteit van $F$ een $b_k' > b_k$ met $F(b_k') \leq F(b_k) + \varepsilon2^{-k}$ , en een $a' \in \intoo ab$ met $F(a') \leq F(a) + \varepsilon$ . De compacte $\intcc{a'}b$ wordt door de open $\intoo{a_k}{b_k'}$ overdekt: eindig veel volstaan, en het kettingargument van Stelling 9.12 (loop van $a'$ naar $b$ via overlappende intervallen, telescopeer de $F$ -aangroeiingen, en laat de monotonie de overlappingen opslokken) levert $F(b) - F(a') \leq \sum_k(F(b_k') - F(a_k)) \leq \sum_k(F(b_k) - F(a_k)) + \varepsilon$ . Laat $\varepsilon \to 0$ gaan: gelijkheid. (De continuïteit van $F$ is wat het openen van de intervallen tegen willekeurig kleine $F$ -kost toestond.)

15. Het volstaat elke halfrechte $H_t = \intoc{-\infty}t$ meetbaar in de zin van Carathéodory te bewijzen, want de meetbare verzamelingen vormen een $\sigma$ -algebra (Stelling 9.9) en de halfrechten brengen $\mathcal B$ voort. Gegeven $A$ en een $\varepsilon$ -optimale overdekking $(\intoc{a_k}{b_k})$ van $A$ : elk interval splitst als $\intoc{a_k}{t\wedge b_k} \cup \intoc{t \vee a_k}{b_k}$ (één stuk eventueel leeg), waarbij de $F$ -kosten precies optellen tot $F(b_k) - F(a_k)$ ; de eerste stukken overdekken $A \cap H_t$ en de tweede $A \setminus H_t$ . Bijgevolg is $\mu_F^*(A\cap H_t) + \mu_F^*(A\setminus H_t) \leq \mu_F^*(A) + \varepsilon$ , en de omgekeerde ongelijkheid is de subadditiviteit. De resulterende maat tot $\mathcal B$ beperkt is de Lebesgue–Stieltjes-maat $\mu_F$ .

16. $\mu(\R) = \lim_n(F(n) - F(-n)) = 1 - 0 = 1$ (de continuïteit van de maat langs $\intoc{-n}n$ ). Op een gat $\intoo uv$ van $C$ is $c$ constant, dus is elk halfopen deelinterval $\mu$ -nul en daarmee ook het gat (aftelbare vereniging); en buiten $\intcc01$ is $c$ eveneens constant. Bijgevolg is $\mu(\R\setminus C) = 0$ en $\mu(C) = 1$ , terwijl $\lambda(C) = 0$ (Voorbeeld 9.14): elk van $\mu$ en $\lambda$ wordt gedragen door een verzameling die de andere nul noemt — onderling singulier.

17. $\mu(\{x\}) = \lim_{\delta\downarrow0} \mu(\intoc{x-\delta}x) = \lim(c(x) - c(x-\delta)) = 0$ wegens de continuïteit van $c$ : geen atomen. $\mu$ is dus een atoomloze kansmaat gedragen door een lebesgue-nulle compacte verzameling — niet diffuus met dichtheid zoals de beperkingen van $\lambda$ , en niet atomair zoals de telmaten: een derde soort.

18. Het stuk $C_\varepsilon$ overspant een ternair interval $I_\varepsilon$ van lengte $3^{-m}$ , en Deel I, vraag 3 laat zien dat de trap over $I_\varepsilon$ precies $2^{-m}$ klimt (de eerste $m$ binaire cijfers van $c$ liggen op $\varepsilon$ vast, de rest doorloopt alles). Dus is $\mu(C_\varepsilon) = \mu(I_\varepsilon) = c(\text{rechteruiteinde}) - c(\text{linkeruiteinde}) = 2^{-m}$ : alle cijfercilinders van diepte $m$ hebben massa $2^{-m}$ , de wet van $m$ eerlijke munten.

19. Het rechterlid definieert de borelmaat $\nu = \frac12\,(x \mapsto \tfrac x3)_*\mu + \frac12\,(x \mapsto \tfrac{x+2}3)_*\mu$ , geëvalueerd in $A$ — een kansmaat. Puntsgewijs gaat men, met $c$ globaal voortgezet, geval voor geval ( $x \leq 0$ ; de drie derden; $x \geq 1$ ) de identiteit

c(x) = \tfrac12\,c(3x) + \tfrac12\,c(3x - 2)

na, bijvoorbeeld op $\intcc{1/3}{2/3}$ : $\frac12\cdot1 + \frac12\cdot0 = \frac12 = c(x)$ . $\nu$ evalueren op $\intoc ab$ geeft dus $c(b) - c(a) = \mu(\intoc ab)$ , en twee eindige maten die op het $\pi$ -systeem van de halfopen intervallen samenvallen, vallen samen op $\mathcal B$ (Stelling 9.7): $\nu = \mu$ .

20. Inductie naar $n$ : $c_0(1-x) = 1 - c_0(x)$ , en heeft $c_n$ de symmetrie, dan is voor $x \in \intcc0{1/3}$ : $c_{n+1}(1 - x) = \frac12 + \frac12c_n(3(1-x) - 2) = \frac12 + \frac12c_n(1 - 3x) = \frac12 + \frac12(1 - c_n(3x)) = 1 - c_{n+1}(x)$ ; het middelste derde spiegelt om $\frac12$ ; en het rechterderde is het gespiegelde linkergeval. In de limiet is $c(1-x) = 1 - c(x)$ . Beeldmaat: $(s_*\mu)(\intoc ab) = \mu(\intco{1-b}{1-a}) = c(1-a) - c(1-b)$ ( $\mu$ is atoomloos, vraag 17, dus kosten de randconventies niets) $= (1 - c(a)) - (1 - c(b)) = \mu(\intoc ab)$ : dus $s_*\mu = \mu$ wegens de eenduidigheid.

21. Zij $X \sim \mu$ (integralen van continue functies tegen $\mu$ bestaan als limieten van sommen van riemanntype over de stukken van diepte $m$ , elk van massa $2^{-m}$ , met een bemonsteringsfout $\leq \operatorname{osc} \leq \norm{f'}_\infty3^{-m}$ ; Hoofdstuk 10 zal dit systematiseren). Symmetrie: $1 - X \sim X$ , dus $\E X = \frac12$ . Zelfgelijkvormigheid: $X$ heeft met kans $\frac12$ de wet van $\frac Y3$ en met kans $\frac12$ die van $\frac{Y+2}3$ , met $Y \sim \mu$ , zodat

\E X^2 = \frac12\,\frac{\E Y^2}9 + \frac12\, \frac{\E Y^2 + 4\E Y + 4}{9} = \frac{2\E X^2 + 6}{18},

waaruit $\E X^2 = \frac38$ en $\operatorname{Var}X = \frac38 - \frac14 = \frac18$ . De uniforme wet heeft variantie $\frac1{12} < \frac18$ : de cantormassa kruipt tegen de uiteinden aan.

22. $C$ is gesloten en $\mu(C) = 1$ . Snijdt een open $I$ de verzameling $C$ in $x$ , dan krimpen de stukken van diepte $m$ die $x$ bevatten naar $x$ , zodat een zekere $I_\varepsilon \subseteq I$ en $\mu(I) \geq 2^{-m} > 0$ : geen kleinere gesloten verzameling kan $\mu$ dragen. Punten buiten $C$ hebben gatomgevingen van $\mu$ -maat $0$ . Bijgevolg is $\operatorname{supp}\mu = C$ precies.

23. Eén verschijnsel, twee dialecten. Deel I zegt dat de groei van $c$ onzichtbaar is voor haar afgeleide: $c' = 0$ bijna overal, terwijl al het klimmen op de nulverzameling $C$ is geconcentreerd. Deel V zegt dat de bijbehorende maat $\mu_c$ al haar massa op diezelfde nulverzameling legt: $\mu_c \perp \lambda$ , zodat geen dichtheid $f \geq 0$ aan $\mu_c(A) = \int_Af\,\dd\lambda$ kan voldoen — een dichtheid dwingt immers verdwijning op $\lambda$ -nulverzamelingen af. Het woordenboek: niet-dalende begrensde $F \leftrightarrow$ eindige maat $\mu_F$ (vragen 14–15); $F$ een integraal van haar afgeleide $\leftrightarrow$ $\mu_F$ heeft een dichtheid (het “absoluut continue” geval); en in het algemeen vindt $F'$ , dat voor monotone $F$ bijna overal bestaat (de differentiatiestelling van Lebesgue, buiten dit hoofdstuk), alleen het dichtheidsdeel terug. De trap is het uiterste: continu, met afgeleide $0$ bijna overal — haar maat is zuiver singulier, en de hoofdstelling van de integraalrekening faalt niet bij toeval maar precies met het bedrag $\mu_c(\R) = 1$ aan singuliere massa.

24. Leg $x < y$ in $\intcc01$ vast en kies $m \geq 0$ met $3^{-(m+1)} < y - x \leq 3^{-m}$ . Over elk triadisch interval $\intcc{k3^{-m}}{(k+1)3^{-m}}$ klimt de trap hoogstens $2^{-m}$ : zo’n interval is ofwel een van de $2^m$ stukken van $C_m$ , waar de klim precies $2^{-m}$ is (vraag 18), ofwel ligt het in de afsluiting van één gat van een stadium $\leq m$ , waar $c$ constant is. Omdat $y - x \leq 3^{-m}$ , snijdt $\intcc xy$ hoogstens twee opeenvolgende triadische intervallen van diepte $m$ , dus

c(y) - c(x) \leq 2\cdot2^{-m} = 2\bigl(3^{-m}\bigr)^{s} < 2\bigl(3(y - x)\bigr)^{s} = 4\,(y - x)^{s},

met $3^{s} = 2$ en $3^{-m} < 3(y - x)$ . Optimaliteit: de eindpunten $u < v$ van een cantorstuk van diepte $m$ voldoen aan $v - u = 3^{-m}$ en $c(v) - c(u) = 2^{-m} = (v - u)^{s}$ ; een höldergrens $\abs{c(v) - c(u)} \leq K(v - u)^{t}$ met $t > s$ zou $K \geq 2^{-m}3^{mt} = (3^{t}/2)^{m} \to \infty$ afdwingen (want $3^{t} > 3^{s} = 2$ ), en elk deelinterval van $\intcc01$ bevat zulke stukken, zodat het falen ook lokaal is. Maatvorm: $\mu\bigl(\intcc{x-r}{x+r}\bigr) \leq c(x + r) - c(x - r) \leq 4(2r)^{s} = 4\cdot2^{s}r^{s} \leq 8r^{s}$ (met $c$ tot $\R$ voortgezet als in vraag 16; $\mu$ heeft geen atomen, vraag 17).

25. Schrijf $S_0(x) = \frac x3$ en $S_1(x) = \frac{x+2}3$ ; de hypothese zegt $\nu = \frac12(S_0)_*\nu + \frac12(S_1)_*\nu$ . Na $m$ herhalingen:

\nu = 2^{-m}\sum_{w \in \{0,1\}^m}(S_w)_*\nu, \qquad S_w = S_{w_1}\circ\dots\circ S_{w_m}.

Omdat $\nu$ door $\intcc01$ wordt gedragen en $S_w(\intcc01) = I_w$ het cantorstuk van diepte $m$ met index $w$ is, is elke $(S_w)_*\nu$ een kansmaat gedragen door $I_w$ ; en de $2^m$ stukken zijn paarsgewijs disjuncte gesloten intervallen van lengte $3^{-m}$ . Leg $\intoc ab$ vast en zij $N_m$ het aantal stukken $I_w \subseteq \intoc ab$ . Een stuk dat $\intoc ab$ snijdt zonder erin bevat te zijn, moet $a$ of $b$ bevatten, en een punt ligt in hoogstens één stuk, dus

2^{-m}N_m \leq \nu(\intoc ab) \leq 2^{-m}N_m + 2\cdot2^{-m}.

Dezelfde dubbele ongelijkheid geldt voor $\mu$ (vraag 19 geeft dezelfde iteratie), met hetzelfde aantal $N_m$ . Bijgevolg is $\abs{\nu(\intoc ab) - \mu(\intoc ab)} \leq 2^{-m+1} \to 0$ : $\nu$ en $\mu$ vallen samen op het $\pi$ -systeem van de halfopen intervallen, en beide zijn kansmaten, dus geeft Stelling 9.7 dat $\nu = \mu$ . De trapmaat is dus het vaste punt van het middelingsschema met twee afbeeldingen — de uitspraak op maatniveau van de zelfgelijkvormigheid van $C$ .

Begrippen gedefinieerd in dit hoofdstuk

Bekijk alle 395 begrippen in de begrippenlijst

9.1 σ\sigmaσ-algebra’s

9.2 Maten

9.3 Buitenmaten en de stelling van Carathéodory

9.4 De lebesguemaat op R\RR

9.5 Oefeningen

9.6 Probleem: de cantortrap en een meetbare verzameling die geen borelverzameling is

Begrippen gedefinieerd in dit hoofdstuk

9.1 $\sigma$ -algebra’s

9.4 De lebesguemaat op $\R$