Universitaire wiskunde — Bachelor jaar 3 · Bachelor Year 3

9Maattheorie

Hoe lang is een deelverzameling van $\R$ ? Het naïeve antwoord — aan elke verzameling een translatie-invariante lengte toekennen die die van intervallen uitbreidt — is onmogelijk: de constructie van Vitali, aan het eind van dit hoofdstuk, produceert een verzameling zonder consistente lengte. Maattheorie is de gedisciplineerde terugtocht: beperk de aandacht tot een rijke klasse van meetbare verzamelingen, waarop een aftelbaar additieve lengte bestaat en uniek is. De beloning is immens — de integraal van Lebesgue (Hoofdstuk 10), de $L^p$ -ruimten van de functionaalanalyse, en de hele moderne kansrekening (Hoofdstuk 22) rusten op de drie stellingen die hier bewezen worden: het uniciteitslemma van Dynkin, de uitbreidingsstelling van Carathéodory, en het bestaan van de Lebesgue-maat.

9.1 $\sigma$ -algebra’s

Definitie 9.1

Een $\sigma$ -algebra op een verzameling $X$ is een familie $\mathcal A$ van deelverzamelingen die $\varnothing$ bevat, stabiel is onder complement en onder aftelbare unies (vandaar aftelbare doorsnedes, verzamelingsverschillen, en zij bevat $X$ ). Het paar $(X, \mathcal A)$ is een meetbare ruimte; elementen van $\mathcal A$ heten meetbare verzamelingen. Voor een willekeurige familie $\mathcal E$ van deelverzamelingen duidt $\sigma(\mathcal E)$ de kleinste $\sigma$ -algebra aan die $\mathcal E$ bevat (de doorsnede van alle zulke — een doorsnede van $\sigma$ -algebra’s is er een).

Definitie 9.2

De Borel- $\sigma$ -algebra van een topologische ruimte is $\mathcal B(X) = \sigma(\{\text{open verzamelingen}\})$ . Op $\R$ : $\mathcal B(\R)$ wordt ook voortgebracht door de open intervallen, door de gesloten intervallen, door de stralen $(-\infty, a]$ , en door stralen met rationale eindpunten (Oefening 9.1) — elke familie brengt de opens voort via aftelbare operaties, b.v. is elke open verzameling van $\R$ een aftelbare unie van open intervallen met rationale data.

Definitie 9.3

Een $\pi$ -systeem is een familie stabiel onder eindige doorsnedes. Een $\lambda$ -systeem (Dynkin-klasse) is een familie $\mathcal D$ met: $X \in \mathcal D$ ; $A, B \in \mathcal D$ , $A \subseteq B$ $\Rightarrow$ $B \setminus A \in \mathcal D$ ; en $A_n \uparrow A$ , $A_n \in \mathcal D$ $\Rightarrow$ $A \in \mathcal D$ .

Stelling 9.4 (Het $\pi$ – $\lambda$ -lemma van Dynkin)

Als een $\lambda$ -systeem $\mathcal D$ een $\pi$ -systeem $\mathcal P$ bevat, dan $\mathcal D \supseteq \sigma(\mathcal P)$ .

Bewijs. Zij $\mathcal D_0$ het kleinste $\lambda$ -systeem dat $\mathcal P$ bevat (doorsnede van alle zulke); het volstaat te tonen dat $\mathcal D_0$ een $\sigma$ -algebra is, want dan $\sigma(\mathcal P) \subseteq \mathcal D_0 \subseteq \mathcal D$ . Een $\lambda$ -systeem dat stabiel is onder eindige doorsnedes is een $\sigma$ -algebra: complementen ( $X \setminus A = X \setminus A$ met $A \subseteq X$ ), eindige unies ( $A \cup B = X \setminus ((X\setminus A)\cap(X\setminus B))$ ), en aftelbare unies via $\bigcup_{k \leq n}A_k \uparrow \bigcup_kA_k$ . We bewijzen dus dat $\mathcal D_0$ een $\pi$ -systeem is, in twee stappen. Zij

\mathcal D_1 = \{A \in \mathcal D_0 : A \cap P \in \mathcal D_0 \ \forall P \in \mathcal P\}.

$\mathcal D_1$ is een $\lambda$ -systeem (alle drie de axioma’s worden geverifieerd door doorsnijden met $P$ : b.v. $(B\setminus A)\cap P = (B \cap P)\setminus(A \cap P)$ , een echt verschil binnen $\mathcal D_0$ ) en bevat $\mathcal P$ ( $\pi$ -systeem): $\mathcal D_1 = \mathcal D_0$ . Zij nu

\mathcal D_2 = \{A \in \mathcal D_0 : A \cap D \in \mathcal D_0\ \forall D \in \mathcal D_0\}.

Door de vorige stap $\mathcal D_2 \supseteq \mathcal P$ ; en $\mathcal D_2$ is een $\lambda$ -systeem door dezelfde verificatie: $\mathcal D_2 = \mathcal D_0$ , wat precies zegt dat $\mathcal D_0$ stabiel is onder doorsnedes. ∎

9.2 Maten

Definitie 9.5

Een maat op $(X, \mathcal A)$ is een afbeelding $\mu \colon \mathcal A \to [0, +\infty]$ met $\mu(\varnothing) = 0$ die $\sigma$ -additief is: voor paarsgewijs disjuncte $(A_n)_{n\in\N}$ ,

\mu\Bigl(\bigsqcup_n A_n\Bigr) = \sum_n \mu(A_n).

$(X, \mathcal A, \mu)$ is een maatruimte; $\mu$ is eindig als $\mu(X) < \infty$ , een kansmaat als $\mu(X) = 1$ , $\sigma$ -eindig als $X$ een aftelbare unie is van verzamelingen van eindige maat. Voorbeelden: de telmaat op $(\N, \mathcal P(\N))$ ; de Dirac-massa $\delta_a(A) = \mathbf 1_{a \in A}$ ; en, het object van dit hoofdstuk, de Lebesgue-maat.

Propositie 9.6

Zij $\mu$ een maat. (a) Monotonie: $A \subseteq B \Rightarrow \mu(A) \leq \mu(B)$ . (b) Aftelbare subadditiviteit: $\mu(\bigcup A_n) \leq \sum\mu(A_n)$ . (c) Continuïteit van onderen: $A_n \uparrow A \Rightarrow \mu(A_n) \to \mu(A)$ . (d) Continuïteit van boven: $A_n \downarrow A$ met $\mu(A_1) < \infty$ $\Rightarrow \mu(A_n) \to \mu(A)$ .

Bewijs. (a) $B = A \sqcup (B\setminus A)$ . (b) Disjunctificeer: $B_n = A_n \setminus \bigcup_{k<n}A_k$ zijn disjunct met dezelfde unie, en $\mu(B_n) \leq \mu(A_n)$ . (c) $A = \bigsqcup_n (A_n \setminus A_{n-1})$ ( $A_0 = \varnothing$ ): de partiële sommen van $\sum\mu(A_n\setminus A_{n-1})$ zijn $\mu(A_n)$ . (d) Pas (c) toe op $A_1 \setminus A_n \uparrow A_1 \setminus A$ en trek af van $\mu(A_1)$ — eindigheid maakt de aftrekking legitiem. Tegenvoorbeeld zonder die aanname: $A_n = [n, \infty)$ voor de Lebesgue-maat: $A_n \downarrow \varnothing$ maar $\mu(A_n) = \infty$ . ∎

Stelling 9.7 (Uniciteit)

Zijn $\mu, \nu$ maten op $\sigma(\mathcal P)$ , $\mathcal P$ een $\pi$ -systeem, met $\mu = \nu$ op $\mathcal P$ . Als er verzamelingen $P_k \in \mathcal P$ bestaan met $P_k \uparrow X$ en $\mu(P_k) < \infty$ , dan $\mu = \nu$ op heel $\sigma(\mathcal P)$ .

Bewijs. Fixeer $k$ en beschouw de eindige maten $\mu_k(A) = \mu(A \cap P_k)$ en $\nu_k(A) = \nu(A \cap P_k)$ op $\sigma(\mathcal P)$ : zij stemmen overeen op $\mathcal P$ , want $P \cap P_k \in \mathcal P$ ( $\pi$ -systeem), en zij kennen $X$ dezelfde eindige waarde $\mu(P_k)$ toe. De klasse $\mathcal D = \{A : \mu_k(A) = \nu_k(A)\}$ is een $\lambda$ -systeem: $X \in \mathcal D$ ; echte verschillen door aftrekking (eindige waarden); toenemende limieten door continuïteit van onderen (Propositie 9.6(c)). Zij bevat het $\pi$ -systeem $\mathcal P$ , dus Dynkin (Stelling 9.4) geeft $\mathcal D \supseteq \sigma(\mathcal P)$ : $\mu_k = \nu_k$ overal. Tenslotte, voor elke $A \in \sigma(\mathcal P)$ , continuïteit van onderen langs $A \cap P_k \uparrow A$ geeft $\mu(A) = \lim_k\mu_k(A) = \lim_k\nu_k(A) = \nu(A)$ . ∎

9.3 Uitwendige maten en de stelling van Carathéodory

Definitie 9.8

Een uitwendige maat op $X$ is een afbeelding $\mu^* \colon \mathcal P(X) \to [0, \infty]$ met $\mu^*(\varnothing) = 0$ , monotoon, en aftelbaar subadditief. Een verzameling $A$ is $\mu^*$ -meetbaar (Carathéodory) als zij elke verzameling additief splitst:

\mu^*(E) = \mu^*(E \cap A) + \mu^*(E \setminus A) \qquad \text{voor elke } E \subseteq X

( $\leq$ geldt altijd door subadditiviteit; de inhoud is $\geq$ ).

Stelling 9.9 (Carathéodory)

De $\mu^*$ -meetbare verzamelingen vormen een $\sigma$ -algebra $\mathcal M$ , en $\mu^*\restriction_{\mathcal M}$ is een maat. Bovendien behoort elke verzameling met $\mu^*(N) = 0$ tot $\mathcal M$ (de maat is volledig).

Bewijs. $\mathcal M$ bevat $\varnothing$ en is stabiel onder complement (de definiërende voorwaarde is symmetrisch in $A$ , $X\setminus A$ ). Eindige unies: zij $A, B \in \mathcal M$ en $E$ willekeurig; splits $E$ door $A$ , dan elk stuk door $B$ :

\mu^*(E) = \mu^*(E\cap A\cap B) + \mu^*(E\cap A\setminus B) + \mu^*(E\cap B\setminus A) + \mu^*(E\setminus(A\cup B)).

De eerste drie stukken overdekken $E \cap (A \cup B)$ , dus subadditiviteit geeft $\mu^*(E) \geq \mu^*(E\cap(A\cup B)) + \mu^*(E\setminus(A\cup B))$ : $A \cup B \in \mathcal M$ . Door inductie, eindige unies; met complementen zijn eindige disjunctheidsmanipulaties beschikbaar.

Additiviteit op $\mathcal M$ : voor disjuncte $A, B \in \mathcal M$ en willekeurige $E$ : $\mu^*(E\cap(A\sqcup B)) = \mu^*(E\cap A) + \mu^*(E \cap B)$ (splits door $A$ ); door inductie,

\mu^*\Bigl(E \cap \bigsqcup_{k\leq n}A_k\Bigr) = \sum_{k\leq n}\mu^*(E\cap A_k). \tag{$*$}

Aftelbare unies: zij $(A_k) \subseteq \mathcal M$ disjunct (voldoende, door disjunctificatie binnen de algebra $\mathcal M$ ), $A = \bigsqcup A_k$ , $E$ willekeurig. Met $\bigsqcup_{k\leq n}A_k \in \mathcal M$ en monotonie:

\mu^*(E) = \mu^*\Bigl(E\cap\bigsqcup_{k\leq n}A_k\Bigr) + \mu^*\Bigl(E\setminus\bigsqcup_{k\leq n}A_k\Bigr) \geq \sum_{k \leq n}\mu^*(E\cap A_k) + \mu^*(E\setminus A)

door ( $*$ ). Laat $n \to \infty$ en gebruik aftelbare subadditiviteit terug:

\mu^*(E) \geq \sum_{k}\mu^*(E\cap A_k) + \mu^*(E\setminus A) \geq \mu^*(E \cap A) + \mu^*(E\setminus A) \geq \mu^*(E):

alle ongelijkheden zijn gelijkheden. Dit bewijst zowel $A \in \mathcal M$ als, met $E = A$ , aftelbare additiviteit van $\mu^*$ op $\mathcal M$ .

Nulverzamelingen: als $\mu^*(N) = 0$ , dan voor elke $E$ : $\mu^*(E \cap N) + \mu^*(E\setminus N) \leq 0 + \mu^*(E)$ : $N \in \mathcal M$ . ∎

9.4 Lebesgue-maat op $\R$

Definitie 9.10

De uitwendige Lebesgue-maat van $A \subseteq \R$ is

\lambda^*(A) = \inf\Bigl\{\sum_{n} (b_n - a_n) : A \subseteq \bigcup_n \intoo{a_n}{b_n}\Bigr\}

(aftelbare overdekkingen door open intervallen).

Lemma 9.11

$\lambda^*$ is een uitwendige maat, invariant onder translaties, en $\lambda^*(I) = \ell(I)$ (de lengte) voor elk interval $I$ .

Bewijs. Uitwendige maat: $\varnothing$ wordt overdekt door willekeurig kleine intervallen; monotonie is duidelijk; subadditiviteit: gegeven overdekkingen van elke $A_n$ binnen $\varepsilon 2^{-n}$ van het infimum, overdekt hun unie $\bigcup A_n$ met totale lengte $\leq \sum \lambda^*(A_n) + \varepsilon$ . Translatie-invariantie: translateer de overdekkingen.

Lengte: het volstaat $I = \intcc ab$ te behandelen (andere types verschillen door eindpunten, die uitwendige maat $0$ hebben: overdek door piepkleine intervallen; dan knijp $\intcc{a+\varepsilon}{b - \varepsilon} \subseteq \intoo ab$ -type vergelijkingen). $\lambda^*(\intcc ab) \leq b - a$ : overdek door $\intoo{a-\varepsilon}{b+\varepsilon}$ . Omgekeerd zij $\intcc ab \subseteq \bigcup_n\intoo{a_n}{b_n}$ : door compactheid (Borel–Lebesgue, Stelling 6.16) volstaan eindig veel intervallen, zeg $I_1, \dots, I_N$ . We tonen $\sum_{k\leq N}(b_k - a_k) \geq b - a$ door inductie op $N$ : kies $I_{k_1} \ni a$ ; als $b_{k_1} > b$ klaar ( $b_{k_1} - a_{k_1} > b - a$ ); anders wordt het segment $\intcc{b_{k_1}}b$ overdekt door de resterende $N - 1$ intervallen, en inductie geeft $\sum_{k \neq k_1}(b_k - a_k) \geq b - b_{k_1}$ , terwijl $b_{k_1} - a_{k_1} > b_{k_1} - a$ : optellen. ∎

Stelling 9.12 (Lebesgue-maat)

Elke Borelverzameling van $\R$ is $\lambda^*$ -meetbaar. De restrictie $\lambda$ van $\lambda^*$ tot de $\sigma$ -algebra $\mathcal L = \mathcal M_{\lambda^*} \supseteq \mathcal B(\R)$ (de Lebesgue- $\sigma$ -algebra) is de unieke maat op $\mathcal B(\R)$ die aan elk interval zijn lengte toekent; zij is translatie-invariant en $\sigma$ -eindig.

Bewijs. Door Stelling 9.9 volstaat het te tonen dat elke straal $A = \intoo{-\infty}c$ $\lambda^*$ -meetbaar is (stralen brengen $\mathcal B$ voort, Definitie 9.2). Zij $E \subseteq \R$ met $\lambda^*(E) < \infty$ en $\bigcup I_n \supseteq E$ een overdekking met $\sum\ell(I_n) \leq \lambda^*(E) + \varepsilon$ . Elk $I_n$ splitst in de twee intervallen $I_n' = I_n \cap A$ en $I_n'' = I_n\setminus A$ (een interval min een straal is een interval) met $\ell(I_n') + \ell(I_n'') = \ell(I_n)$ ; de $I_n'$ overdekken $E \cap A$ en de $I_n''$ overdekken $E \setminus A$ (vergroot elk tot een open interval van lengte $\ell + \varepsilon2^{-n}$ om binnen de definitie te blijven), dus

\lambda^*(E\cap A) + \lambda^*(E\setminus A) \leq \sum_n\bigl(\ell(I_n') + \ell(I_n'')\bigr) + 2\varepsilon \leq \lambda^*(E) + 3\varepsilon .

Uniciteit: twee maten die met lengte overeenstemmen op het $\pi$ -systeem van intervallen $\intoc ab$ (eindig daarop) stemmen overeen op $\sigma(\text{intervallen}) = \mathcal B$ door Stelling 9.7 met $P_k = \intoc{-k}k$ . $\sigma$ -eindigheid: $\R = \bigcup(-k, k]$ . ∎

Stelling 9.13 (Regulariteit)

Voor elke $A \in \mathcal L$ :

\lambda(A) = \inf\{\lambda(U) : U \supseteq A \text{ open}\} = \sup\{\lambda(K) : K \subseteq A \text{ compact}\}.

Bewijs. Uitwendig: een overdekking $\bigcup I_n$ met $\sum\ell(I_n) \leq \lambda(A) + \varepsilon$ is een open verzameling $U \supseteq A$ met $\lambda(U) \leq \lambda(A) + \varepsilon$ (subadditiviteit); als $\lambda(A) = \infty$ is de uitspraak triviaal. Inwendig: zij eerst $A$ begrensd, $A \subseteq [-M, M]$ . Kies een open $U \supseteq ([-M,M]\setminus A)$ met $\lambda(U) \leq \lambda([-M,M]\setminus A) + \varepsilon$ ; dan is $K = [-M, M]\setminus U$ compact, $K \subseteq A$ , en

\lambda(K) = \lambda([-M,M]) - \lambda([-M,M]\cap U) \geq \lambda([-M,M]) - \bigl(\lambda([-M,M]) - \lambda(A) + \varepsilon\bigr) = \lambda(A) - \varepsilon .

Voor algemene $A$ : $\lambda(A) = \lim_M\lambda(A\cap[-M,M])$ (continuïteit van onderen) en pas het begrensde geval toe. ∎

Voorbeeld 9.14

De Cantorverzameling (Oefening 6.10) heeft $\lambda(C) = 0$ : $C \subseteq C_n$ , een unie van $2^n$ intervallen van lengte $3^{-n}$ , dus $\lambda(C) \leq (2/3)^n \to 0$ . Een overaftelbare nulverzameling — kardinaliteit ziet maat niet. Omgekeerd zijn vette Cantorverzamelingen (Oefening 9.5) nergens dicht met positieve maat: topologie ziet maat evenmin. Het weekendprobleem duwt dit samenspel tot zijn treffende conclusie: er bestaan Lebesgue-meetbare verzamelingen die niet Borel zijn.

Stelling 9.15 (Vitali)

Er bestaat geen maat op alle deelverzamelingen van $\R$ die translatie-invariant is en aan elk interval zijn lengte toekent. In het bijzonder $\mathcal L \neq \mathcal P(\R)$ : niet-meetbare verzamelingen bestaan.

Bewijs. Stel $\mu$ is er een. Op $\intcc01$ , beschouw de equivalentierelatie $x \sim y \iff x - y \in \Q$ ; kies via het keuzeaxioma één representant in $\intcc01$ per klasse: een verzameling $V$ . Voor $q \in \Q\cap\intcc{-1}1$ zijn de translaten $V + q$ paarsgewijs disjunct (twee punten van $V$ die een rationaal verschillen zouden equivalente maar verschillende representanten zijn) en

\intcc01 \subseteq \bigsqcup_{q \in \Q\cap\intcc{-1}1}(V + q) \subseteq \intcc{-1}2 :

de eerste inclusie omdat elke $x \in \intcc01$ van haar representant $v$ een rationaal $q = x - v \in \intcc{-1}1$ verschilt. Monotonie en $\sigma$ -additiviteit geven

1 \leq \sum_{q}\mu(V + q) \leq 3, \qquad\text{met } \mu(V + q) = \mu(V) \text{ voor alle } q .

Een oneindige som van de constante $\mu(V)$ is $0$ of $\infty$ : beide grenzen kunnen niet gelden. Dus bestaat zulk een $\mu$ niet — en $V \notin \mathcal L$ , want $\lambda$ op $\mathcal L$ heeft alle gebruikte eigenschappen. ∎

Opmerking 9.16

In $\R^3$ is de mislukking dramatischer: de paradox van Banach–Tarski ontleedt een bol in vijf stukken die zich, door rotaties en translaties, herassembleren tot twee bollen van dezelfde straal — zodat zelfs geen eindig additief rotatie-invariant volume op alle deelverzamelingen van $\R^3$ bestaat. De stukken zijn natuurlijk niet-meetbaar. Meetbaarheid is geen bureaucratische voorzorg; zij is de grens van coherentie.

Methode 9.17

Het principe van de goede verzamelingen: om te bewijzen dat alle verzamelingen van $\sigma(\mathcal E)$ een eigenschap hebben, toon dat de goede verzamelingen een $\sigma$ -algebra vormen (of een $\lambda$ -systeem, als de eigenschap maattheoretisch is en $\mathcal E$ een $\pi$ -systeem — dan Dynkin) die $\mathcal E$ bevat. Bijna elk bewijs in dit hoofdstuk en het volgende is een instantie. Om twee maten gelijk te bewijzen: controleer ze op een voortbrengend $\pi$ -systeem plus $\sigma$ -eindigheid (Stelling 9.7). Om een maat te bouwen: bouw een uitwendige maat door overdekkingen en citeer Carathéodory.

9.5 Oefeningen

Oefening 9.1 ★

(a) Toon dat $\{A \subseteq X : A$ of $X\setminus A$ is aftelbaar $\}$ een $\sigma$ -algebra is: die voortgebracht door de singletonen. (b) Toon dat $\mathcal B(\R)$ wordt voortgebracht door elk van: open intervallen; gesloten intervallen; stralen $\intoc{-\infty}a$ ; stralen met $a \in \Q$ . (c) Is de familie van eindige disjuncte unies van intervallen $\intoc ab$ een $\sigma$ -algebra? Een algebra (stabiel onder complement en eindige unies)?

Oplossing

Oplossing van Oefening 9.1.

(a) Complementatie wisselt de twee definiërende gevallen. Een aftelbare unie van aftelbare verzamelingen is aftelbaar; als één lid co-aftelbaar is, is de unie co-aftelbaar: stabiliteit geldt. Zij bevat de singletonen, en elke $\sigma$ -algebra die ze bevat bevat alle aftelbare verzamelingen (aftelbare unies) en hun complementen: zij is $\sigma(\{\text{singletonen}\})$ .

(b) Schrijf $\mathcal B = \sigma(\text{opens})$ . Elke open deelverzameling van $\R$ is een aftelbare unie van open intervallen met rationale eindpunten (rond elk rationaal punt van de open verzameling een interval van rationale straal erbinnen), dus opens $\in \sigma(\text{open intervallen}) \subseteq \sigma(\text{rationale data})$ . Conversies: $\intoo ab = \bigcup_n\intcc{a + \frac1n}{b - \frac1n}$ ; $\intcc ab = \bigcap_n \intoo{a - \frac1n}{b + \frac1n}$ ; $\intoc{-\infty}a = \bigcap_n \intoo{-\infty}{a + \frac1n}$ en omgekeerd $\intoo ab = \intoo{-\infty}b \setminus \intoc{-\infty}a$ ; rationale stralen: $\intoc{-\infty}a = \bigcap_{q \in \Q,\, q > a}\intoc{-\infty}q$ . Elke familie brengt de anderen voort via aftelbare operaties: alle vier brengen $\mathcal B$ voort.

(c) Met alleen eindige eindpunten is de familie zelfs geen algebra: het complement van $\intoc01$ bevat onbegrensde stralen. Met oneindige eindpunten ( $\intoc{-\infty}b$ , $\intoo a{+\infty}$ ) wordt zij een algebra (complementen en eindige unies van zulke unies zijn zulke), maar geen $\sigma$ -algebra: $\{0\} = \bigcap_n\intoc{-\frac1n}0$ is geen eindige unie van niet-ontaarde intervallen.

Oefening 9.2 ★

(a) Bewijs inclusie-exclusie voor een eindige maat: $\mu(A\cup B) = \mu(A) + \mu(B) - \mu(A\cap B)$ , en de drieverzamelingen- versie. (b) Geef een voorbeeld dat toont dat continuïteit van boven (Propositie 9.6(d)) faalt zonder de eindigheidsassumptie. (c) Toon dat een aftelbare verzameling Lebesgue-maat nul heeft. Leid af $\lambda(\Q) = 0$ en $\lambda(\intcc01\setminus\Q) = 1$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 9.2.

(a) $A \cup B = A \sqcup (B \setminus (A\cap B))$ , dus $\mu(A\cup B) = \mu(A) + \mu(B) - \mu(A\cap B)$ (eindigheid staat de aftrekking toe). Drie verzamelingen: pas de tweeverzamelingenformule tweemaal toe,

\mu(A\cup B\cup C) = \sum\mu(A) - \sum\mu(A\cap B) + \mu(A\cap B\cap C)

(sommen over de voor de hand liggende indexverzamelingen).

(b) Voor de Lebesgue-maat, $A_n = [n, +\infty) \downarrow \varnothing$ , maar $\lambda(A_n) = \infty \not\to 0$ .

(c) Een punt ligt in een interval van lengte $\varepsilon$ : $\lambda(\{x\}) = 0$ ; aftelbare subadditiviteit doodt aftelbare verzamelingen. Dus $\lambda(\Q \cap \intcc01) = 0$ en, door additiviteit, $\lambda(\intcc01\setminus\Q) = 1$ : de irrationalen dragen alle lengte.

Oefening 9.3 ★★

Zijn $\mu, \nu$ kansmaten op $\mathcal B(\R)$ met $\mu(\intoc{-\infty}t) = \nu(\intoc{-\infty}t)$ voor alle $t \in \R$ . Toon $\mu = \nu$ . (Dit maakt de verdelingsfunctie $F(t) = \mu(\intoc{-\infty}t)$ een volledig invariant — de grondslag van Hoofdstuk 22.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 9.3.

De stralen $\intoc{-\infty}t$ vormen een $\pi$ -systeem (de doorsnede van twee is de kleinere) dat $\mathcal B(\R)$ voortbrengt (Oefening 9.1). De verzamelingen $P_k = \intoc{-\infty}k$ stijgen naar $\R$ met $\mu(P_k) \leq 1 < \infty$ : Stelling 9.7 is van toepassing, en $\mu = \nu$ op $\mathcal B(\R)$ . Dus bepaalt de verdelingsfunctie de maat.

Oefening 9.4 ★★

(Borel–Cantelli, maatversie) Zij $(A_n)$ meetbaar met $\sum_n\mu(A_n) < \infty$ , en $\limsup A_n = \bigcap_N\bigcup_{n\geq N}A_n$ (de punten die tot oneindig veel $A_n$ behoren). Toon $\mu(\limsup A_n) = 0$ . Toepassing: voor bijna elke $x \in \intcc01$ voldoen slechts eindig veel $n$ aan $\abs{x - p/q_n} \leq 4^{-n}$ voor de $n$ -de rationale $p/q_n$ van een enumeratie van $\Q\cap\intcc01$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 9.4.

Voor elke $N$ , $\limsup A_n \subseteq \bigcup_{n \geq N}A_n$ , dus $\mu(\limsup A_n) \leq \sum_{n\geq N}\mu(A_n)$ , de staart van een convergente reeks: laat $N \to \infty$ . Toepassing: met $A_n = \{x \in \intcc01 : \abs{x - r_n} \leq 4^{-n}\}$ ( $r_n$ de $n$ -de rationaal), is $\lambda(A_n) \leq 2\cdot 4^{-n}$ sommeerbaar: $\lambda(\limsup A_n) = 0$ , d.w.z. bijna elke $x$ behoort tot slechts eindig veel $A_n$ . (Toch is elke $x$ limiet van rationalen: het punt is de snelheid $4^{-n}$ .)

Oefening 9.5 ★★

(Vette Cantorverzameling) Herhaal de Cantorconstructie op $\intcc01$ , maar verwijder bij stap $n$ uit elk van de $2^{n-1}$ intervallen een gecentreerd open interval van lengte $4^{-n}$ alleen. Toon dat de resulterende $K = \bigcap K_n$ compact is, lege inwendige heeft (geen interval overleeft), en

\lambda(K) = 1 - \sum_{n\geq1}2^{n-1}4^{-n} = \tfrac12 :

een nergens dichte verzameling van maat $\frac12$ . Leid een magere deelverzameling van $\intcc01$ van volle maat $1$ af, en een open dichte deelverzameling van maat $< \varepsilon$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 9.5.

$K = \bigcap K_n$ is een doorsnede van eindige unies van gesloten intervallen: compact. Bij stadium $n$ resteren $2^n$ intervallen van gemeenschappelijke lengte $\ell_n \leq 2^{-n}$ (elk stadium halveert en krimpt); een interval $I \subseteq K$ zou in een enkel stadium- $n$ -interval voor elke $n$ liggen, wat $\ell(I) = 0$ dwingt: lege inwendige. De verwijderde maat is $\sum_{n\geq1}2^{n-1}\cdot 4^{-n} = \frac12\sum_{n\geq1} 2^{-n} = \frac12$ , alle verwijderingen disjuncte open intervallen: $\lambda(K) = \frac12$ .

Variant: centrale intervallen van lengte $\varepsilon 4^{-n}$ verwijderen laat een nergens dicht compactum $K^{(\varepsilon)}$ van maat $1 - \frac\varepsilon2$ . Dan is $\bigcup_m K^{(1/m)}$ mager (aftelbare unie van nergens dichte verzamelingen) van maat $\geq \sup_m(1 - \frac1{2m}) = 1$ : een magere verzameling van volle maat — en haar complement in $\intoo01$ is een dichte $G_\delta$ van maat $0$ (topologisch dik, metrisch nul). Het complement van $K^{(\varepsilon)}$ in $\intoo01$ is open, dicht, van maat $\frac\varepsilon2 < \varepsilon$ .

Oefening 9.6 ★★

Zij $\mu$ een maat op $\mathcal B(\R)$ , invariant onder translaties, met $c = \mu(\intoc01) < \infty$ . Toon $\mu = c\,\lambda$ op $\mathcal B(\R)$ . (Bereken $\mu$ op dyadische intervallen door $\intoc01$ in $2^n$ translaten te splitsen, en roep dan Stelling 9.7 aan.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 9.6.

Snijd $\intoc01$ in $2^n$ translaten van $\intoc0{2^{-n}}$ : $c = 2^n\,\mu(\intoc0{2^{-n}})$ , dus $\mu(\intoc0{2^{-n}}) = c\,2^{-n} = c\,\lambda(\intoc0{2^{-n}})$ . Door translatie-invariantie en additiviteit, $\mu = c\lambda$ op elk interval $\intoc ab$ met $b - a$ een dyadische rationaal en willekeurige $a$ ; een algemeen $\intoc ab$ is een toenemende unie van zulke ( $b_k \uparrow b$ dyadische stappen vanuit $a$ ), en continuïteit van onderen breidt de gelijkheid uit. De intervallen $\intoc ab$ vormen een $\pi$ -systeem dat $\mathcal B(\R)$ voortbrengt, met $\intoc{-k}k \uparrow \R$ van eindige maat ( $\mu(\intoc{-k}k) = 2kc$ ): Stelling 9.7 geeft $\mu = c\lambda$ op $\mathcal B(\R)$ .

Oefening 9.7 ★★

(Approximatie) Zij $A \in \mathcal L$ met $\lambda(A) < \infty$ en $\varepsilon > 0$ . Toon dat er een eindige unie van intervallen $B$ bestaat met $\lambda(A\,\triangle\,B) < \varepsilon$ ( $\triangle$ = symmetrisch verschil). (Regulariteit: knijp $K \subseteq A \subseteq U$ en gebruik de structuur van de open $U$ als aftelbare unie van intervallen, plus compactheid van $K$ .)

Oplossing

Oplossing van Oefening 9.7.

Door regulariteit (Stelling 9.13) kies $K \subseteq A \subseteq U$ met $K$ compact, $U$ open, $\lambda(U\setminus K) < \varepsilon$ (beide approximaties binnen $\varepsilon/2$ , en $\lambda(U \setminus K) = \lambda(U\setminus A) + \lambda(A \setminus K)$ ). Schrijf $U$ als aftelbare disjuncte unie van open intervallen $(I_n)$ (de componenten van de open verzameling); het compactum $K$ wordt door eindig veel overdekt, $K \subseteq B = I_1\cup\dots\cup I_N \subseteq U$ . Dan $A \setminus B \subseteq A\setminus K \subseteq U\setminus K$ en $B \setminus A \subseteq U \setminus A \subseteq U\setminus K$ : $\lambda(A\,\triangle\,B) \leq 2\lambda(U\setminus K)$ — start van $\varepsilon/2$ om onder $\varepsilon$ te landen.

Oefening 9.8 ★★★

(Steinhaus) Zij $A \in \mathcal L$ met $\lambda(A) > 0$ . Toon dat $A - A = \{x - y : x, y \in A\}$ een interval rond $0$ bevat. (Reduceer tot $\lambda(A) < \infty$ ; door regulariteit à la Oefening 9.7, vind een interval $I$ met $\lambda(A \cap I) > \frac34\ell(I)$ ; dan voor $\abs t < \frac12\ell(I)$ liggen de verzamelingen $A\cap I$ en $(A\cap I) + t$ beide in een interval van lengte $\frac32\ell(I)$ en hebben totale maat $> \frac32\ell(I)$ : zij moeten snijden.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 9.8.

Vervang $A$ door $A \cap [-M, M]$ van positieve maat (enige $M$ werkt, door continuïteit van onderen), en neem $0 < \lambda(A) < \infty$ aan. Neem $U \supseteq A$ open met $\lambda(U) < \frac43\lambda(A)$ en ontleed $U = \bigsqcup_nI_n$ in disjuncte open intervallen: $\lambda(A) = \sum_n\lambda(A\cap I_n)$ . Als elke $n$ $\lambda(A\cap I_n) \leq \frac34\ell(I_n)$ had, zou sommen $\lambda(A) \leq \frac34\lambda(U) < \lambda(A)$ geven: enig interval $I$ voldoet $\lambda(A\cap I) > \frac34\ell(I)$ . Stel $B = A \cap I$ en zij $\abs t < \frac12\ell(I)$ : zowel $B$ als $B + t$ liggen in het interval $I \cup (I + t)$ , van lengte $< \frac32\ell(I)$ . Als zij disjunct waren: $\lambda(B) + \lambda(B + t) = 2\lambda(B) > \frac32\ell(I)$ zou de maat van het omvattende interval overschrijden — onmogelijk. Dus $B \cap (B + t) \neq \varnothing$ : enige $x \in B$ schrijft $x = y + t$ met $y \in B$ , en $t = x - y \in A - A$ . Dus $\intoo{-\frac{\ell(I)}2}{\frac{\ell(I)}2} \subseteq A - A$ .

Oefening 9.9 ★★★

Toon dat elke $A \in \mathcal L$ met $\lambda(A) > 0$ een niet-meetbare deelverzameling bevat. (Snijd $A$ met de translaten $V + q$ van de verzameling van Vitali: als alle $A \cap (V+q)$ meetbaar waren, zou elk nul zijn door het argument van Stelling 9.15 — Steinhaus (Oefening 9.8) helpt: een meetbare verzameling van positieve maat binnen $V + q$ zou $(V+q) - (V+q) \supseteq$ een interval geven, in tegenspraak met dat dit verschil $\Q$ alleen in $0$ snijdt; besluit met subadditiviteit.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 9.9.

De Vitali-translaten $(V + q)_{q\in\Q}$ partitioneren $\R$ (elk reëel getal is equivalent met precies één representant). Stel dat alle verzamelingen $B_q = A \cap (V + q)$ meetbaar waren. Elke twee elementen van $V + q$ verschillen een irrationaal of nul (twee verschillende representanten zijn inequivalent), dus snijdt $B_q - B_q$ $\Q$ alleen in $\{0\}$ : zij bevat geen interval, en Steinhaus (Oefening 9.8) dwingt $\lambda(B_q) = 0$ . Dan $\lambda(A) \leq \sum_{q}\lambda(B_q) = 0$ , in tegenspraak met $\lambda(A) > 0$ . Dus is enige $B_q \subseteq A$ niet-meetbaar.

Oefening 9.10 ★★

Toon dat $A \subseteq \R$ met $\lambda^*(A) < \infty$ Lebesgue-meetbaar is d.e.s.d.a. voor elke $\varepsilon > 0$ er een open $U \supseteq A$ bestaat met $\lambda^*(U \setminus A) < \varepsilon$ , d.e.s.d.a. er een $G_\delta$ -verzameling $G \supseteq A$ bestaat met $\lambda^*(G\setminus A) = 0$ . (Dus Lebesgue-verzamelingen zijn Borelverzamelingen modulo nulverzamelingen.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 9.10.

Meetbaar $\Rightarrow$ $\varepsilon$ -approximatie: door uitwendige regulariteit (Stelling 9.13) kies open $U \supseteq A$ met $\lambda(U) \leq \lambda(A) + \varepsilon$ ; meetbaarheid staat de aftrekking $\lambda(U\setminus A) = \lambda(U) - \lambda(A) \leq \varepsilon$ toe. $\varepsilon$ -versie $\Rightarrow$ $G_\delta$ -versie: neem $U_n$ met $\lambda^*(U_n\setminus A) < \frac1n$ en $G = \bigcap U_n$ : een $G_\delta$ met $\lambda^*(G\setminus A) \leq \lambda^*(U_n\setminus A) \to 0$ . $G_\delta$ -versie $\Rightarrow$ meetbaar: $G\setminus A$ is $\lambda^*$ -nul, dus meetbaar door volledigheid (Stelling 9.9), en $A = G \setminus (G\setminus A)$ is meetbaar ( $G$ is Borel). Dus Lebesgue-verzamelingen zijn precies “Borel modulo nul”.

Oefening 9.11 ★★

(Continuïteit langs monotone limieten, en haar scherpte) (a) Toon dat voor meetbare verzamelingen $\mu(\liminf A_n) \leq \liminf\mu(A_n)$ (Fatou voor verzamelingen), en dat als $\mu\bigl(\bigcup A_n\bigr) < \infty$ , ook $\limsup\mu(A_n) \leq \mu(\limsup A_n)$ . (b) Vertoon, voor de Lebesgue-maat op $\R$ , een rij met $\mu(A_n) = 1$ voor alle $n$ maar $\mu(\limsup A_n) = 0$ : de eindigheidshypothese in de tweede ongelijkheid is geen decoratie. (c) Leid af: als $\sum\mu(A_n) < \infty$ dan $\mu(\limsup A_n) = 0$ (Borel–Cantelli opnieuw), en als de $A_n$ toenemen of afnemen (met $\mu(A_1) < \infty$ in het afnemende geval), $\mu(\lim A_n) = \lim\mu(A_n)$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 9.11.

(a) $\liminf A_n = \bigcup_N\bigcap_{n\geq N}A_n$ is een toenemende unie van de verzamelingen $B_N = \bigcap_{n\geq N}A_n$ , dus $\mu(\liminf A_n) = \lim_N\mu(B_N)$ (continuïteit van onderen); en $\mu(B_N) \leq \inf_{n \geq N}\mu(A_n)$ , waarvan de limiet $\liminf\mu(A_n)$ is. Voor de $\limsup$ : pas hetzelfde toe op de complementen binnen de eindige-maat omgeving $U = \bigcup A_n$ — continuïteit van boven op de afnemende $C_N = \bigcup_{n\geq N}A_n$ vereist $\mu(C_1) \leq \mu(U) < \infty$ , en geeft $\mu(\limsup A_n) = \lim\mu(C_N) \geq \limsup\mu(A_n)$ .

(b) Het bewegende interval $A_n = \intcc n{n+1}$ : elk punt behoort tot hoogstens twee van de $A_n$ en uiteindelijk tot geen, dus $\limsup A_n = \varnothing$ ; toch $\mu(A_n) = 1$ . Dus $\limsup\mu(A_n) = 1 > 0 = \mu(\limsup A_n)$ : zonder een eindige-maat omhulsel faalt de tweede ongelijkheid van (a) — de massa ontsnapt naar oneindig, waar geen vaste verzameling haar kan vangen.

(c) Als $\sum\mu(A_n) < \infty$ : $\mu(C_N) \leq \sum_{n\geq N}\mu(A_n) \to 0$ en $\limsup A_n = \bigcap C_N$ heeft maat $\leq \inf\mu(C_N) = 0$ . Monotone gevallen: toenemend is continuïteit van onderen; afnemend met $\mu(A_1) < \infty$ is continuïteit van boven — beide bewwezen in de basiseigenschappen van Hoofdstuk 9; het tegenvoorbeeld $A_n = \intco n\infty$ (afnemend naar $\varnothing$ met $\mu \equiv \infty$ ) toont dat eindigheid opnieuw essentieel is.

Oefening 9.12 ★★★

(Stelling van Egorov) Zij $\mu(X) < \infty$ en $f_n \to f$ puntsgewijs, alle meetbaar (reëelwaardig). Voor $k, N \geq 1$ stel

E_{k,N} = \bigcap_{n \geq N}\Bigl\{x : \abs{f_n(x) - f(x)} \leq \tfrac1k\Bigr\} .

(a) Toon dat voor vaste $k$ , $E_{k,N} \nearrow X$ als $N \to \infty$ , en leid $N_k$ af met $\mu(X \setminus E_{k,N_k}) \leq \varepsilon2^{-k}$ . (b) Besluit de stelling van Egorov: voor elke $\varepsilon > 0$ bestaat een meetbare $A$ met $\mu(X\setminus A) \leq \varepsilon$ zodat $f_n \to f$ uniform op $A$ — puntsgewijze convergentie is uniforme convergentie buiten een willekeurig kleine verzameling. (c) Toon dat de stelling faalt op $(\R, \lambda)$ : de bewegende bulten $f_n = \mathbf 1_{\intcc n{n+1}}$ convergeren puntsgewijs naar $0$ maar uniform op geen complement van een verzameling van eindige maat. Waar gebruikte (a) $\mu(X) < \infty$ ?

Oplossing

Oplossing van Oefening 9.12.

(a) De verzamelingen $E_{k,N}$ stijgen met $N$ (minder beperkingen), en elke $x$ voldoet uiteindelijk aan $\abs{f_n(x) - f(x)} \leq \frac1k$ voor alle $n \geq N(x)$ (puntsgewijze convergentie): $\bigcup_NE_{k,N} = X$ . Continuïteit van onderen: $\mu(E_{k,N}) \to \mu(X) < \infty$ , dus $\mu(X\setminus E_{k,N}) \to 0$ ; kies $N_k$ dienovereenkomstig.

(b) Zij $A = \bigcap_kE_{k,N_k}$ : $\mu(X\setminus A) \leq \sum_k\varepsilon2^{-k} = \varepsilon$ . Op $A$ : voor elke $k$ voldoen alle $n \geq N_k$ aan $\sup_A\abs{f_n - f} \leq \frac1k$ — precies uniforme convergentie op $A$ .

(c) Voor de bewegende bult eist uniforme convergentie op $A$ dat $A$ uiteindelijk elk $\intcc n{n+1}$ vermijdt — preciezer dwingt $\sup_A\abs{f_n} < \frac12$ dat $A \cap \intcc n{n+1}$ leeg is voor grote $n$ , dus $X \setminus A$ bevat een staart $\bigcup_{n\geq n_0}\intcc n{n+1}$ , van oneindige maat. In (a) zette eindigheid “ $E_{k,N}\nearrow X$ ” om in “de maten van de complementen streven naar $0$ ”: continuïteit van boven heeft een eindig begin nodig, en op ruimten van oneindige maat is de ontsnapping naar oneindig precies wat zij niet kan zien.

9.6 Probleem: de trap van Cantor–Vitali en een meetbare verzameling die niet Borel is

De trap van Cantor–Vitali: constant op elke spleet van de Cantorverzameling, maar klimmend van 0 naar 1 continu. Haar afgeleide verdwijnt bijna overal — al het klimmen gebeurt op een nulverzameling. — De trap van Cantor–Vitali: constant op elke spleet van de Cantorverzameling, maar klimmend van $0$ naar $1$ continu. Haar afgeleide verdwijnt bijna overal — al het klimmen gebeurt op een nulverzameling.

Probleem 9.1

Weekendprobleem — de duivelstrap, en $\mathcal B(\R) \subsetneq \mathcal L$

We construeren de Cantor–Vitali-functie (duivelstrap), gebruiken haar om maat pathologisch te transporteren, en besluiten met een stelling die geen zacht argument levert: er bestaan Lebesgue-meetbare verzamelingen die niet Borel zijn. Notatie: $C$ is de Cantorverzameling, $C_n$ haar $n$ -de stadium ( $2^n$ intervallen van lengte $3^{-n}$ ), en elke $x \in C$ heeft ternaire cijfers $x = \sum 2b_n3^{-n}$ , $b_n \in \{0,1\}$ (Oefening 6.10).

Deel I — De trap. Definieer $c_0(x) = x$ en $c_{n+1}$ uit $c_n$ door

c_{n+1}(x) = \begin{cases} \tfrac12\,c_n(3x) & 0 \leq x \leq \tfrac13,\\[2pt] \tfrac12 & \tfrac13 \leq x \leq \tfrac23,\\[2pt] \tfrac12 + \tfrac12\,c_n(3x - 2) & \tfrac23 \leq x \leq 1. \end{cases}

Toon dat elke $c_n$ continu is, niet-dalend, met $c_n(0) = 0$ , $c_n(1) = 1$ , en dat $\norm{c_{n+1} - c_n}_\infty \leq \tfrac12\norm{c_n - c_{n-1}}_\infty$ .
Leid af dat $(c_n)$ uniform convergeert naar een continue niet-dalende $c$ met $c(0) = 0$ , $c(1) = 1$ (de Cantor–Vitali-functie), die dezelfde zelfgelijke relaties vervult als de $c_{n+1}$ hierboven.
Toon dat $c$ constant is op elke samenhangscomponent van $\intcc01\setminus C$ , en dat voor $x = \sum_n 2b_n3^{-n} \in C$ , $c(x) = \sum_n b_n2^{-n}$ : de trap leest Cantor-cijfers in binair (Probleem 6.1’s functie $g$ , monotoon en globaal gemaakt).
Leid af dat $c$ differentieerbaar is, met $c' = 0$ , in elk punt van $\intcc01\setminus C$ : $c' = 0$ $\lambda$ -bijna overal (Voorbeeld 9.14). Besluit dat de fundamentele stelling van de calculus faalt voor $c$ :

$c(1) - c(0) = 1 \neq 0 = \int_0^1 c'(t)\,\dd t$

(de integraal over de verzameling van volle maat waar $c' = 0$ ; anticiperend op Hoofdstuk 10 beïnvloeden nulverzamelingen integralen niet). Welke hypothese van de $\mathcal C^1$ fundamentele stelling is geschonden?
Toon dat $c(C) = \intcc01$ : de nulverzameling $C$ wordt op een verzameling van volle maat afgebeeld.

Deel II — Het scheve homeomorfisme. Zij $h(x) = \frac{c(x) + x}{2}$ .

Toon dat $h \colon \intcc01 \to \intcc01$ een homeomorfisme is (strikt stijgend, continu, surjectief).
Toon dat $\lambda\bigl(h(\intcc01\setminus C)\bigr) = \tfrac12$ : op elke spleet van lengte $\ell$ werkt $h$ als een affiene afbeelding van helling $\tfrac12$ , en de spleten hebben totale lengte $1$ .
Leid af $\lambda\bigl(h(C)\bigr) = \tfrac12$ : het homeomorfe beeld van een nulverzameling kan positieve maat hebben. (Waar spreekt dit naïeve intuïtie over “grootte” tegen?)

Deel III — Een meetbare verzameling die niet Borel is.

Kies via Oefening 9.9 een niet-meetbare $W \subseteq h(C)$ . Toon dat $Z = h^{-1}(W) \subseteq C$ Lebesgue-meetbaar is. (Zij is een deelverzameling van een nulverzameling; volledigheid, Stelling 9.9.)
Toon dat het originieel van een Borelverzameling onder een continue afbeelding Borel is. (Principe van de goede verzamelingen: $\{B : h^{-1}(B) \in \mathcal B\}$ is een $\sigma$ -algebra die de open verzamelingen bevat — let op de richting van de afbeelding.)
Besluit dat $Z$ niet Borel is: als zij het was, zou $W = (h^{-1})^{-1}(Z)$ Borel zijn (pas vraag 10 toe op de continue $h^{-1}$ ), dus meetbaar — tegenspraak. Derhalve

$\boxed{\ \mathcal B(\R) \subsetneq \mathcal L\ }$

en volledigheid vergroot werkelijk de Borelwereld.
Vertoon een Lebesgue-meetbare functie $g$ en een continue functie $\varphi$ zodat $g \circ \varphi$ niet Lebesgue-meetbaar is: meetbaarheid, anders dan continuïteit, composeert niet. (Neem $g = \mathbf 1_Z$ en $\varphi = h^{-1}$ , anticiperend op de definitie van meetbare functies uit Hoofdstuk 10: originelen van Borelverzamelingen zijn Lebesgue-verzamelingen. Waar moet men voorzichtig zijn over welke $\sigma$ -algebra op het doel gebruikt wordt?)

Deel IV — Epiloog.

Sorteer de volgende klassen op strikte inclusie en rechtvaardig elke strengheid met een voorbeeld uit dit hoofdstuk en zijn probleem: aftelbare verzamelingen; Borel-nulverzamelingen; Lebesgue-nulverzamelingen; Borelverzamelingen; Lebesgue-verzamelingen; willekeurige verzamelingen.

Deel V — De Cantor-maat: massa op een nulverzameling. De trap is de verdelingsfunctie van een opmerkelijke maat, die we nu bouwen met de gereedschappen van dit hoofdstuk.

(Lebesgue–Stieltjes, bestaan) Zij $F\colon\R\to\R$ niet-dalend, continu, begrensd. Op halfopen intervallen definieer $\rho\bigl(\intoc ab\bigr) = F(b) - F(a)$ en, voor $A \subseteq \R$ ,

$\mu_F^*(A) = \inf\Bigl\{\sum_k\bigl(F(b_k) - F(a_k)\bigr) : A \subseteq \bigcup_k\intoc{a_k}{b_k}\Bigr\} .$

Toon dat $\mu_F^*$ een uitwendige maat is en dat $\mu_F^*\bigl(\intoc ab\bigr) = F(b) - F(a)$ (imiteer het compactheidsargument van Stelling 9.12, door elk $\intoc{a_k}{b_k}$ te vergroten tot een open interval tegen $F$ -kost $\leq \varepsilon2^{-k}$ — waar wordt continuïteit van $F$ gebruikt?).
Toon dat elke Borelverzameling $\mu_F^*$ -meetbaar is in de zin van Carathéodory (zoals in het Lebesgue-geval volstaat het halfrechten te testen; volg het bewijs van de toepassing van Stelling 9.9), zodat $\mu_F = \mu_F^*$ gerestricteerd tot $\mathcal B(\R)$ een maat is met $\mu_F(\intoc ab) = F(b) - F(a)$ : de Lebesgue–Stieltjes-maat van $F$ .
Pas dit toe op de trap ( $F = c$ uitgebreid met $0$ op $\R_-$ en $1$ op $\intco1\infty$ ): de Cantor-maat $\mu$ . Toon $\mu(\R) = 1$ , dat elke spleet van de Cantorverzameling $\mu$ -nul is ( $c$ is daar constant), en besluit

$\mu(C) = 1, \qquad \lambda(C) = 0 :$

$\mu$ en $\lambda$ leven op disjuncte dragers ( $C$ en haar complement). Twee maten in deze positie heten onderling singulier, genoteerd $\mu \perp \lambda$ .
Toon dat $\mu$ geen atomen heeft: $\mu(\{x\}) = 0$ voor elke $x$ (continuïteit van $c$ ). Een atoomloze kansmaat gedragen door een Lebesgue-nul compactum: vergelijk met de enige maten tot nu toe gezien.
(Muntworp in vermomming) Voor een woord $(\varepsilon_1, \dots, \varepsilon_m) \in \{0,1\}^m$ , zij $C_{\varepsilon}$ de verzameling van $x \in C$ waarvan de ternaire cijfers $b_i(x) = \varepsilon_i$ voor $i \leq m$ vervullen (een van de $2^m$ Cantorstukken van diepte $m$ ). Toon $\mu(C_\varepsilon) = 2^{-m}$ (de trap klimt $2^{-m}$ over dat stuk: gebruik Deel I, vraag 3). De Cantor-maat is de wet van een oneindige rij eerlijke muntworpen gelezen in ternair — Hoofdstuk 22 zal dit exact maken.
Bewijs de zelfgelijkheid: voor elke Borel $A$ ,

$\mu(A) = \tfrac12\,\mu(3A) + \tfrac12\,\mu(3A - 2) ,$

waar $3A - 2 = \{3x - 2 : x \in A\}$ (controleer op de voortbrengende intervallen $\intoc ab$ via de zelfgelijke relaties van $c$ , en roep dan uniciteit aan, Stelling 9.7).
Toon dat de reflectie $s(x) = 1 - x$ $\mu$ bewaart: $\mu(s(A)) = \mu(A)$ (via $c(1 - x) = 1 - c(x)$ , wat volgt uit de symmetrie van de constructie — bewijs het).
Bereken de eerste twee momenten van $\mu$ , d.w.z. van een willekeurig punt $X$ met wet $\mu$ (de integralen mogen als limieten van sommen over de diepte- $m$ -stukken behandeld worden, anticiperend op Hoofdstuk 10): symmetrie geeft $\int x\,\dd\mu = \frac12$ , en zelfgelijkheid geeft

$\int x^2\,\dd\mu = \frac38, \qquad\text{dus}\qquad \operatorname{Var}(X) = \frac18 .$

Vergelijk met de uniforme wet op $\intcc01$ (variantie $\frac1{12}$ ): de Cantor-massa, naar de randen geduwd, spreidt meer.
Toon dat de (topologische) drager van $\mu$ — de kleinste gesloten verzameling van volle maat — precies $C$ is.
(Synthese) De trap $c$ is continu en niet-dalend maar faalt de fundamentele stelling van de calculus (Deel I); de maat $\mu_c$ is een kans, atoomloos, singulier t.o.v. $\lambda$ . Leg in een korte alinea uit hoe dit twee gezichten van één fenomeen zijn, en formuleer de algemene moraal: niet-dalende functies corresponderen met maten ( $F \leftrightarrow \mu_F$ ), differentieerbaarheid b.o. correspondeert met het “absoluut continue deel”, en $c$ is de standaardgetuige dat een continue $F$ geen absoluut continu deel kan dragen.
(De scherpe continuïteitsmodulus) Zij $s = \frac{\ln 2}{\ln 3}$ . Toon dat $c$ Hölder-continu is van exponent $s$ :

$\abs{c(x) - c(y)} \leq 4\,\abs{x - y}^{s} \qquad (x, y \in \intcc01),$

en dat geen exponent $t > s$ werkt, zelfs lokaal. Leid de maattheoretische vorm af: voor elke $x$ en elke $r \in \intoc01$ ,

$\mu\bigl(\intcc{x - r}{x + r}\bigr) \leq 8\,r^{s} .$

(Vergelijk een diepte- $m$ triadisch rooster met de schaal van $\abs{x - y}$ ; vraag 18 geeft de klim over elk stuk. De exponent $s$ is de Hausdorff-dimensie van $C$ , zoals latere cursussen zullen zeggen.)
(Zelfgelijkheid karakteriseert $\mu$ ) Bewijs het omgekeerde van vraag 19: als $\nu$ een kansmaat is op $\mathcal B(\R)$ gedragen door $\intcc01$ en voldoet aan

$\nu(A) = \tfrac12\,\nu(3A) + \tfrac12\,\nu(3A - 2) \qquad (A \in \mathcal B(\R)),$

dan $\nu = \mu$ . (Itereer de relatie $m$ maal om $\nu$ over de $2^m$ diepte- $m$ Cantorstukken te spreiden, schat $\nu(\intoc ab)$ af tegen het aantal stukken binnen $\intoc ab$ , en laat $m \to \infty$ ; eindig met Stelling 9.7.)

Oplossing

Oplossing van Probleem 9.1.

1. Inductie. Continuïteit: de drie formules stemmen overeen bij de knooppunten ( $\frac12c_n(1) = \frac12$ en $\frac12 + \frac12c_n(0) = \frac12$ ); elk stuk is continu. Monotonie en de randwaarden worden geërfd. Voor de contractieschatting: op $[0,\frac13]$ , $\abs{c_{n+1} - c_n}(x) = \frac12\abs{c_n - c_{n-1}}(3x) \leq \frac12\norm{c_n - c_{n-1}}_\infty$ ; op het middelste derde is het verschil $0$ ; op het rechter derde, hetzelfde als links.

2. $\norm{c_{n+1} - c_n}_\infty \leq 2^{-n}\norm{c_1 - c_0}_\infty$ : de reeks van incrementen convergeert uniform, dus $c_n \to c$ uniform; $c$ is continu, niet-dalend, $c(0) = 0$ , $c(1) = 1$ (alle bewaard door uniforme limieten), en overgang naar de limiet in de definiërende recursie toont dat $c$ zelf de drie zelfgelijke identiteiten vervult.

3. Door de middelste identiteit, $c \equiv \frac12$ op $\intcc{\frac13}{\frac23}$ , de eerste spleet. Elke spleet van $C$ is het beeld van de eerste spleet onder een compositie van de twee affiene contracties $x \mapsto \frac x3$ , $x\mapsto\frac{x + 2}3$ ; de identiteiten transporteren constante dienovereenkomstig (met waarden de dyadische rationalen). Voor de cijferformule, neem $x = \sum_n 2b_n3^{-n} \in C$ : als $b_1 = 0$ dan $x \in [0,\frac13]$ en $c(x) = \frac12c(3x)$ met $3x$ cijfers $(b_2, b_3, \dots)$ ; als $b_1 = 1$ dan $x \in [\frac23, 1]$ en $c(x) = \frac12 + \frac12c(3x - 2)$ , dezelfde verschuiving. Door inductie zijn de eerste $N$ binaire cijfers van $c(x)$ precies $b_1, \dots, b_N$ voor elke $N$ : $c(x) = \sum_nb_n2^{-n}$ .

4. Buiten $C$ is $c$ lokaal constant: differentieerbaar met afgeleide $0$ . Aangezien $\lambda(C) = 0$ (Voorbeeld 9.14), $c' = 0$ bijna overal. Toch $c(1) - c(0) = 1$ : de fundamentele stelling in haar $\mathcal C^1$ vorm eist dat $c$ overal differentieerbaar is met continue (of ten minste integreerbare, plus absolute continuïteit — zie Hoofdstuk 10) afgeleide; $c$ is niet differentieerbaar in punten van $C$ , en fundamenteler faalt $c$ absolute continuïteit: zij klimt op een nulverzameling.

5. Gegeven $y = \sum_n\beta_n2^{-n} \in \intcc01$ ( $\beta_n \in \{0,1\}$ ), heeft het punt $x = \sum_n2\beta_n3^{-n} \in C$ $c(x) = y$ door vraag 3: $c(C) = \intcc01$ , een verzameling van maat $1$ — de nulverzameling $C$ draagt, via $c$ , heel het interval.

6. $h$ is continu, en strikt stijgend ( $x$ is dat, $c$ is niet-dalend); $h(0) = 0$ , $h(1) = 1$ , dus door de tussenwaardestelling is $h$ een continue bijectie van $\intcc01$ ; een continue bijectie van een compacte ruimte naar een Hausdorff-ruimte is een homeomorfisme (Gevolg 6.14).

7. Op een spleet $(u, v)$ (lengte $\ell$ ) is $c$ constant, dus is $h$ affien met helling $\frac12$ : $h((u,v))$ is een interval van lengte $\frac\ell2$ . De spleten zijn disjunct en $h$ is injectief: de beelden zijn disjunct, van totale maat $\frac12\sum\ell = \frac12(1 - \lambda(C)) = \frac12$ .

8. $h(\intcc01) = \intcc01$ en $h(C)$ is compact (continu beeld), dus meetbaar, met

\lambda\bigl(h(C)\bigr) = 1 - \lambda\bigl(h(\intcc01\setminus C)\bigr) = 1 - \tfrac12 = \tfrac12 .

Een homeomorfisme kan een nulverzameling opblazen tot maat $\frac12$ : “topologische grootte” (categorie, dimensie) en “maat” worden door homeomorfismen zeer verschillend getransporteerd — alleen de eerste is een topologische invariant.

9. $Z = h^{-1}(W) \subseteq h^{-1}(h(C)) = C$ heeft $\lambda^*(Z) \leq \lambda(C) = 0$ : een nulverzameling, dus Lebesgue-meetbaar door volledigheid (Stelling 9.9).

10. Zij $\varphi$ continu en $\mathcal D = \{B : \varphi^{-1}(B) \in \mathcal B\}$ . Originelen commuteren met complementen en aftelbare unies, dus is $\mathcal D$ een $\sigma$ -algebra; zij bevat de open verzamelingen (continuïteit): $\mathcal D \supseteq \mathcal B$ — originelen van Borelverzamelingen onder continue afbeeldingen zijn Borel.

11. Als $Z$ Borel was, pas vraag 10 toe op de continue $\varphi = h^{-1}$ : $\varphi^{-1}(Z) = h(Z) = W$ zou Borel zijn, dus Lebesgue-meetbaar — in tegenspraak met de keuze van $W$ . Dus $Z \in \mathcal L \setminus \mathcal B$ : de $\sigma$ -algebra van Lebesgue bevat strikt die van Borel.

12. $g = \mathbf 1_Z$ is Lebesgue-meetbaar ( $Z \in \mathcal L$ ) en $\varphi = h^{-1}$ is continu, maar $(g\circ\varphi)^{-1}(\{1\}) = \varphi^{-1}(Z) = W$ is niet meetbaar: $g \circ \varphi$ is niet Lebesgue-meetbaar. De nodige zorg: “Lebesgue-meetbare functie” betekent dat originelen van Borelverzamelingen in $\mathcal L$ landen; composeren eist dat originelen van Lebesgue-verzamelingen Lebesgue zijn, wat continuïteit niet garandeert (hier $\varphi^{-1}(Z) \notin \mathcal L$ hoewel $\varphi$ een homeomorfisme is).

13. De ketens, met getuigen voor strengheid:

\{\text{aftelbaar}\} \subsetneq \{\text{Borel-nul}\} \subsetneq \{\text{Lebesgue-nul}\} \subsetneq \mathcal L \subsetneq \mathcal P(\R), \qquad \{\text{Borel-nul}\} \subsetneq \mathcal B \subsetneq \mathcal L .

Getuigen: $C$ is Borel, nul, overaftelbaar (eerste kloof); $Z$ is Lebesgue-nul maar niet Borel (tweede en, binnen $\mathcal B \subsetneq \mathcal L$ , zesde); een vette Cantorverzameling is Borel, nergens dicht, van positieve maat (scheidt nulverzamelingen van Borelverzamelingen); Vitali’s $V$ zit niet in $\mathcal L$ (laatste kloof). Maat, topologie en kardinaliteit snijden $\mathcal P(\R)$ langs werkelijk verschillende lijnen.

14. Uitwendige maat: $\mu_F^*(\varnothing) = 0$ (overdek door een verdwijnend interval), monotonie is duidelijk, en aftelbare subadditiviteit volgt door $\varepsilon2^{-k}$ -optimale overdekkingen te splicen, precies als voor $\lambda^*$ . De één-interval-overdekking geeft $\mu_F^*(\intoc ab) \leq F(b) - F(a)$ . Omgekeerd zij $\intoc ab \subseteq \bigcup_k\intoc{a_k}{b_k}$ . Door continuïteit van $F$ , kies $b_k' > b_k$ met $F(b_k') \leq F(b_k) + \varepsilon2^{-k}$ , en $a' \in \intoo ab$ met $F(a') \leq F(a) + \varepsilon$ . Het compactum $\intcc{a'}b$ wordt overdekt door de opens $\intoo{a_k}{b_k'}$ : eindig veel volstaan, en het ketenargument van Stelling 9.12 (loop van $a'$ naar $b$ door overlappende intervallen, telescopeer $F$ -incrementen, monotonie absorbeert overlappingen) levert $F(b) - F(a') \leq \sum_k(F(b_k') - F(a_k)) \leq \sum_k(F(b_k) - F(a_k)) + \varepsilon$ . Laat $\varepsilon \to 0$ : gelijkheid. (Continuïteit van $F$ is wat het openen van de intervallen tegen willekeurig kleine $F$ -kost toeliet.)

15. Het volstaat te bewijzen dat elke halfrechte $H_t = \intoc{-\infty}t$ Carathéodory-meetbaar is, want de meetbare verzamelingen vormen een $\sigma$ -algebra (Stelling 9.9) en halfrechten brengen $\mathcal B$ voort. Gegeven $A$ en een $\varepsilon$ -optimale overdekking $(\intoc{a_k}{b_k})$ van $A$ : elk interval splitst als $\intoc{a_k}{t\wedge b_k} \cup \intoc{t \vee a_k}{b_k}$ (één stuk eventueel leeg), met $F$ -kosten die precies optellen tot $F(b_k) - F(a_k)$ ; de eerste stukken overdekken $A \cap H_t$ , de tweede $A \setminus H_t$ . Dus $\mu_F^*(A\cap H_t) + \mu_F^*(A\setminus H_t) \leq \mu_F^*(A) + \varepsilon$ , en de omgekeerde ongelijkheid is subadditiviteit. Restrictie van de resulterende maat tot $\mathcal B$ : de Lebesgue–Stieltjes-maat $\mu_F$ .

16. $\mu(\R) = \lim_n(F(n) - F(-n)) = 1 - 0 = 1$ (continuïteit van de maat langs $\intoc{-n}n$ ). Op een spleet $\intoo uv$ van $C$ is $c$ constant, dus is elk halfopen deelinterval $\mu$ -nul en zo ook de spleet (aftelbare unie); buiten $\intcc01$ is $c$ eveneens constant. Dus $\mu(\R\setminus C) = 0$ , $\mu(C) = 1$ , terwijl $\lambda(C) = 0$ (Voorbeeld 9.14): elk van $\mu, \lambda$ wordt gedragen door een verzameling die de andere nul verklaart — onderling singulier.

17. $\mu(\{x\}) = \lim_{\delta\downarrow0} \mu(\intoc{x-\delta}x) = \lim(c(x) - c(x-\delta)) = 0$ door continuïteit van $c$ : geen atomen. Dus is $\mu$ een atoomloze kansmaat gedragen door een Lebesgue-nul compactum — noch diffuus-met-dichtheid zoals restricties van $\lambda$ , noch atomair zoals telmaten: een derde soort.

18. Het stuk $C_\varepsilon$ overspant een ternair interval $I_\varepsilon$ van lengte $3^{-m}$ , en Deel I vraag 3 toont dat over $I_\varepsilon$ de trap precies $2^{-m}$ klimt (de eerste $m$ binaire cijfers van $c$ zijn bevroren tot $\varepsilon$ , de rest veegt alles). Dus $\mu(C_\varepsilon) = \mu(I_\varepsilon) = c(\text{rechteruiteinde}) - c(\text{linkeruiteinde}) = 2^{-m}$ : diepte- $m$ cijfercilinders hebben alle massa $2^{-m}$ , de wet van $m$ eerlijke munten.

19. De rechterkant definieert de Borel-maat $\nu = \frac12\,(x \mapsto \tfrac x3)_*\mu + \frac12\,(x \mapsto \tfrac{x+2}3)_*\mu$ geëvalueerd in $A$ — kansmaat. Puntsgewijs, met $c$ globaal uitgebreid, controleert men gevalsgewijs ( $x \leq 0$ ; de drie derden; $x \geq 1$ ) de identiteit

c(x) = \tfrac12\,c(3x) + \tfrac12\,c(3x - 2),

b.v. op $\intcc{1/3}{2/3}$ : $\frac12\cdot1 + \frac12\cdot0 = \frac12 = c(x)$ . Evaluatie van $\nu$ op $\intoc ab$ geeft dus $c(b) - c(a) = \mu(\intoc ab)$ , en twee eindige maten die overeenstemmen op het $\pi$ -systeem van halfopen intervallen vallen samen op $\mathcal B$ (Stelling 9.7): $\nu = \mu$ .

20. Door inductie op $n$ : $c_0(1-x) = 1 - c_0(x)$ , en als $c_n$ de symmetrie heeft, dan voor $x \in \intcc0{1/3}$ : $c_{n+1}(1 - x) = \frac12 + \frac12c_n(3(1-x) - 2) = \frac12 + \frac12c_n(1 - 3x) = \frac12 + \frac12(1 - c_n(3x)) = 1 - c_{n+1}(x)$ ; het middelste derde spiegelt rond $\frac12$ ; het rechter derde is het linker geval gereflecteerd. In de limiet $c(1-x) = 1 - c(x)$ . Pushforward: $(s_*\mu)(\intoc ab) = \mu(\intco{1-b}{1-a}) = c(1-a) - c(1-b)$ ( $\mu$ atoomloos, vraag 17, dus randconventies kosten niets) $= (1 - c(a)) - (1 - c(b)) = \mu(\intoc ab)$ : $s_*\mu = \mu$ door uniciteit.

21. Zij $X \sim \mu$ (integralen van continue functies tegen $\mu$ bestaan als limieten van Riemann-type sommen over de diepte- $m$ -stukken, elk van massa $2^{-m}$ , met samplingfout $\leq \operatorname{osc} \leq \norm{f'}_\infty3^{-m}$ ; Hoofdstuk 10 zal dit systematiseren). Symmetrie: $1 - X \sim X$ , dus $\E X = \frac12$ . Zelfgelijkheid: $X$ heeft de wet van $\frac Y3$ met kans $\frac12$ en van $\frac{Y+2}3$ met kans $\frac12$ , $Y \sim \mu$ , dus

\E X^2 = \frac12\,\frac{\E Y^2}9 + \frac12\, \frac{\E Y^2 + 4\E Y + 4}{9} = \frac{2\E X^2 + 6}{18},

waaruit $\E X^2 = \frac38$ en $\operatorname{Var}X = \frac38 - \frac14 = \frac18$ . De uniforme wet heeft variantie $\frac1{12} < \frac18$ : Cantor-massa klemt zich vast aan de uiteinden.

22. $C$ is gesloten en $\mu(C) = 1$ . Als een open $I$ $C$ snijdt in $x$ , krimpen de diepte- $m$ -stukken die $x$ bevatten naar $x$ , dus enige $I_\varepsilon \subseteq I$ en $\mu(I) \geq 2^{-m} > 0$ : geen kleinere gesloten verzameling kan $\mu$ dragen. Punten buiten $C$ hebben spleetbuurten van $\mu$ -maat $0$ . Dus $\operatorname{supp}\mu = C$ precies.

23. Eén fenomeen, twee dialecten. Deel I zegt dat de groei van $c$ onzichtbaar is voor haar afgeleide: $c' = 0$ b.o., al het klimmen geconcentreerd op de nulverzameling $C$ . Deel V zegt dat de geassocieerde maat $\mu_c$ al haar massa op diezelfde nulverzameling legt: $\mu_c \perp \lambda$ , dus geen dichtheid $f \geq 0$ kan $\mu_c(A) = \int_Af\,\dd\lambda$ vervullen — een dichtheid dwingt verdwijning op $\lambda$ -nulverzamelingen. Het woordenboek: niet-dalende begrensde $F \leftrightarrow$ eindige maat $\mu_F$ (vragen 14–15); $F$ een integraal van haar afgeleide $\leftrightarrow$ $\mu_F$ heeft een dichtheid (het “absoluut continue” geval); en in het algemeen herstelt $F'$ , die b.o. bestaat voor monotone $F$ (differentiatiestelling van Lebesgue, voorbij dit hoofdstuk), alleen het dichtheidsdeel. De trap is het extreme: continu, met afgeleide $0$ b.o. — haar maat is zuiver singulier, en de fundamentele stelling van de calculus faalt, verre van per ongeluk, precies met het bedrag $\mu_c(\R) = 1$ aan singuliere massa.

24. Fixeer $x < y$ in $\intcc01$ en kies $m \geq 0$ met $3^{-(m+1)} < y - x \leq 3^{-m}$ . Over elk triadisch interval $\intcc{k3^{-m}}{(k+1)3^{-m}}$ klimt de trap ten hoogste $2^{-m}$ : zo’n interval is ofwel een van de $2^m$ stukken van $C_m$ , waar de klim precies $2^{-m}$ is (vraag 18), ofwel bevat in de afsluiting van een enkele spleet van enig stadium $\leq m$ , waar $c$ constant is. Omdat $y - x \leq 3^{-m}$ , snijdt het interval $\intcc xy$ ten hoogste twee opeenvolgende diepte- $m$ triadische intervallen, dus

c(y) - c(x) \leq 2\cdot2^{-m} = 2\bigl(3^{-m}\bigr)^{s} < 2\bigl(3(y - x)\bigr)^{s} = 4\,(y - x)^{s},

met $3^{s} = 2$ en $3^{-m} < 3(y - x)$ . Optimaliteit: de uiteinden $u < v$ van een diepte- $m$ Cantorstuk voldoen $v - u = 3^{-m}$ en $c(v) - c(u) = 2^{-m} = (v - u)^{s}$ ; een Hölder-grens $\abs{c(v) - c(u)} \leq K(v - u)^{t}$ met $t > s$ zou $K \geq 2^{-m}3^{mt} = (3^{t}/2)^{m} \to \infty$ dwingen (want $3^{t} > 3^{s} = 2$ ), en elk deelinterval van $\intcc01$ bevat zulke stukken, dus is de mislukking ook lokaal. Maatvorm: $\mu\bigl(\intcc{x-r}{x+r}\bigr) \leq c(x + r) - c(x - r) \leq 4(2r)^{s} = 4\cdot2^{s}r^{s} \leq 8r^{s}$ (waarden van $c$ uitgebreid tot $\R$ als in vraag 16; $\mu$ heeft geen atomen, vraag 17).

25. Schrijf $S_0(x) = \frac x3$ en $S_1(x) = \frac{x+2}3$ ; de hypothese zegt $\nu = \frac12(S_0)_*\nu + \frac12(S_1)_*\nu$ . Iteratie $m$ maal,

\nu = 2^{-m}\sum_{w \in \{0,1\}^m}(S_w)_*\nu, \qquad S_w = S_{w_1}\circ\dots\circ S_{w_m}.

Omdat $\nu$ door $\intcc01$ wordt gedragen en $S_w(\intcc01) = I_w$ , het diepte- $m$ Cantorstuk geïndexeerd door $w$ , is elk $(S_w)_*\nu$ een kansmaat gedragen door $I_w$ ; de $2^m$ stukken zijn paarsgewijs disjuncte gesloten intervallen van lengte $3^{-m}$ . Fixeer $\intoc ab$ en zij $N_m$ het aantal stukken $I_w \subseteq \intoc ab$ . Een stuk dat $\intoc ab$ snijdt zonder erin bevat te zijn moet $a$ of $b$ bevatten, en een punt ligt in ten hoogste één stuk, dus

2^{-m}N_m \leq \nu(\intoc ab) \leq 2^{-m}N_m + 2\cdot2^{-m}.

Dezelfde dubbele ongelijkheid geldt voor $\mu$ (vraag 19 geeft de identieke iteratie), met dezelfde telling $N_m$ . Dus $\abs{\nu(\intoc ab) - \mu(\intoc ab)} \leq 2^{-m+1} \to 0$ : $\nu$ en $\mu$ stemmen overeen op het $\pi$ -systeem van halfopen intervallen, en beide zijn kansmaten, dus Stelling 9.7 geeft $\nu = \mu$ . De trapmaat is dus het vaste punt van het twee-afbeeldingen-middelingsschema — de maat-niveau-uitspraak van de zelfgelijkheid van $C$ .

9.1 σ\sigmaσ-algebra’s

9.2 Maten

9.3 Uitwendige maten en de stelling van Carathéodory

9.4 Lebesgue-maat op R\RR

9.5 Oefeningen

9.6 Probleem: de trap van Cantor–Vitali en een meetbare verzameling die niet Borel is

9.1 $\sigma$ -algebra’s

9.4 Lebesgue-maat op $\R$