ما معنى فضاء مترابط؟

مثال 4.28

$GL_n(\R)$ غير مترابطة: فالمحدد $\det$ متصل (وهو كثير حدود في العناصر) على $\R^*$، وهذه غير مترابطة؛ وتقسم الصورتان العكسيتان للمجموعتين $\R_+^*$ و$\R_-^*$ المجموعةَ $GL_n(\R)$. (وكل قطعة مترابطة بالأقواس في الواقع — وهو تمرين لطيف يتجاوز حاجتنا.) وفي المقابل، $GL_n(\C)$ مترابطة بالأقواس: التمرين 4.10.

مثال 4.29 (نقطة ثابتة من الترابط وحده)

لكل تطبيق متصل $f \colon \intcc01 \to \intcc01$ نقطة ثابتة — بلا فرضية تقلّص وبلا تكرار. لننظر في $g(x) = f(x) - x$، وهي متصلة على المترابط $\intcc01$:

وتعطي مبرهنة القيم الوسطى (المبرهنة 4.27 (2)) جذرًا للدالة $g$، أي نقطة ثابتة للتطبيق $f$. وقارِن بمبرهنة باناخ (المبرهنة 4.12): فالوجود هنا طوبولوجي ومجاني، لكن الوحدانية والخوارزمية ضائعتان — فللتطبيق $f = \mathrm{id}$ كل نقطة ثابتة، وقد يدور تكرار تطبيق $f$ غير متقلّص إلى الأبد. ومبرهنتا النقطة الثابتة في هذا الفصل تجيبان عن سؤالين مختلفين بعملتين مختلفتين.

مثال 4.30 ($\R$ و$\R^2$ غير متماثلين طوبولوجيًا)

الترابط بصمة طوبولوجية. لنفترض أن $h \colon \R^2 \to \R$ تماثل طوبولوجي (أي تقابل متصل ذو مقلوب متصل). ونحذف نقطة واحدة $a \in \R^2$: فيبقى المقصور $h \colon \R^2\setminus\{a\} \to \R\setminus\{h(a)\}$ تماثلًا طوبولوجيًا. لكن $\R^2$ ناقصَ نقطة مترابط بالأقواس — فنصل أي نقطتين بقطعة، مع الالتفاف على قطعة ثانية عبر نقطة مساعدة إذا اعترضت $a$ الطريقَ المباشر — ومن ثم فهو مترابط (المبرهنة 4.27 (3))؛ في حين أن $\R$ ناقصَ نقطة ينقسم إلى نصفَي مستقيم مفتوحين غير خاليين: فهو غير مترابط. والترابط محفوظ بالتطبيقات المتصلة: وهو تناقض. فالمستوي والمستقيم مختلفان فعلًا بوصفهما فضاءين طوبولوجيين — وهي واقعة لا تراها القوة وحدها (فالتقابلات من نمط التمرين 1.3 موجودة فعلًا!) لشدة خشونتها.

مثال 6.22 (منحني جيب الطوبولوجي)

لتكن $\Gamma = \{(x, \sin\frac1x) : 0 < x \leq 1\}$ ولتكن $S = \bar\Gamma = \Gamma \cup (\{0\}\times[-1,1])$ (فكل نقطة $(0, y)$ مع $\abs y \leq 1$ نهايةٌ لنقط من $\Gamma$: بحل $\sin\frac1x = y$ قرب $0$). عندئذٍ تكون $S$ مترابطة — لأنها غلق المجموعة المترابطة $\Gamma$، وهي صورة متصلة للفترة $(0, 1]$ (المبرهنة 6.20(3)) — لكنها غير مترابطة بالمسارات: إذ إن مسارًا من $(1, \sin 1)$ إلى $(0,0)$ سيضطر إلى قطع فواصل $\to 0$ بينما يتذبذب الترتيب بين $\pm1$؛ ويجعل التمرين 6.9 ذلك دقيقًا. فالترابط والترابط بالمسارات مختلفان فعلًا.