Universitaire natuurkunde — jaar 2 · Bachelor Year 2

16Geleide golven en trilholten

De puls van een radar reist van de zender naar de schotel binnen een rechthoekige koperen pijp; het licht van een internetverbinding reist tienduizend kilometer binnen een glasdraad dunner dan een haar; de microgolven van een oven kaatsen tussen de wanden en zetten zich tot een patroon van warme en koude plekken. Een golf die door geleidende of brekende wanden is opgesloten, is geen vlakke golf meer die overal heen mag: zij moet aan de randvoorwaarden op de wanden voldoen, en dat selecteert de gedaanten die zij mag aannemen — de modes — en verbiedt haar onder een afsnijfrequentie. Dit hoofdstuk bouwt de eenvoudigste golfgeleider, twee evenwijdige geleidende platen, uit de reflecties van Hoofdstuk 15; daarna de rechthoekige golfgeleider, de gesloten trilholte, en, in het stralenbeeld, de glasvezel.

16.1 Golven tussen twee geleidende platen

Propositie 16.1 (Modes van de vlakkeplatengeleider)

Twee volmaakt geleidende vlakken $y = 0$ en $y = a$ begrenzen een vacuüm. Zoek een golf die langs $z$ loopt met $\vect E = E(y)\,\eu^{\iu(\omega t - k_gz)} \vect e_x$ (het veld evenwijdig aan de platen en loodrecht op de voortplanting). De vergelijkingen van Maxwell in vacuüm en de voorwaarde $E = 0$ op de platen leggen op dat

E(y) = E_0\sin\frac{n\pi y}a , \qquad k_g^2 = \frac{\omega^2}{c^2} - \Bigl(\frac{n\pi}a\Bigr)^2 , \qquad n = 1, 2, \dots

Mode $n$ plant zich alleen voort boven zijn afsnijfrequentie $f_n = nc/2a$ ; daaronder is $k_g$ imaginair en dooft het veld langs de geleider uit. Zijn fase- en groepssnelheid zijn

v_\varphi = \frac c{\sqrt{1 - f_n^2/f^2}} > c , \qquad v_g = c\sqrt{1 - f_n^2/f^2} < c , \qquad v_\varphi v_g = c^2 ,

en zijn magnetische veld heeft componenten langs $y$ en langs $z$ : een geleide golf is niet transversaal in de voortplantingsrichting.

Bewijs. Vul in $\Delta\vect E = \partial_t^2\vect E/c^2$ in: $E'' - k_g^2E = -(\omega^2/c^2)E$ , d.w.z. $E'' + (\omega^2/c^2 - k_g^2)E = 0$ , waarvan de oplossingen die in $y = 0$ en $y = a$ verdwijnen de sinussen zijn met $\omega^2/c^2 - k_g^2 = (n\pi/a)^2$ ; $\operatorname{div} \vect E = 0$ geldt omdat $E_x$ niet van $x$ afhangt. Faraday geeft $\underline B_y = (k_g/\omega)\underline E$ en $\underline B_z = (\iu/\omega)\partial_y\underline E$ , de laatste in kwadratuur. De snelheden volgen uit de vorm van Klein–Gordon van de dispersierelatie (Hoofdstuk 8). ∎

Opmerking 16.2 (De mode als twee vlakke golven)

$\sin(n\pi y/a)\eu^{-\iu k_gz}$ is de som van twee vlakke golven met golfvectoren $(0, \pm n\pi/a, k_g)$ en modulus $\omega/c$ , die tussen de platen kaatsen onder de hoek $\theta$ met de as, waarvoor $\cos\theta = k_gc/\omega$ : een geleide mode is een vlakke golf die tussen de wanden zigzagt en aan elke wand met $r = -1$ wordt teruggekaatst, waarbij de transversale staande golf de voorwaarde is dat zij constructief met zichzelf interfereert. De energie reist langs de zigzag met $c$ , dus langs de as met $c\cos\theta = v_g$ ; de snijpunten van de golftoppen met de as lopen met $c/\cos\theta = v_\varphi$ . Bij de afsnijding kaatst de golf alleen nog dwars heen en weer en komt zij nergens.

Links: een geleide mode is een vlakke golf die tussen de platen kaatst; de hoek opent zich naarmate de frequentie de afsnijding nadert. Rechts: de transversale profielen E(y) van de eerste twee modes, die op de geleidende wanden verdwijnen. — Links: een geleide mode is een vlakke golf die tussen de platen kaatst; de hoek $\theta$ opent zich naarmate de frequentie de afsnijding nadert. Rechts: de transversale profielen $E(y)$ van de eerste twee modes, die op de geleidende wanden verdwijnen.

Links: de dispersiekrommen van de eerste drie modes van een geleider, elk een hyperbool die bij haar afsnijding begint. Rechts: fase- en groepssnelheid van een mode tegen de frequentie; de energie kruipt nabij de afsnijding en nadert c ver erboven. — Links: de dispersiekrommen van de eerste drie modes van een geleider, elk een hyperbool die bij haar afsnijding begint. Rechts: fase- en groepssnelheid van een mode tegen de frequentie; de energie kruipt nabij de afsnijding en nadert $c$ ver erboven.

Voorbeeld 16.3 (Getallen)

Platen op $3\,\mathrm{cm}$ afstand: $f_1 = 5\,\mathrm{GHz}$ , $f_2 = 10\,\mathrm{GHz}$ ; tussen die frequenties plant zich maar één mode voort (enkelmodig bedrijf, dat voorkomt dat een puls in verscheidene modes met verschillende $v_g$ uiteenvalt). Bij $8\,\mathrm{GHz}$ heeft de mode $n = 1$ de waarden $v_g = 0.78c$ , $v_\varphi = 1.28c$ , en de golflengte in de geleider $\lambda_g = 2\pi/k_g = 4.8\,\mathrm{cm}$ in plaats van $3.75\,\mathrm{cm}$ in de vrije ruimte. Bij $4\,\mathrm{GHz}$ komt er niets doorheen: het veld dooft uit als $\eu^{-z/\ell}$ met $\ell = c/2\pi\sqrt{f_1^2 - f^2} = 1.6\,\mathrm{cm}$ — het beginsel van het gaas in een ovendeur, van de golfgeleider onder de afsnijding die als geijkte verzwakker wordt gebruikt, en van de metalen ventilatiekanalen die lucht doorlaten maar geen radiogolven.

16.2 De rechthoekige golfgeleider en de trilholte

Propositie 16.4 (De rechthoekige geleider; de TE $_{10}$ -mode)

Een holle metalen pijp met rechthoekige doorsnede $a \times b$ ( $a > b$ ) draagt modes waarvan de afsnijfrequenties

f_{mn} = \frac c2\sqrt{\Bigl(\frac ma\Bigr)^2 + \Bigl(\frac nb\Bigr)^2} ;

zijn; de laagste, de TE $_{10}$ -mode ( $f_{10} = c/2a$ ), heeft $\vect E = E_0\sin (\pi x/a)\,\eu^{\iu(\omega t - k_gz)}\,\vect e_y$ : één halve sinus over de brede zijde, uniform over de smalle zijde, verdwijnend op de twee wanden $x = 0$ en $x = a$ — precies de mode van de vlakke platen, waarbij de zijwanden $y = 0$ en $b$ loodrecht op $\vect E$ staan en haar niets opleggen. De geleider wordt tussen $f_{10}$ en de volgende afsnijding gebruikt; zijn magnetische veldlijnen sluiten zich in het $xz$ -vlak, en de stromen die zij in de wanden opwekken zijn wat een sleuf niet mag doorsnijden. Het gedragen vermogen is $\tfrac14\varepsilon_0cE_0^2\,ab \sqrt{1 - f_{10}^2/f^2}$ .

Bewijs. De algemene mode bestaat uit producten van $\cos$ en $\sin$ in $x$ en $y$ met de randvoorwaarden op de vier wanden, wat $k_g^2 = \omega^2/c^2 - (m\pi/a)^2 - (n\pi/b)^2$ geeft (in het algemeen aangenomen; het geval TE $_{10}$ is de bovenstaande propositie). Vermogen: de gemiddelde poyntingvector langs $z$ is $E_0^2\sin^2(\pi x/a) \,k_g/2\mu_0\omega$ , geïntegreerd over de doorsnede. ∎

De TE_10-mode van een rechthoekige geleider: het elektrische veld overspant de smalle afmeting met een profiel van een halve sinus over de brede; het magnetische veld sluit zich in lussen in het vlak van de brede vlakken, een halve geleidergolflengte lang. — De TE $_{10}$ -mode van een rechthoekige geleider: het elektrische veld overspant de smalle afmeting met een profiel van een halve sinus over de brede; het magnetische veld sluit zich in lussen in het vlak van de brede vlakken, een halve geleidergolflengte lang.

Propositie 16.5 (Trilholte)

Een geleider met twee geleidende wanden op een afstand $d$ afsluiten maakt er een trilholte van, waarin de geleide golf ook langs $z$ een staande golf moet vormen: $k_g = p\pi/d$ , en de resonantiefrequenties van een rechthoekige doos $a \times b \times d$ zijn

f_{mnp} = \frac c2\sqrt{\Bigl(\frac ma\Bigr)^2 + \Bigl(\frac nb\Bigr)^2 + \Bigl(\frac pd\Bigr)^2} .

Het aantal modes met een frequentie onder $f$ groeit als $8\pi V f^3/3c^3$ voor een doos met volume $V$ (aangenomen: tel de punten van het rooster $(m/2a, n/2b, p/2d)$ in een achtste bol, met twee polarisaties) — de modedichtheid die de theorie van de warmtestraling nodig zal hebben (Hoofdstuk 26). Elke mode heeft een kwaliteitsfactor $Q$ die door de wandverliezen wordt bepaald (de oppervlakteweerstand van Hoofdstuk 14), doorgaans $10^3$ – $10^4$ voor koper bij microgolffrequenties en $10^{10}$ voor een supergeleidende trilholte.

Bewijs. Staande golven langs de drie richtingen met knopen op de zes wanden; de golfvector $(m\pi/a, n\pi/b, p\pi/d)$ heeft modulus $\omega/c$ . ∎

Voorbeeld 16.6 (Ovens, radars, klokken)

Een magnetronoven van $30 \times 30 \times 20$ cm $^3$ heeft nabij $2.45\,\mathrm{GHz}$ tientallen modes binnen enkele procenten van de frequentie van de magnetron: het veld is een superpositie van staande golven met maxima op $6\,\mathrm{cm}$ afstand, die het draaiplateau (en een “modemenger”) uitsmeert. De magnetron van een radar is zelf een trilholte; een deeltjesversneller is een keten van supergeleidende trilholten waarvan de TM-mode de pakketjes voortduwt; de atomen van een cesiumklok doorkruisen een microgolftrilholte die op $9.19\,\mathrm{GHz}$ is afgestemd.

16.3 De glasvezel in het stralenbeeld

Propositie 16.7 (Sprongindexvezel)

Een glaskern met brekingsindex $n_1$ , omgeven door een mantel met een iets lagere brekingsindex $n_2$ , geleidt licht door totale interne weerkaatsing aan de rand van de kern. Een straal die vanuit de lucht onder de hoek $\alpha$ met de as het eindvlak binnenkomt, blijft gevangen als $\sin\alpha < \sqrt{n_1^2 - n_2^2}$ , de numerieke apertuur; stralen onder verschillende hoeken leggen verschillende lengtes af, en een puls die een vezel met lengte $L$ binnenkomt, wordt uitgespreid over

\Delta t = \frac{n_1L}c\Bigl(\frac{n_1}{n_2} - 1\Bigr) ,

de modale dispersie — zo’n $50\,\mathrm{ns}$ per kilometer voor $n_1 - n_2 = 0.01$ , wat een multimodige vezel over tien kilometer tot enkele megabits per seconde begrenst. Een enkelmodige vezel heeft een kern die zo dun is ( $9\,\text{µ}\mathrm{m}$ ) dat zich maar één mode voortplant, net als de geleider tussen zijn eerste twee afsnijdingen; wat overblijft is de chromatische dispersie van het glas (Hoofdstuk 8).

Bewijs. Totale reflectie aan het grensvlak kern–mantel vereist $\sin\theta > n_2/n_1$ voor de hoek $\theta$ met de normaal op de rand, dus $\cos \theta' > n_2/n_1$ voor de hoek $\theta'$ met de as binnenin; de breking aan de ingang geeft $\sin\alpha = n_1\sin\theta'$ , waaruit $\sin\alpha < n_1\sqrt{1 - n_2^2/n_1^2}$ . De steilste gevangen straal legt $L/\cos\theta' = Ln_1/n_2$ af tegen $L$ voor de axiale, met $c/n_1$ . ∎

Een sprongindexvezel in het stralenbeeld: stralen binnen de aanvaardingskegel worden door totale interne weerkaatsing gevangen; de zigzaggende straal komt na de axiale aan — modale dispersie.

Methode 16.8 (Boekhouden aan geleide golven)

(1) Bepaal de wanden en hun voorwaarde (tangentiële $\vect E = 0$ op een geleider; totale reflectie voor een diëlektricum). (2) Schrijf het veld als een transversale staande golf maal een lopende factor langs de geleider; de randvoorwaarden kwantiseren het transversale golfgetal. (3) De dispersierelatie $k_g^2 = \omega^2/c^2 - k_\perp^2$ geeft de afsnijding, $v_\varphi$ , $v_g$ en $\lambda_g$ . (4) Tel de zich voortplantende modes bij de werkfrequentie; streef naar één. (5) Voeg voor een trilholte de longitudinale voorwaarde toe en bepaal de resonantiefrequenties; gebruik voor de verliezen de oppervlakteweerstand.

16.4 Oefeningen

Oefening 16.1 ★

Platen op $2.0\,\mathrm{cm}$ afstand: afsnijfrequenties van de eerste drie modes; welke modes planten zich voort bij $12\,\mathrm{GHz}$ , en voor de eerste $k_g$ , $\lambda_g$ , $v_\varphi$ en $v_g$ ; bij $6\,\mathrm{GHz}$ de uitdooflengte van het veld.

Oplossing

Oplossing van Oefening 16.1.

$f_n = nc/2a = 7.5$ , $15$ , $22.5\,\mathrm{GHz}$ . Bij $12\,\mathrm{GHz}$ alleen $n = 1$ : $k_g = (2\pi/c)\sqrt{f^2 - f_1^2} = 196\,\mathrm{rad}/\mathrm{m}$ , $\lambda_g = 3.2\,\mathrm{cm}$ , $v_\varphi = c/0.78 = 3.8 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $v_g = 2.3 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Bij $6\,\mathrm{GHz}$ : $\ell = c/2\pi\sqrt{f_1^2 - f^2} = 1.1\,\mathrm{cm}$ .

Oefening 16.2 ★

Een standaard golfgeleider voor de X-band heeft $a = 22.9\,\mathrm{mm}$ en $b = 10.2\,\mathrm{mm}$ . Afsnijding van TE $_{10}$ , van TE $_{20}$ en van TE $_{01}$ ; de enkelmodige band; bij $10\,\mathrm{GHz}$ : $\lambda_g$ , $v_g$ , en de hoek van de zigzag. Waarom is $b \approx a/2$ een goede keuze?

Oplossing

Oplossing van Oefening 16.2.

TE $_{10}$ $6.55\,\mathrm{GHz}$ , TE $_{20}$ $13.1\,\mathrm{GHz}$ , TE $_{01}$ $14.7\,\mathrm{GHz}$ : enkelmodig van $6.55$ tot $13.1\,\mathrm{GHz}$ . Bij $10\,\mathrm{GHz}$ : $\sqrt{1 - (6.55/10)^2} = 0.756$ , $\lambda_g = 4.0\,\mathrm{cm}$ , $v_g = 0.76c$ , $\cos\theta = 0.756$ , $\theta = 41{}^{\circ}$ . Met $b \approx a/2$ blijft TE $_{01}$ boven TE $_{20}$ (de breedst mogelijke enkelmodige band) terwijl er zo veel mogelijk ruimte voor het veld overblijft (vermogen vóór doorslag).

Oefening 16.3 ★

Een trilholte van $30 \times 30 \times 20$ cm $^3$ : frequenties van de modes $(1,1,0)$ , $(1,0,1)$ , $(2,1,1)$ en $(3,2,1)$ ; aantal modes onder $2.5\,\mathrm{GHz}$ uit de telformule; de laagste mode van een kubische trilholte van $9.19\,\mathrm{GHz}$ — haar ribbe.

Oplossing

Oplossing van Oefening 16.3.

$f = 1.5 \times 10^8\sqrt{(m/0.3)^2 + (n/0.3)^2 + (p/0.2)^2}$ : $0.71\,\mathrm{GHz}$ , $0.90\,\mathrm{GHz}$ , $1.35\,\mathrm{GHz}$ , $1.95\,\mathrm{GHz}$ . $N = 8\pi Vf^3/3c^3 = 8\pi \times 0.018 \times 1.56 \times 10^{28}/ 8.1 \times 10^{25} \approx 260$ . Kubus: $f = c\sqrt2/2L$ , $L = 2.3\,\mathrm{cm}$ .

Oefening 16.4 ★

Een vezel heeft $n_1 = 1.48$ en $n_2 = 1.46$ . Numerieke apertuur en halve aanvaardingshoek; modale spreiding per kilometer; maximale bitsnelheid over $2\,\mathrm{km}$ als één bit langer moet duren dan de spreiding; hetzelfde met $n_1 - n_2 = 0.003$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 16.4.

$\mathrm{NA} = \sqrt{1.48^2 - 1.46^2} = 0.24$ , $14{}^{\circ}$ ; $\Delta t = (n_1L/c)(n_1/n_2 - 1) = 68\,\mathrm{ns}/\mathrm{km}$ ; $135\,\mathrm{ns}$ over $2\,\mathrm{km}$ : $7\,\mathrm{Mbit}/\mathrm{s}$ ; met $0.003$ : $10\,\mathrm{ns}/\mathrm{km}$ , $50\,\mathrm{Mbit}/\mathrm{s}$ .

Oefening 16.5 ★★

Voor de mode $n = 1$ van de vlakke platen: (a) bepaal $\vect B$ uit de wet van Faraday en toon aan dat zij een $z$ -component in kwadratuur met $E$ heeft. (b) Oppervlaktestroom op elke plaat (overgangsrelatie). (c) Gemiddelde poyntingvector langs $z$ en het vermogen per eenheid breedte; ga na dat haar transversale component gemiddeld nul is. (d) Toon aan dat de energiesnelheid, het vermogen gedeeld door de gemiddelde energie per lengte-eenheid, gelijk is aan $v_g$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 16.5.

(a) $\underline B_y = (k_g/\omega)\underline E$ , $\underline B_z = (\iu/\omega)\partial_y\underline E = (\iu\pi/a\omega) E_0\cos(\pi y/a)\eu^{\iu(\omega t - k_gz)}$ : in kwadratuur. (b) In $y = 0$ is $B_y = 0$ en $\vect j_s = \vect e_y\wedge\vect B/\mu_0 = (B_z/\mu_0)\vect e_x$ : langs het veld. (c) $\langle\Pi_z\rangle = E_0^2k_g\sin^2(\pi y/a)/2\mu_0\omega$ , vermogen per eenheid breedte $E_0^2k_ga/4\mu_0\omega$ ; $\langle\Pi_y\rangle \propto \operatorname{Re}(\underline E\,\iu\underline B_z^*) = 0$ . (d) Gemiddelde energie per lengte- en breedte-eenheid $\tfrac14\varepsilon_0E_0^2a$ (elektrische en magnetische helft elk $\tfrac18\varepsilon_0E_0^2a$ ); de verhouding is $c^2k_g/\omega = v_g$ .

Oefening 16.6 ★★

Onder de afsnijding. (a) Een gat van $1\,\mathrm{mm}$ in het gaas van $0.5\,\mathrm{mm}$ in een ovendeur bij $2.45\,\mathrm{GHz}$ : behandel het als een geleider met breedte $a = 1\,\mathrm{mm}$ ; uitdooflengte en verzwakking over de plaat in dB (vergelijk Hoofdstuk 14). (b) Een ventilatiekanaal met een doorsnede van $20\,\mathrm{cm}$ in een afgeschermde ruimte: tot welke frequentie houdt het radiogolven tegen, en met hoeveel verzwakt het $100\,\mathrm{MHz}$ over $1\,\mathrm{m}$ ? (c) Een “verzwakker met een golfgeleider onder de afsnijding” gebruikt een buis met een diameter van $1\,\mathrm{cm}$ bij $1\,\mathrm{GHz}$ : verzwakking per centimeter (gebruik de formule voor platen met $a = 1\,\mathrm{cm}$ als schatting). (d) Waarom hangt de verzwakking niet van de geleidbaarheid van de wand af?

Oplossing

Oplossing van Oefening 16.6.

(a) $f_1 = 150\,\mathrm{GHz} \gg f$ : $\ell \approx a/\pi = 0.32\,\mathrm{mm}$ ; $\eu^{-0.5/0.32}$ : $-14\,\mathrm{dB}$ in amplitude, $-27$ in vermogen. (b) $f_1 = 750\,\mathrm{MHz}$ ; bij $100\,\mathrm{MHz}$ is $\ell = 6.4\,\mathrm{cm}$ : $-136\,\mathrm{dB}$ over een meter. (c) $f_1 = 15\,\mathrm{GHz}$ , $\ell = 3.2\,\mathrm{mm}$ : $27\,\mathrm{dB}/\mathrm{cm}$ . (d) De golf past er niet in; evanescentie is meetkunde, geen dissipatie.

Oefening 16.7 ★★

Vermogen en doorslag. De X-bandgeleider van Oefening 16.2 draagt TE $_{10}$ bij $10\,\mathrm{GHz}$ . (a) Vermogen voor $E_0 = 1\,\mathrm{MV}/\mathrm{m}$ . (b) Lucht slaat door bij $3\,\mathrm{MV}/\mathrm{m}$ : maximaal vermogen; hoe dragen radars megawatten (drukvulling, gassen)? (c) Wandverliezen: de oppervlaktestroom aan de brede wand is van de orde $E_0/\mu_0c$ ; schat met $R_s = 0.026\,\Omega$ voor koper bij $10\,\mathrm{GHz}$ het verlies per meter en de verzwakking in dB/m. (d) Vergelijk met de $0.5\,\mathrm{dB}/\mathrm{m}$ van een coaxkabel: waarom worden bij deze frequenties geleiders gebruikt?

Oplossing

Oplossing van Oefening 16.7.

(a) $P = \tfrac14\varepsilon_0cE_0^2ab\sqrt{1 - f_{10}^2/f^2} = 120\,\mathrm{kW}$ . (b) $\times9$ : $1\,\mathrm{MW}$ ; stikstof onder druk of SF $_6$ verhogen het doorslagveld. (c) $j_s \approx E_0/\mu_0c = 2.7\,\mathrm{kA}/\mathrm{m}$ ; $\tfrac12R_sj_s^2 = 9 \times 10^{4}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ over $2a = 0.046\,\mathrm{m}^{2}$ per meter: $4\,\mathrm{kW}/\mathrm{m}$ , $3.5\%$ per meter, ongeveer $0.15\,\mathrm{dB}/\mathrm{m}$ . (d) Drie keer minder dan de kabel, en megawatten in plaats van kilowatten.

Oefening 16.8 ★★

Kwaliteit van een trilholte. Een kubische koperen trilholte met ribbe $10\,\mathrm{cm}$ in haar laagste mode. (a) Frequentie. (b) De opgeslagen energie is $\tfrac12\varepsilon_0E_0^2V/4$ (aangenomen) en het wandverlies $\tfrac12R_sH_0^2\times$ oppervlak met $H_0 \approx E_0/ \mu_0c$ en $R_s = 1/\gamma\delta$ : kwaliteitsfactor $Q = \omega W/P$ — bereken die. (c) Bandbreedte $f/Q$ van de resonantie; uitgalmtijd $Q/\omega$ . (d) Een supergeleidende trilholte heeft $R_s \sim 1 \times 10^{-8}\,\Omega$ : $Q$ , en waarom versnellers ze gebruiken.

Oplossing

Oplossing van Oefening 16.8.

(a) $f = c\sqrt2/2L = 2.12\,\mathrm{GHz}$ . (b) $\delta = 1.4\,\text{µ}\mathrm{m}$ , $R_s = 12\,\mathrm{m}\Omega$ ; $W = \varepsilon_0E_0^2V/8 = 1.1 \times 10^{-15}\,E_0^2$ ; $P = \tfrac12R_s(E_0/377)^2 \times 6L^2 = 2.5 \times 10^{-9}\,E_0^2$ : $Q = \omega W/P \approx 6000$ . (c) $360\,\mathrm{kHz}$ ; $0.45\,\text{µ}\mathrm{s}$ . (d) $Q \sim 10^{10}$ : een veld van tientallen megavolt per meter wordt dan met kilowatten in plaats van gigawatten onderhouden.

Oefening 16.9 ★★

Modes tellen. (a) Toon aan dat het aantal modes van een doos met volume $V$ met een frequentie onder $f$ gelijk is aan $N(f) = 8\pi Vf^3/3c^3$ (de punten $(m, n, p)$ in het achtste van een bol met straal $2fL/c$ voor een kubus, met twee polarisaties). (b) Het aantal modes per volume-eenheid en per frequentie, $\dd N/V\dd f = 8\pi f^2/c^3$ . (c) Een kamer van $1\,\mathrm{m}^{3}$ : modes per hertz bij $1\,\mathrm{GHz}$ ; en bij $500\,\mathrm{THz}$ (zichtbaar licht). (d) Waarom heeft een kleine trilholte schaarse modes en een grote kamer een continuüm — en wat is het geval van de oven bij $2.45\,\mathrm{GHz}$ ?

Oplossing

Oplossing van Oefening 16.9.

(a) De punten $(m, n, p)$ met $m^2 + n^2 + p^2 \le (2fL/c)^2$ vullen een achtste bol: $\tfrac18\cdot\tfrac43\pi(2fL/c)^3$ , maal twee polarisaties: $8\pi L^3f^3/3c^3$ . (b) $8\pi f^2/c^3$ . (c) $9 \times 10^{-7}$ per hertz (één per megahertz) bij $1\,\mathrm{GHz}$ ; $2 \times 10^5$ per hertz bij $500\,\mathrm{THz}$ . (d) Modes zijn discreet zolang hun onderlinge afstand hun breedte overtreft; in de oven is dat ongeveer één mode per $10\,\mathrm{MHz}$ rond $2.45\,\mathrm{GHz}$ — tientallen binnen enkele procenten.

Oefening 16.10 ★★★

TE $_{10}$ volledig. In de geleider $0 < x < a$ , $0 < y < b$ geldt $\vect E = E_0\sin(\pi x/a)\eu^{\iu(\omega t - k_gz)}\vect e_y$ . (a) Bepaal $\underline B_x$ en $\underline B_z$ uit Faraday; ga $\operatorname{div}\vect B = 0$ na. (b) Ga Maxwell–Ampère in vacuüm na en vind $k_g^2 = \omega^2/c^2 - (\pi/a)^2$ terug. (c) Oppervlaktestromen op de vier wanden (de brede wanden $y = 0$ en $b$ en de smalle wanden $x = 0$ en $a$ ); welke stromen lopen langs $z$ , welke dwars? (d) Een sleuf die langs $z$ in het midden van een brede wand is gesneden, straalt niet, een sleuf dwars erop wel: verklaar dat.

Oplossing

Oplossing van Oefening 16.10.

(a) Uit $\operatorname{\vect{curl}}\vect E = -\partial_t\vect B$ :

\underline B_x = -\frac{k_g}\omega\underline E , \qquad \underline B_z = \frac{\iu\pi}{a\omega}E_0\cos\frac{\pi x}a\,\eu^{\iu(\omega t - k_gz)} ,

en $\partial_xB_x + \partial_zB_z = -(k_g\pi/a\omega)E_0\cos(\pi x/a) + (k_g\pi/a\omega)E_0 \cos(\pi x/a) = 0$ . (b) $(\operatorname{\vect{curl}}\vect B)_y = \partial_zB_x - \partial_xB_z = (\iu/\omega)(k_g^2 + \pi^2/a^2)\underline E = (\iu\omega/c^2)\underline E$ : $k_g^2 = \omega^2/c^2 - \pi^2/a^2$ . (c) Brede wanden: $\vect j_s = \pm(B_z\vect e_x - B_x\vect e_z)/\mu_0$ — langs $z$ als $\sin(\pi x/a)$ , dwars als $\cos(\pi x/a)$ (nul in het midden); smalle wanden: alleen langs $y$ . (d) Een sleuf in het midden en in de lengterichting snijdt alleen dwarse stromen door, die daar verdwijnen; een dwarse sleuf snijdt de langsstromen door en straalt: de sleufantenne in een golfgeleider.

Oefening 16.11 ★★★

Diëlektrische geleider. Een plaat met brekingsindex $n_1$ en dikte $a$ in een medium $n_2 < n_1$ geleidt licht door totale reflectie. (a) Voor een straal onder de hoek $\theta$ met de normaal op de vlakken luidt de geleidingsvoorwaarde dat de fase van de heen-en-terugreis door de plaat, $2k_0n_1a\cos\theta - 2\varphi_r$ ( $\varphi_r$ de faseverschuiving van de totale reflectie, hier $\approx 0$ genomen), een veelvoud van $2\pi$ is: aantal modes voor $a = 50\,\text{µ}\mathrm{m}$ , $\lambda = 1.5\,\text{µ}\mathrm{m}$ , $n_1 = 1.48$ en $n_2 = 1.46$ (neem het aantal modes $\approx 2a\sqrt{n_1^2 - n_2^2}/\lambda$ per polarisatie aan). (b) Dikte voor één enkele mode. (c) Vergelijk met de kern van $9\,\text{µ}\mathrm{m}$ van een enkelmodige vezel. (d) Waarom kan de diëlektrische geleider, anders dan de metalen, geen afsnijding voor zijn laagste mode hebben?

Oplossing

Oplossing van Oefening 16.11.

(a) $2a\sqrt{n_1^2 - n_2^2}/\lambda = 2 \times 50 \times 0.242/1.5 \approx 16$ per polarisatie. (b) $a < \lambda/2\mathrm{NA} = 3.1\,\text{µ}\mathrm{m}$ . (c) Een ronde kern met $\mathrm{NA} = 0.12$ is enkelmodig onder $d = 2.405\lambda/\pi\mathrm{NA} = 10\,\text{µ}\mathrm{m}$ : de standaard van $9\,\text{µ}\mathrm{m}$ . (d) Een scherende straal wordt altijd volledig teruggekaatst: de laagste mode bestaat bij elke frequentie, en haar evanescente staarten spreiden zich alleen verder in de mantel uit.

Oefening 16.12 ★★★

Gradiëntindexvezel. Om de modale dispersie te verkleinen daalt de brekingsindex van de kern van de as naar buiten toe, $n(r) = n_1\sqrt{1 - 2\Delta(r/a)^2}$ met $\Delta \approx 0.01$ . (a) Leg kwalitatief uit waarom een straal buiten de as, hoewel langer, er evenveel tijd over kan doen als de axiale. (b) Toon met de stralenvergelijking in een gelaagd medium, $n(r)\cos\theta(r) =$ const, aan dat een straal die vanaf de as onder een kleine hoek vertrekt, er sinusvormig omheen slingert (ontwikkel $n$ tot tweede orde). (c) Periode van die slingering voor $a = 25\,\text{µ}\mathrm{m}$ . (d) De resterende modale spreiding is van de orde $n_1L\Delta^2/2c$ : waarde per kilometer, vergeleken met de $n_1L\Delta/c$ van de sprongindex.

Oplossing

Oplossing van Oefening 16.12.

(a) De straal buiten de as brengt haar tijd door in een lagere brekingsindex, waar het licht sneller gaat: de langere weg wordt gecompenseerd. (b) $n(r)\cos\theta = n_1\cos\theta_0$ met $n \approx n_1(1 - \Delta r^2/a^2)$ en $\cos\theta \approx 1 - \theta^2/2$ : $(\dd r/\dd z)^2 = \theta_0^2 - 2\Delta r^2/a^2$ , een harmonische slingering $r = r_0\sin(\sqrt{2\Delta}\,z/a)$ . (c) $2\pi a/\sqrt{2\Delta} = 1.1\,\mathrm{mm}$ . (d) $n_1L\Delta^2/2c = 0.25\,\mathrm{ns}/\mathrm{km}$ tegen $49\,\mathrm{ns}/\mathrm{km}$ : tweehonderd keer beter.

Glasvezels die vanaf hun verre uiteinden worden belicht: licht dat door totale interne weerkaatsing gevangen zit in een kern dunner dan een haar, en door elke zachte bocht wordt geleid.

16.5 Vraagstuk: De ovenholte en de glasvezel

Probleem 16.1

Weekendvraagstuk — twee stelsels met geleide golven in elke keuken en elke stad: de oven die met staande golven kookt en de vezel die het internet draagt

Deel I — Van de magnetron naar de trilholte. Een magnetron voedt $800\,\mathrm{W}$ bij $2.45\,\mathrm{GHz}$ in een rechthoekige golfgeleider ( $a = 8.6\,\mathrm{cm}$ , $b = 4.3\,\mathrm{cm}$ ) die in de ovenholte uitmondt ( $30 \times 30 \times 20$ cm $^3$ ); de wanden zijn van staal, $\gamma = 1 \times 10^{6}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$ .

Afsnijfrequenties van de modes TE $_{10}$ , TE $_{20}$ en TE $_{01}$ van de geleider; ga na dat bij $2.45\,\mathrm{GHz}$ alleen TE $_{10}$ zich voortplant.
Golflengte in de geleider, fase- en groepssnelheid bij $2.45\,\mathrm{GHz}$ .
Veldamplitude $E_0$ in de geleider voor $800\,\mathrm{W}$ (de vermogensformule van TE $_{10}$ ); vergelijk met het doorslagveld van lucht.
Amplitude van de oppervlaktestroom op de brede wand (van de orde $E_0/\mu_0c$ ); indringdiepte en oppervlakteweerstand van het staal; verlies per meter geleider.
Modes van de trilholte: geef die met frequenties binnen $3\%$ van $2.45\,\mathrm{GHz}$ (probeer $(m, n, p)$ tot $4$ ); hoeveel zijn er?
Afstand tussen de warme plekken van zo’n mode langs elke as; waarom draait het bord, en wat is een “modemenger”?
De kwaliteitsfactor van de trilholte met eten erin is ongeveer $200$ : bandbreedte van haar antwoord; waarom een verschil tussen de frequentie van de magnetron en die van de modes weinig uitmaakt.
De lege trilholte heeft $Q \approx 3000$ : opgeslagen energie bij $800\,\mathrm{W}$ toegevoerd vermogen, gemiddelde energiedichtheid, veldamplitude; vergelijk met vraag 3 en met de doorslag. Wat beschermt de magnetron wanneer de oven leeg draait?
Tijd waarin de energie de $20\,\mathrm{cm}$ geleider van de magnetron naar de trilholte aflegt.
De magnetron wordt door een enkelfasig gelijkgerichte voeding gevoed en zendt maar tijdens de helft van elke netperiode uit: piekvermogen tijdens de uitbarstingen bij een gemiddelde van $800\,\mathrm{W}$ ; wat doet de trilholte tussen de uitbarstingen (gebruik $Q \approx 200$ )?

Deel II — De deur en de afsnijding.

Het gaas in de deur heeft gaten van $1.5\,\mathrm{mm}$ in een plaat van $1\,\mathrm{mm}$ : uitdooflengte in een gat en verzwakking in dB over de plaat.
De rand van de deur wordt afgedicht met een kwartgolfsper: een sleuf van $\lambda/4$ diep rond de deurlijst, die aan de spleet een open keten aanbiedt (herinner Hoofdstuk 15): diepte van de sleuf bij $2.45\,\mathrm{GHz}$ .
De wettelijke lekstraling is $5\,\mathrm{mW}/\mathrm{cm}^{2}$ op $5\,\mathrm{cm}$ : met welke fractie van $800\,\mathrm{W}$ door een deur van $100\,\mathrm{cm}^{2}$ komt dat overeen?
Een kanaal van $30\,\mathrm{cm}$ met een diameter van $4\,\mathrm{cm}$ ontlucht de trilholte: zit het onder de afsnijding bij $2.45\,\mathrm{GHz}$ ? Verzwakking over zijn lengte.
Waarom moet het gaas rondom elektrisch met de deurlijst zijn doorverbonden (waar zou een onderbreking in die verbinding op lijken)?

Deel III — De vezel. Een sprongindexvezel: kern $n_1 = 1.465$ , mantel $n_2 = 1.460$ , kerndiameter $50\,\text{µ}\mathrm{m}$ (multimodig) of $9\,\text{µ}\mathrm{m}$ (enkelmodig); $\lambda = 1.55\,\text{µ}\mathrm{m}$ ; verzwakking $0.2\,\mathrm{dB}/\mathrm{km}$ .

Numerieke apertuur en aanvaardingshoek; is het gemakkelijk om er licht in te koppelen?
Modale spreiding per kilometer voor de multimodige vezel; maximale bitsnelheid over $10\,\mathrm{km}$ (één bit per spreidingstijd).
Aantal modes van de multimodige vezel (neem $N \approx \tfrac12(\pi d\,\mathrm{NA}/\lambda)^2$ aan); en van de enkelmodige ( $d = 9\,\text{µ}\mathrm{m}$ : toon aan dat dezelfde formule ongeveer $1$ geeft).
In de enkelmodige vezel is de resterende uitspreiding chromatisch: bereken met $\omega'' \approx -0.2\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ (Hoofdstuk 8) en pulsen van $50\,\mathrm{ps}$ de afstand waarover een puls verdubbelt; bitsnelheid over $100\,\mathrm{km}$ .
Verzwakking over $100\,\mathrm{km}$ in dB en als vermogensverhouding; met $1\,\mathrm{mW}$ erin: vermogen eruit; hoeveel versterkers om de $80\,\mathrm{km}$ voor een transatlantische verbinding van $6000\,\mathrm{km}$ ?
Frequentie en fotonenergie bij $1.55\,\text{µ}\mathrm{m}$ ; fotonen per seconde in $1\,\mathrm{mW}$ , en per bit bij $10\,\mathrm{Gbit}/\mathrm{s}$ , aan de ingang en na $100\,\mathrm{km}$ .
Waarom $1.55\,\text{µ}\mathrm{m}$ (denk aan de twee verliesmechanismen van kwartsglas: rayleighverstrooiing, die als $1/\lambda^4$ daalt, en infraroodabsorptie die voorbij $1.6\,\text{µ}\mathrm{m}$ oploopt)?
Reflectie van Fresnel aan een gekliefd vezeleinde tegenover lucht: verlies in dB; waarom connectoren indexaanpassende gel of gepolijst fysiek contact gebruiken.
Waarom straalt een vezel bij een zachte bocht niet, en waarom verliest zij licht bij een scherpe (denk aan de hoek van de straal op de rand van de kern)?
Vergelijk de twee geleiders van dit vraagstuk: wat de golf opsluit, wat de bandbreedte begrenst, en wat de verliezen zijn.

Oplossing

Oplossing van Probleem 16.1.

1. $c/2a = 1.74\,\mathrm{GHz}$ ; TE $_{20}$ en TE $_{01}$ : $3.49\,\mathrm{GHz}$ : bij $2.45\,\mathrm{GHz}$ alleen TE $_{10}$ .

2. $\sqrt{1 - (1.74/2.45)^2} = 0.70$ : $\lambda_g = 17.4\,\mathrm{cm}$ , $v_\varphi = 1.42c$ , $v_g = 0.70c = 2.1 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

3. $E_0^2 = 4P/\varepsilon_0c\,ab\sqrt{\cdot} = 3200/6.9 \times 10^{-6}$ : $E_0 = 21\,\mathrm{kV}/\mathrm{m}$ , een honderdste van de doorslag.

4. $j_s \approx E_0/\mu_0c = 57\,\mathrm{A}/\mathrm{m}$ ; $\delta = 10\,\text{µ}\mathrm{m}$ , $R_s = 0.1\,\Omega$ ; $\tfrac12R_sj_s^2 \times 2a = 28\,\mathrm{W}/\mathrm{m}$ : $3.5\%$ per meter — staal is verliesgevend, maar de geleider is kort.

5. $f = 1.5 \times 10^8\sqrt{11.1(m^2 + n^2) + 25p^2}$ binnen $\pm3\%$ van $2.45\,\mathrm{GHz}$ : $(1, 2, 3)$ en $(2, 1, 3)$ bij $2.51\,\mathrm{GHz}$ , $(4, 0, 2)$ , $(0, 4, 2)$ , $(4, 3, 0)$ en $(3, 4, 0)$ bij $2.50\,\mathrm{GHz}$ — ongeveer zes.

6. Halve golflengten $a/m$ , $b/n$ , $d/p$ : $7$ tot $10\,\mathrm{cm}$ uit elkaar. Het draaiplateau sleept het eten door maxima en minima; een menger (een draaiende metalen waaier) schudt de modes door elkaar.

7. $f/Q = 12\,\mathrm{MHz}$ : de belaste resonanties overlappen tot een continuüm; de magnetron vindt altijd een mode om te voeden.

8. $W = QP/\omega = 3000 \times 800/1.54 \times 10^{10} = 0.16\,\mathrm{J}$ ; $u = 8.7\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$ ; $E_0 \approx \sqrt{4u/\varepsilon_0} = 2\,\mathrm{MV}/\mathrm{m}$ — dicht bij de doorslag: vlambogen; het teruggekaatste vermogen keert naar de magnetron terug, die (een beetje) door een blindbelasting of een circulator wordt beschermd — vandaar “laat hem nooit leeg draaien”.

9. $0.2/2.1 \times 10^8 = 1\,\mathrm{ns}$ .

10. $1.6\,\mathrm{kW}$ piek; tussen de uitbarstingen galmt het veld uit in $Q/\omega = 13\,\mathrm{ns}$ : de trilholte is het grootste deel van de tijd leeg.

11. $\ell \approx a/\pi = 0.48\,\mathrm{mm}$ ; $\eu^{-1/0.48}$ : $-18\,\mathrm{dB}$ in amplitude, $-36\,\mathrm{dB}$ in vermogen.

12. $\lambda/4 = 3.1\,\mathrm{cm}$ .

13. $5\,\mathrm{mW}/\mathrm{cm}^{2}$ $\times$ $100\,\mathrm{cm}^{2}$ = $0.5\,\mathrm{W}$ : $0.06\%$ .

14. $f_1 \approx c/2d = 3.75\,\mathrm{GHz} > 2.45\,\mathrm{GHz}$ : onder de afsnijding; $\ell = 1.7\,\mathrm{cm}$ , $\eu^{-30/1.7}$ : $-150\,\mathrm{dB}$ .

15. De wandstromen moeten ononderbroken in het gaas overlopen; een onderbreking in de verbinding is een sleuf die hen doorsnijdt — een sleufantenne die naar buiten straalt.

16. $\mathrm{NA} = \sqrt{1.465^2 - 1.460^2} = 0.12$ , $7{}^{\circ}$ : een smalle kegel, waarvoor een laser en een lens nodig zijn.

17. $(n_1L/c)(n_1/n_2 - 1) = 17\,\mathrm{ns}/\mathrm{km}$ ; $170\,\mathrm{ns}$ over $10\,\mathrm{km}$ : $6\,\mathrm{Mbit}/\mathrm{s}$ .

18. $\tfrac12(\pi d\,\mathrm{NA}/\lambda)^2 = 75$ ; voor $9\,\text{µ}\mathrm{m}$ : $2.4$ — het enkelmodige regime ( $V = \pi d\,\mathrm{NA}/\lambda = 2.2 < 2.4$ ).

19. $\Delta x_0 = (c/n)\tau = 1\,\mathrm{cm}$ : $t_{\text{sp}} = 10^{-4}/0.2 = 0.5\,\mathrm{ms}$ , $100\,\mathrm{km}$ : $10\,\mathrm{Gbit}/\mathrm{s}$ over die afstand, vóór compensatie.

20. $20\,\mathrm{dB}$ , een factor $100$ : $10\,\text{µ}\mathrm{W}$ ; $6000/80 = 75$ versterkers.

21. $f = 1.9 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$ , $hf = 0.8\,\mathrm{eV}$ ; $8 \times 10^{15}$ fotonen per seconde; $8 \times 10^5$ per bit aan de ingang, $8 \times 10^3$ na $100\,\mathrm{km}$ .

22. De som van de twee verliezen is minimaal nabij $1.55\,\text{µ}\mathrm{m}$ ( $0.2\,\mathrm{dB}/\mathrm{km}$ ).

23. $R = ((1.465 - 1)/2.465)^2 = 3.6\%$ : $0.16\,\mathrm{dB}$ per vlak, twee keer bij een connector plus de interferentie van de spleet; gel of fysiek contact verwijdert de lucht.

24. Bij een zachte bocht ontmoet de straal de rand nog altijd voorbij de grenshoek; bij een scherpe zakt de inval op de buitenwand eronder en lekt er licht weg.

25. Oven: metalen wanden, reflectie met $r = -1$ ; de bandbreedte wordt door de modes van de trilholte bepaald; de verliezen zitten in de huid van het staal. Vezel: totale interne weerkaatsing aan een grensvlak glas–glas; de bandbreedte wordt door modale en chromatische dispersie bepaald; de verliezen komen van verstrooiing en absorptie, $0.2\,\mathrm{dB}/\mathrm{km}$ .