Universitaire natuurkunde — jaar 2 · Bachelor Year 2

6Golven op snaren en staven: de vergelijking van d’Alembert

Tokkel een gitaarsnaar en er loopt een vorm overheen, die van de kam terugkaatst, terugkomt, en zich zet tot het staande patroon waarvan u de frequentie als een toon hoort. Leg uw oor op een spoorstaaf en u hoort de trein lang voordat hij er is: een samendrukking loopt met vijf kilometer per seconde door het staal. Het volume van jaar 1 beschreef zulke golven — lopend, staand, gesuperponeerd — zonder te zeggen waarom zij bestaan. Dit hoofdstuk leidt de vergelijking af die hen beheerst, de golfvergelijking van d’Alembert, eerst voor de transversale beweging van een snaar, dan voor de longitudinale beweging van een staaf die atoom voor atoom uit massa’s en veren is opgebouwd; het berekent de energie die een golf meevoert en de impedantie die bepaalt wat er gebeurt wanneer zij een verandering van medium ontmoet.

6.1 De trillende snaar

Stelling 6.1 (Golfvergelijking van een snaar)

Een snaar met lineaire massadichtheid $\mu$ , gespannen met de spankracht $T$ , maakt kleine transversale uitwijkingen $y(x, t)$ (hellingen $|\partial_xy| \ll 1$ ). Dan geldt

\frac{\partial^2y}{\partial t^2} = c^2\,\frac{\partial^2y}{\partial x^2} , \qquad c = \sqrt{\frac{T}{\mu}} ,

de vergelijking van d’Alembert, met als algemene oplossing $y = f(x - ct) + g(x + ct)$ : de superpositie van een vorm die naar rechts loopt en een die naar links loopt met de snelheid $c$ , zonder van vorm te veranderen.

Bewijs. Zonder het element tussen $x$ en $x + \dd x$ af, met massa $\mu\,\dd x$ . Zijn buren trekken eraan langs de raaklijn aan de snaar met de spankracht $T$ : horizontaal $T\cos\theta \approx T$ aan beide uiteinden (er is geen horizontale beweging, dus $T$ is overal dezelfde), verticaal $T\sin\theta \approx T\partial_xy$ , wat de netto kracht $T[\partial_xy(x + \dd x) - \partial_xy(x)] = T\,\partial_x^2y\,\dd x$ geeft. Newton: $\mu\,\dd x\,\partial_t^2y = T\partial_x^2y\,\dd x$ . Stel voor de oplossing $u = x - ct$ , $v = x + ct$ : de vergelijking wordt $\partial_u\partial_vy = 0$ (kettingregel), zodat $\partial_vy$ alleen van $v$ afhangt en $y = f(u) + g(v)$ ; omgekeerd voldoet elke zo’n $y$ eraan. De verwaarloosde zwaartekracht mag worden weggelaten wanneer $T \gg \mu gL$ . ∎

Links: de krachten op een element van de snaar — de twee spankrachten zijn niet evenwijdig wanneer de snaar gekromd is, en hun resultante is transversaal. Rechts: een vorm f(x - ct) loopt met c naar rechts zonder van gedaante te veranderen. — Links: de krachten op een element van de snaar — de twee spankrachten zijn niet evenwijdig wanneer de snaar gekromd is, en hun resultante is transversaal. Rechts: een vorm $f(x - ct)$ loopt met $c$ naar rechts zonder van gedaante te veranderen.

Voorbeeld 6.2 (Gitaar, piano, kabel)

De lage E-snaar van een gitaar ( $\mu = 5.5\,\mathrm{g}/\mathrm{m}$ , lengte $0.65\,\mathrm{m}$ , $82.4\,\mathrm{Hz}$ ) trilt in haar grondtoon met $\lambda = 2L$ : $c = 2Lf = 107\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ en $T = \mu c^2 = 63\,\mathrm{N}$ . De A $_4$ -snaar van een piano (staal, $1\,\mathrm{mm}$ , $\mu = 6.1\,\mathrm{g}/\mathrm{m}$ , $0.38\,\mathrm{m}$ , $440\,\mathrm{Hz}$ ): $c = 334\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $T = 680\,\mathrm{N}$ — en een piano heeft zo’n $230$ snaren, twintig ton spankracht op een gietijzeren raam. Een kabel van $1\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}$ bij $10\,\mathrm{kN}$ : $100\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

6.2 Staande golven en eigentrillingen

Propositie 6.3 (Eigentrillingen van een aan beide uiteinden vastgeklemde snaar)

Een snaar die in $x = 0$ en $x = L$ vastligt, laat de sinusvormige staande-golfoplossingen (de eigentrillingen) toe

y_n(x, t) = A_n\sin\frac{n\pi x}{L}\cos(\omega_nt - \varphi_n) , \qquad f_n = \frac{\omega_n}{2\pi} = n\,\frac{c}{2L} = n f_1 , \quad n = 1, 2, 3, \dots

— de grondtoon $f_1 = c/2L$ en haar harmonischen. Mode $n$ heeft $n - 1$ knopen tussen de uiteinden. Elke beweging van de snaar is een superpositie $y = \sum_ny_n$ , waarbij de amplitudes en de fasen door de begingedaante en de beginsnelheid worden vastgelegd (een fourierreeks, zoals het wiskundevolume van dit jaar vaststelt): het mengsel van harmonischen is de klankkleur van de toon.

Bewijs. Zoek $y = F(x)\cos(\omega t - \varphi)$ : $F'' + (\omega/c)^2F = 0$ , en $F(0) = 0$ geeft $F = A\sin(\omega x/c)$ , terwijl $F(L) = 0$ vereist dat $\omega L/c = n\pi$ . Elke mode is ook de som van twee lopende golven: $\sin kx\cos\omega t = \tfrac12[\sin(kx - \omega t) + \sin(kx + \omega t)]$ — de golf en haar weerkaatsing. De volledigheid van de sinussen is de stelling van Fourier. ∎

Links: de eerste drie eigentrillingen van een aan beide uiteinden vastgeklemde snaar (f_n = nc/2L). Rechts: een snaar die in haar midden is getokkeld (driehoek) en de eerste termen van haar fourierreeks — alleen oneven harmonischen komen voor, met amplitudes die als 1/n2 afnemen. — Links: de eerste drie eigentrillingen van een aan beide uiteinden vastgeklemde snaar ( $f_n = nc/2L$ ). Rechts: een snaar die in haar midden is getokkeld (driehoek) en de eerste termen van haar fourierreeks — alleen oneven harmonischen komen voor, met amplitudes die als $1/n^2$ afnemen.

Voorbeeld 6.4 (De proef van Melde)

Een snaar die aan het ene uiteinde door een triller met frequentie $f$ wordt aangedreven, terwijl het andere uiteinde over een katrol naar een hangende massa $m$ loopt (zodat $T = mg$ ): er verschijnt een grote staande golf zodra $f$ gelijk is aan een van de $f_n = (n/2L) \sqrt{mg/\mu}$ — resonantie van mode $n$ . Voor $L = 1.2\,\mathrm{m}$ , $\mu = 1.0\,\mathrm{g}/\mathrm{m}$ en $f = 50\,\mathrm{Hz}$ zijn de massa’s die $n = 1, 2, 3$ buiken geven $m_n = 4L^2f^2\mu/n^2g = 1.47/n^2$ kg: $1.47\,\mathrm{kg}$ , $367\,\mathrm{g}$ , $163\,\mathrm{g}$ . Een gitaarsnaar op de twaalfde fret indrukken halveert $L$ en verdubbelt $f_1$ : het octaaf; haar in het midden licht aanraken zonder in te drukken doodt de oneven modes en laat de tweede harmonische over — de flageolet.

6.3 Energie, vermogen en impedantie

Propositie 6.5 (Energie van een golf op een snaar)

Een snaar draagt de energie per lengte-eenheid en het vermogen (de energieflux naar $+x$ )

e = \tfrac12\mu\Bigl(\frac{\partial y}{\partial t}\Bigr)^2 + \tfrac12T\Bigl(\frac{\partial y}{\partial x}\Bigr)^2 , \qquad \mathcal P = -T\,\frac{\partial y}{\partial x}\,\frac{\partial y}{\partial t} ,

die aan de lokale balans $\partial_te + \partial_x\mathcal P = 0$ voldoen. Voor een lopende golf $y = f(x - ct)$ zijn de kinetische en de potentiële dichtheid gelijk en is $\mathcal P = Z\,(\partial_ty)^2$ met

Z = \sqrt{T\mu} = \mu c = \frac Tc ,

de impedantie van de snaar ( $\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ ): de verhouding van de transversale kracht $-T\partial_xy$ die de snaar op wat vóór haar ligt uitoefent, tot de transversale snelheid $\partial_ty$ . Een sinusvormige golf met amplitude $A$ voert het gemiddelde vermogen $\langle\mathcal P\rangle = \tfrac12Z\omega^2A^2$ mee.

Bewijs. De potentiële term is de arbeid van de spankracht die het element rekt: zijn lengte is

\dd x\sqrt{1 + (\partial_xy)^2} \approx \dd x\bigl(1 + \tfrac12(\partial_xy)^2\bigr) ,

zodat de overlengte maal $T$ de bijdrage $\tfrac12T(\partial_xy)^2\dd x$ geeft. Het vermogen dat door $x$ heen naar $+x$ wordt overgedragen, is de transversale kracht die het linkerdeel op het rechterdeel uitoefent, $-T\partial_xy$ , maal de snelheid $\partial_ty$ . Balans:

\partial_te = \mu\,\partial_ty\,\partial_t^2y + T\,\partial_xy\,\partial_x\partial_ty , \qquad -\partial_x\mathcal P = T\,\partial_x^2y\,\partial_ty + T\,\partial_xy\,\partial_x\partial_ty ,

die door de golfvergelijking aan elkaar gelijk zijn. Voor $f(x - ct)$ geldt $\partial_xy = -\partial_ty/c$ , zodat $\mathcal P = (T/c) (\partial_ty)^2$ en beide dichtheden gelijk zijn aan $\tfrac12\mu(\partial_ty)^2$ . ∎

Propositie 6.6 (Reflectie en transmissie op een verbinding)

Een golf met amplitude $A_i$ komt vanuit een snaar met impedantie $Z_1$ aan op een snaar met impedantie $Z_2$ , verbonden in $x = 0$ . De continuïteit van de uitwijking en van de transversale kracht in de verbinding geeft de amplitudecoëfficiënten

r = \frac{A_r}{A_i} = \frac{Z_1 - Z_2}{Z_1 + Z_2} , \qquad t = \frac{A_t}{A_i} = \frac{2Z_1}{Z_1 + Z_2} ,

en de energiefracties $R = r^2$ , $\mathcal T = 4Z_1Z_2/(Z_1 + Z_2)^2$ , met $R + \mathcal T = 1$ . Een vast uiteinde ( $Z_2 \to \infty$ ) kaatst terug met $r = -1$ (de puls komt omgekeerd terug), een vrij uiteinde ( $Z_2 = 0$ ) met $r = +1$ ; gelijke impedanties laten alles door.

Bewijs. Sinusvormige golven $y_1 = A_i\cos(\omega t - k_1x) + A_r\cos(\omega t + k_1x)$ voor $x < 0$ en $y_2 = A_t\cos(\omega t - k_2x)$ voor $x > 0$ , met dezelfde $\omega$ aan beide zijden. In $x = 0$ geeft $y_1 = y_2$ dat $A_i + A_r = A_t$ ; de continuïteit van de kracht $-T\partial_xy$ (een massaloze verbinding) geeft $Z_1(A_i - A_r) = Z_2A_t$ (met $T_1k_1 = Z_1\omega$ ). Los op. Energieën: de gemiddelde vermogens $\tfrac12Z\omega^2A^2$ . ∎

Een puls ontmoet een verbinding met een zwaardere snaar (Z_2 = 4Z_1): een deel gaat door, trager en smaller, een deel wordt omgekeerd teruggekaatst. — Een puls ontmoet een verbinding met een zwaardere snaar ( $Z_2 = 4Z_1$ ): een deel gaat door, trager en smaller, een deel wordt omgekeerd teruggekaatst.

6.4 Van de keten van atomen naar de elastische staaf

Propositie 6.7 (De keten van atomen; elasticiteitsmodulus)

Een rij gelijke massa’s $m$ op onderlinge afstand $a$ , verbonden door veren met stijfheid $k$ : is $u_n(t)$ de uitwijking van massa $n$ langs de rij, dan geldt

m\ddot u_n = k(u_{n+1} - u_n) - k(u_n - u_{n-1}) = k(u_{n+1} - 2u_n + u_{n-1}) .

Wanneer de uitwijking van de ene massa naar de volgende traag verandert (over golflengten $\lambda \gg a$ ), gaat $u_n(t) \to u(x, t)$ met $u_{n\pm1} - u_n \approx \pm a\,\partial_xu + \tfrac12a^2\partial_x^2u$ , en voldoet de keten aan de vergelijking van d’Alembert

\frac{\partial^2u}{\partial t^2} = c^2\frac{\partial^2u}{\partial x^2} , \qquad c = a\sqrt{\frac km} = \sqrt{\frac{E}{\rho}} ,

met $\rho = m/a^3$ de dichtheid van een vaste stof die uit zulke ketens in een kubisch rooster bestaat, en $E = k/a$ haar elasticiteitsmodulus: de stijfheid van een staaf met doorsnede $S$ en lengte $\ell$ is $kS/a^2\cdot a/\ell = ES/\ell$ , dat wil zeggen de wet van Hooke $F/S = E\,\Delta\ell/\ell$ (spanning $\sigma = E\varepsilon$ ).

Bewijs. Elke veer wordt uitgerekt over het verschil van de uitwijkingen van haar uiteinden. Vul de taylorontwikkelingen in: $m\partial_t^2u = ka^2\partial_x^2u$ . Een kubus met ribbe $a$ per atoom geeft $\rho = m/a^3$ ; een staaf met doorsnede $S$ bevat $S/a^2$ evenwijdige ketens van $\ell/a$ veren in serie, met een totale stijfheid $(S/a^2)(ka/\ell) = (k/a)S/\ell$ . ∎

Propositie 6.8 (Longitudinale golven in een staaf)

Rechtstreeks op het continuüm: een element van een staaf tussen $x$ en $x + \dd x$ , dat over $u(x, t)$ is verplaatst, ondergaat de rek $\varepsilon = \partial_xu$ en wordt door de spanning $\sigma = E\partial_xu$ aan elk vlak getrokken; Newton geeft $\rho\,\partial_t^2u = E\,\partial_x^2u$ : longitudinale golven (drukgolven) lopen met $c = \sqrt{E/\rho}$ — $5100\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ in staal ( $E = 200\,\mathrm{GPa}$ ), $5000\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ in aluminium, $3700\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ in graniet, $3500\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ in hout langs de nerf. De impedantie is $Z = \rho c = \sqrt{E\rho}$ per oppervlakte-eenheid, en dezelfde formules voor een verbinding gelden — zo vindt ultrageluid een scheur in een rail.

Bewijs. Netto kracht op het element: $S[\sigma(x + \dd x) - \sigma(x)] = SE\partial_x^2u\,\dd x$ ; massa $\rho S\dd x$ . ∎

Links: de keten van massa’s en veren — elke massa voelt de twee veren om zich heen, en de continuümlimiet is de golfvergelijking met c = a√k/m. Rechts: een element van een elastische staaf, getrokken door de spanning op zijn twee vlakken. — Links: de keten van massa’s en veren — elke massa voelt de twee veren om zich heen, en de continuümlimiet is de golfvergelijking met $c = a\sqrt{k/m}$ . Rechts: een element van een elastische staaf, getrokken door de spanning op zijn twee vlakken.

Opmerking 6.9 (Wat de keten weet en de staaf niet)

Zoekt men $u_n = A\cos(\omega t - kna)$ in de exacte vergelijking van de keten, dan volgt $\omega = 2\sqrt{k/m}\,|\sin(ka/2)|$ : voor $ka \ll 1$ is dat $\omega = ck$ , de dispersieloze golfvergelijking, maar naarmate de golflengte $2a$ nadert, verzadigt de frequentie bij $2\sqrt{k/m}$ en lopen de fase- en de groepssnelheid uiteen — de eerste dispersierelatie van dit volume, het onderwerp van Hoofdstuk 8. Voor $a = 0.25\,\mathrm{nm}$ en $c = 5\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ ligt de afsnijding bij $\omega_{\max} = 2c/a = 4 \times 10^{13}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ ( $6\,\mathrm{THz}$ ): de vaste stof kan niet sneller trillen dan de veren tussen haar atomen toelaten.

6.5 Oefeningen

Oefening 6.1 ★

De A-snaar van een gitaar ( $110\,\mathrm{Hz}$ , $L = 65\,\mathrm{cm}$ , $\mu = 3.0\,\mathrm{g}/\mathrm{m}$ ): golfsnelheid, spankracht, golflengte van de grondtoon op de snaar en van het geluid in de lucht; frequentie wanneer de snaar op de vijfde fret wordt ingedrukt ( $L$ verkleind met een factor $2^{-5/12}$ ).

Oplossing

Oplossing van Oefening 6.1.

$c = 2Lf = 143\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $T = \mu c^2 = 61\,\mathrm{N}$ ; $\lambda = 2L = 1.3\,\mathrm{m}$ op de snaar, $340/110 = 3.1\,\mathrm{m}$ in de lucht; vijfde fret: $110 \times 2^{5/12} = 147\,\mathrm{Hz}$ .

Oefening 6.2 ★

Snelheid van longitudinale golven in staal ( $E = 200\,\mathrm{GPa}$ , $\rho = 7800\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ), aluminium ( $70\,\mathrm{GPa}$ , $2700\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ) en lood ( $16\,\mathrm{GPa}$ , $11\,300\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ). Tijd waarin een geluid $1.0\,\mathrm{km}$ langs een rail en door de lucht ( $340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ) aflegt; wat een luisteraar met zijn oor op de rail hoort.

Oplossing

Oplossing van Oefening 6.2.

$\sqrt{E/\rho}$ : staal $5.1\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ , aluminium $5.1\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ , lood $1.2\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ . $1\,\mathrm{km}$ : $0.20\,\mathrm{s}$ in de rail, $2.9\,\mathrm{s}$ in de lucht — twee geluiden, dat van de rail eerst, $2.7\,\mathrm{s}$ uit elkaar.

Oefening 6.3 ★

Een snaar met grondtoon $200\,\mathrm{Hz}$ : frequenties en aantal knopen van de modes 2, 3 en 4; plaatsen van de knopen van mode 3; frequentie van de grondtoon als de spankracht wordt verdubbeld, als de lengte wordt gehalveerd, en als de snaar wordt vervangen door een die per meter drie keer zo zwaar is.

Oplossing

Oplossing van Oefening 6.3.

$400$ , $600$ , $800$ Hz met $1$ , $2$ en $3$ inwendige knopen; de knopen van mode 3 liggen op $L/3$ en $2L/3$ . $T \times 2$ : $200\sqrt2 = 283\,\mathrm{Hz}$ ; $L/2$ : $400\,\mathrm{Hz}$ ; $\mu \times 3$ : $200/\sqrt3 = 115\,\mathrm{Hz}$ .

Oefening 6.4 ★

Een touw van $12\,\mathrm{m}$ ( $\mu = 0.20\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}$ ) wordt met $45\,\mathrm{N}$ gespannen; het ene uiteinde is aan een muur bevestigd. Vanaf het andere uiteinde wordt een puls verstuurd. Snelheid; tijd om de muur te bereiken en terug te komen; gedaante van de terugkerende puls; hetzelfde als het verre uiteinde aan een lichte ring zit die vrij over een paal glijdt.

Oplossing

Oplossing van Oefening 6.4.

$c = \sqrt{45/0.2} = 15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $24\,\mathrm{m}$ in $1.6\,\mathrm{s}$ ; de puls komt omgekeerd terug ( $r = -1$ ); met de vrije ring rechtop ( $r = +1$ ).

Oefening 6.5 ★★

Een pianosnaar voor $440\,\mathrm{Hz}$ : staal ( $\rho = 7800\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ), diameter $1.0\,\mathrm{mm}$ , trillende lengte $38\,\mathrm{cm}$ . (a) $\mu$ , golfsnelheid, spankracht. (b) Spanning in de draad; vergelijk met de sterkte van pianodraad, ongeveer $2\,\mathrm{GPa}$ . (c) Dezelfde toon met een draad van $0.5\,\mathrm{mm}$ : spankracht en spanning. (d) Waarom worden bassnaren met koper omwonden in plaats van langer of dikker gemaakt?

Oplossing

Oplossing van Oefening 6.5.

(a) $\mu = \rho\pi d^2/4 = 6.1\,\mathrm{g}/\mathrm{m}$ ; $c = 2Lf = 334\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $T = \mu c^2 = 690\,\mathrm{N}$ . (b) $\sigma = T/A = \rho c^2 = 0.87\,\mathrm{GPa}$ , marge $2.3$ . (c) $T/4 = 170\,\mathrm{N}$ , dezelfde spanning (die hangt alleen van $\rho c^2$ af). (d) Een lange snaar past niet in de kast; een dikke massieve draad is te stijf (sterk inharmonisch) en moeilijk over de kam te buigen; een koperomwikkeling voegt massa toe zonder stijfheid.

Oefening 6.6 ★★

Melde. Een snaar van $1.5\,\mathrm{m}$ ( $\mu = 2.0\,\mathrm{g}/\mathrm{m}$ ) wordt met $60\,\mathrm{Hz}$ aangedreven; haar spankracht wordt door een hangende massa ingesteld. (a) Massa’s die $1$ , $2$ , $3$ en $4$ buiken geven. (b) Met $0.50\,\mathrm{kg}$ : is er resonantie? De dichtstbijzijnde mode. (c) Is het aangedreven uiteinde in feite een knoop of een buik? (d) Waarom worden de buiken bij resonantie zo groot, en wat begrenst hen?

Oplossing

Oplossing van Oefening 6.6.

(a) $m_n = 4L^2f^2\mu/n^2g = 6.6/n^2$ kg: $6.6$ , $1.65$ , $0.73$ , $0.41\,\mathrm{kg}$ . (b) $n^2 = 13.2$ , $n = 3.6$ : geen resonantie, tussen mode 3 en 4 (dichtstbij: 4, $0.41\,\mathrm{kg}$ ). (c) Praktisch een knoop: de amplitude van de triller is minuscuul vergeleken met die van de buiken. (d) Elke periode wordt er in fase energie ingebracht, die zich ophoopt; demping (lucht, inwendige wrijving, lekkage via de katrol) begrenst de amplitude.

Oefening 6.7 ★★

Een golf $y = A\cos(\omega t - kx)$ met $A = 2.0\,\mathrm{mm}$ en $f = 100\,\mathrm{Hz}$ loopt over een snaar ( $T = 100\,\mathrm{N}$ , $\mu = 10\,\mathrm{g}/\mathrm{m}$ ). Snelheid, $k$ , golflengte; maximale transversale snelheid en versnelling van een punt; maximale helling; impedantie; gemiddeld meegevoerd vermogen; energie in één golflengte.

Oplossing

Oplossing van Oefening 6.7.

$c = 100\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $k = 6.3\,\mathrm{rad}/\mathrm{m}$ , $\lambda = 1.0\,\mathrm{m}$ ; $v_{\max} = \omega A = 1.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $a_{\max} = \omega^2A = 790\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ; helling $kA = 0.013$ ; $Z = \sqrt{T\mu} = 1.0\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ ; $\langle\mathcal P\rangle = \tfrac12Z\omega^2A^2 = 0.79\,\mathrm{W}$ ; per golflengte $\mathcal P/f = 7.9\,\mathrm{mJ}$ .

Oefening 6.8 ★★

Een snaar met $\mu_1 = 2.0\,\mathrm{g}/\mathrm{m}$ is verbonden met een met $\mu_2 = 8.0\,\mathrm{g}/\mathrm{m}$ , beide onder $20\,\mathrm{N}$ . (a) Snelheden en impedanties. (b) Amplitudecoëfficiënten voor reflectie en transmissie voor een golf die van de lichte snaar komt; en van de zware snaar. (c) Energiefracties in beide gevallen; ga na dat zij samen één zijn. (d) Een puls van $1\,\mathrm{cm}$ hoog en $10\,\mathrm{cm}$ breed komt vanaf de lichte snaar aan: hoogte en breedte van de doorgelaten en van de teruggekaatste puls.

Oplossing

Oplossing van Oefening 6.8.

(a) $c_1 = 100\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $c_2 = 50\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $Z_1 = 0.20\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ , $Z_2 = 0.40\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ . (b) Vanaf de lichte snaar: $r = -1/3$ , $t = 2/3$ ; vanaf de zware: $r = +1/3$ , $t = 4/3$ . (c) $R = 1/9$ , $\mathcal T = 4 \times 0.08/0.36 = 8/9$ in beide gevallen. (d) Doorgelaten: $0.67\,\mathrm{cm}$ hoog, $5\,\mathrm{cm}$ breed (dezelfde duur, de halve snelheid); teruggekaatst: $-0.33\,\mathrm{cm}$ , $10\,\mathrm{cm}$ .

Oefening 6.9 ★★

Een stalen draad van $2.0\,\mathrm{m}$ met een diameter van $1.0\,\mathrm{mm}$ rekt $1.0\,\mathrm{mm}$ uit onder $80\,\mathrm{N}$ . (a) Elasticiteitsmodulus. (b) Snelheid van longitudinale golven. (c) Grondfrequentie van de longitudinale trilling van de draad wanneer zij aan beide uiteinden is ingeklemd, en van haar transversale trilling onder die spankracht; waarom verschillen zij zo sterk? (d) Stijfheid $k$ en massa $m$ van een “atoom” in het ketenmodel, voor $a = 0.25\,\mathrm{nm}$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 6.9.

(a) $E = F\ell/A\Delta\ell = 80 \times 2/(7.85 \times 10^{-7} \times 10^{-3}) = 2.0 \times 10^{11}\,\mathrm{Pa}$ . (b) $c = 5.1\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ . (c) Longitudinaal: $c/2\ell = 1.3\,\mathrm{kHz}$ ; transversaal: $\sqrt{T/\mu} = 114\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $f = 29\,\mathrm{Hz}$ — de spankracht belast de draad tot $100\,\mathrm{MPa}$ , ofwel $5 \times 10^{-4}$ van $E$ , zodat de transversale snelheid $\sqrt{5 \times 10^{-4}}$ van de longitudinale is. (d) $k = Ea = 50\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ ; $m = \rho a^3 = 1.2 \times 10^{-25}\,\mathrm{kg}$ (ongeveer $70$ atomaire massa-eenheden).

Oefening 6.10 ★★★

De getokkelde snaar. Een snaar die in $0$ en $L$ vastligt, wordt in $x = L/2$ over een hoogte $h$ opzij getrokken (driehoekige gedaante) en uit rust losgelaten. (a) Schrijf de oplossing als $\sum_nb_n\sin(n\pi x/L)\cos(\omega_nt)$ en toon aan dat $b_n = \dfrac{8h}{n^2\pi^2}\sin\dfrac{n\pi}2$ . (b) Welke harmonischen ontbreken, en waarom? (c) Energie van mode $n$ ( $E_n = \tfrac14\mu L\omega_n^2b_n^2$ ); fractie van het totaal in de grondtoon. (d) De snaar wordt in plaats daarvan op $L/5$ getokkeld: welke harmonischen verdwijnen dan? Waarom tokkelt een gitarist dicht bij de kam voor een helderder klank?

Oplossing

Oplossing van Oefening 6.10.

(a) $b_n = \frac2L\int_0^Ly(x, 0)\sin(n\pi x/L)\dd x$ met de driehoek $y = 2hx/L$ op $[0, L/2]$ (en symmetrisch): partieel integreren geeft $b_n = 8h\sin(n\pi/2) /n^2\pi^2$ . (b) De even $n$ vallen weg: het middelpunt, een knoop van elke even mode, is juist het punt dat werd aangetrokken. (c) $E_n = \tfrac14\mu L\omega_n^2b_n^2 \propto n^2/n^4 = 1/n^2$ (oneven $n$ ): de grondtoon heeft $1/\sum_{\text{oneven}}n^{-2} = 8/\pi^2 = 81\%$ . (d) $b_n \propto \sin(n\pi/5)/n^2$ : $n = 5, 10, \dots$ vallen weg. Dicht bij de kam is de factor $\sin(n\pi x_0/L)$ klein voor de lage modes en blijft hij groeien voor de hogere: relatief meer hoge harmonischen, een helderder klank.

Oefening 6.11 ★★★

Dispersie van de keten. (a) Vul $u_n = A\cos(\omega t - kna)$ in de ketenvergelijking in en leid $\omega(k) = 2\omega_0|\sin(ka/2)|$ af, met $\omega_0 = \sqrt{k/m}$ . (b) Fasesnelheid $\omega/k$ en groepssnelheid $\dd\omega/\dd k$ ; hun gemeenschappelijke limiet voor $ka \to 0$ ; hun waarden bij $ka = \pi$ . (c) Hoe ziet de golf eruit bij $ka = \pi$ ? Waarom bestaat er geen golf met een golflengte korter dan $2a$ ? (d) Voor staal ( $c = 5.1\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ , $a = 0.25\,\mathrm{nm}$ ): $\omega_0$ , de maximale frequentie, en de golflengte van ultrageluid van $1\,\mathrm{MHz}$ — is dat dispersief?

Oplossing

Oplossing van Oefening 6.11.

(a) $-m\omega^2 = k(2\cos ka - 2) = -4k\sin^2(ka/2)$ . (b) $v_\varphi = 2\omega_0\sin(ka/2) /k$ , $v_g = \omega_0a\cos(ka/2)$ ; beide $\to \omega_0a = c$ als $ka \to 0$ ; bij $ka = \pi$ : $v_\varphi = 2c/\pi$ , $v_g = 0$ . (c) Buren bewegen in tegenfase: een staande golf die niets vervoert; een $k$ voorbij $\pi/a$ geeft dezelfde verzameling uitwijkingen als een $k' = k - 2\pi/a$ — geen nieuwe golf. (d) $\omega_0 = c/a = 2.0 \times 10^{13}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ , $f_{\max} = \omega_0/\pi = 6.5\,\mathrm{THz}$ ; $1\,\mathrm{MHz}$ : $\lambda = 5.1\,\mathrm{mm} = 2 \times 10^7a$ , $ka \sim 3 \times 10^{-7}$ : volkomen dispersieloos.

Oefening 6.12 ★★★

Hangend touw, knallende zweep. (a) Een homogeen touw met lengte $L$ hangt aan het plafond: spankracht op hoogte $x$ boven het vrije uiteinde; plaatselijke golfsnelheid $c(x)$ . (b) Tijd waarin een puls van onder naar boven loopt; getal voor $L = 10\,\mathrm{m}$ ; waarom de gedaante van de puls verandert. (c) Een zweep loopt taps toe, met $\mu$ afnemend naar de punt, bij een (vrijwel) constante spankracht tijdens de slag: hoe verandert de snelheid erlangs? (d) Neem aan dat de energie van de puls behouden blijft en dat haar duur gelijk blijft, en toon aan dat de amplitude van haar transversale snelheid als $\mu^{-1/4}$ groeit; schat de snelheid van de punt van een zweep waarvan $\mu$ van greep tot punt met een factor $10^4$ daalt, als de hand $10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ geeft. (De knal is een supersonische schokgolf.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 6.12.

(a) $T(x) = \mu gx$ , $c = \sqrt{gx}$ . (b) $t = \int_0^L\dd x/\sqrt{gx} = 2\sqrt{L/g} = 2.0\,\mathrm{s}$ ; het bovenste deel van een puls beweegt sneller dan het onderste: zij rekt uit. (c) $c = \sqrt{T/\mu}$ groeit naar de punt toe. (d) De energie $\approx \mathcal P\tau = ZV^2\tau = \sqrt{T\mu}V^2\tau$ is constant: $V \propto \mu^{-1/4}$ ; een factor $10^4$ in $\mu$ geeft $\times10$ : $100\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — een echte zweep haalt de rest uit de afrollende lus, die de energie nog verder samenbalt, en de punt gaat door de geluidsbarrière.

In een vleugel: zo’n tweehonderd stalen snaren van oplopende lengte en dikte, elk door haar spankracht gestemd op een grondtoon c/2L; de bassnaren zijn met koper omwonden voor de massa. — In een vleugel: zo’n tweehonderd stalen snaren van oplopende lengte en dikte, elk door haar spankracht gestemd op een grondtoon $c/2L$ ; de bassnaren zijn met koper omwonden voor de massa.

6.6 Vraagstuk: De piano, van de hamer tot de klankbodem

Probleem 6.1

Weekendvraagstuk — een pianosnaar uit elkaar gehaald: haar spankracht en stijfheid, de slag van de hamer en de harmonischen die hij maakt, de kam die haar energie naar de klankbodem laat weglekken, en een rail die dezelfde vergelijking draagt

Deel I — De snaar. De A $_4$ -snaar van een piano ( $440\,\mathrm{Hz}$ ): staal, $E = 200\,\mathrm{GPa}$ , $\rho = 7800\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ , diameter $d = 1.0\,\mathrm{mm}$ , trillende lengte $L = 38\,\mathrm{cm}$ . Elke toon boven de bas heeft drie zulke snaren; de piano heeft $230$ snaren.

Lineaire massadichtheid, golfsnelheid en spankracht van de snaar.
Trekspanning in de draad; de draad breekt bij $2.0\,\mathrm{GPa}$ : de veiligheidsmarge, en waarom de laatste slag van de stemmer de gevaarlijke is.
Schat de totale spankracht op het raam, met alle snaren op dezelfde spankracht.
De laagste snaar (A $_0$ , $27.5\,\mathrm{Hz}$ ) is $1.9\,\mathrm{m}$ lang; als het een gewone stalen draad bij dezelfde spankracht was, welke $\mu$ en welke diameter zou zij dan nodig hebben? Zij is in feite een stalen kern met koper omwonden: verklaar dat.
Eigentrillingen van de A $_4$ -snaar: frequenties van de eerste acht harmonischen; welke daarvan liggen op een consonant interval met de grondtoon (octaaf, kwint, kwart, grote terts) en welke niet?
De snaar trilt in haar grondtoon met een amplitude van $0.50\,\mathrm{mm}$ in de buik: opgeslagen energie (de energie van een mode is $\tfrac14\mu L\omega^2A^2$ ).
Schrijf de grondtoon als de som van twee lopende golven; geef hun amplitude en het gemiddelde vermogen dat elk meevoert.

Deel II — De hamer. De hamer treft de snaar in $x_0 = L/8$ en geeft haar op $t = 0$ een snelheid $v_0$ over een kort stuk met breedte $w$ rond $x_0$ , zonder uitwijking.

Schrijf de algemene oplossing $y = \sum_nB_n\sin(n\pi x/L)\sin(\omega_nt)$ op en toon met de orthogonaliteit van de sinussen aan dat $B_n = \dfrac{2}{L\omega_n}\int_0^L\dot y(x, 0)\sin\dfrac{n\pi x}L\,\dd x$ .
Toon voor een smalle slag ( $w \ll L/n$ ) aan dat $B_n \approx \dfrac{2v_0w} {L\omega_n}\sin\dfrac{n\pi x_0}{L}$ .
Welke harmonischen ontbreken voor $x_0 = L/8$ ? Waarom slaan pianobouwers bij $L/7$ tot $L/8$ (kijk naar vraag 5)?
Beschrijf de beweging in het beeld van de lopende golven: wat vertrekt er uit het aangeslagen punt, wat gebeurt er aan de uiteinden, en na welke tijd keert de begintoestand terug?
Een echte snaar is licht stijf: haar modes zijn $f_n = nf_1 \sqrt{1 + Bn^2}$ met $B = \pi^3Ed^4/(64TL^2)$ (aangenomen). Bereken $B$ en de verhoging van de achtste harmonische, in procent en in cent ( $1\,\mathrm{cent}$ = een frequentieverhouding $2^{1/1200}$ ).
Waarom “rekken” pianostemmers de octaven op (hoge tonen iets te hoog stemmen)?

Deel III — De kam en de klankbodem. De snaar loopt over een kam die op de klankbodem is gelijmd; de klankbodem gedraagt zich bij de kam als een snaar met impedantie $Z_b = 2000\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ .

Impedantie $Z_s$ van de snaar; amplitudecoëfficiënt van de reflectie op de kam.
Fractie van de energie van de golf die bij elke reflectie aan de klankbodem wordt doorgegeven.
Aantal reflecties per seconde op de kam; leid daaruit de tijdconstante van het energieverval af en de tijd waarin het geluid met $60\,\mathrm{dB}$ afneemt (een factor $10^6$ in energie).
Vermogen dat vlak na de slag van vraag 6 naar de klankbodem weglekt; vergelijk met het vermogen van een rustig gesprek, ongeveer $1 \times 10^{-5}\,\mathrm{W}$ aan geluid.
Waarom is een snaar alleen vrijwel onhoorbaar, en wat doet de klankbodem daaraan? (Denk aan de impedantie van lucht, $\rho c \approx 400\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$ , gezien door een klein oppervlak tegenover een groot.)
Met de demper opgelicht begint de A $_3$ -snaar ( $220\,\mathrm{Hz}$ ) mee te klinken wanneer A $_4$ wordt gespeeld: waarom?
Een pianobouwer wil een langere naklank: moet $Z_b$ omhoog of omlaag, en wat gaat er verloren?

Deel IV — De rail. Een stalen rail ( $E = 200\,\mathrm{GPa}$ , $\rho = 7800\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ , doorsnede $70\,\mathrm{cm}^{2}$ ).

Snelheid van drukgolven; tijd waarin het geluid van een trein $5\,\mathrm{km}$ door de rail en door de lucht aflegt.
Een hamerslag stuurt een drukpuls door een railstuk van $25\,\mathrm{m}$ met een vrij uiteinde: tijd tot de echo; is de echo een verdichting of een verdunning?
Een ultrasone sonde van $2\,\mathrm{MHz}$ zoekt naar scheuren: golflengte in staal; amplitudecoëfficiënt van de reflectie aan een scheur staal–lucht (impedantie van lucht $400\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$ ); waarom een dunne scheur zo goed te zien is.
Aardbevingen: in gesteente lopen drukgolven (P) met $6.0\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ en schuifgolven (S) met $3.5\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ . Een station tekent de S-golf $20\,\mathrm{s}$ na de P-golf op: afstand tot de bron.
Verzamel in één tabel de vijf golfsnelheden van dit vraagstuk (snaar, rail, P in gesteente, S in gesteente, lucht) met de stijfheid en de traagheid die elk ervan bepalen.

Oplossing

Oplossing van Probleem 6.1.

1. $\mu = \rho\pi d^2/4 = 6.1\,\mathrm{g}/\mathrm{m}$ ; $c = 2Lf = 334\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $T = \mu c^2 = 685\,\mathrm{N}$ .

2. $\sigma = \rho c^2 = 0.87\,\mathrm{GPa}$ : marge $2.3$ . $T \propto f^2$ : een halve toon te hoog voegt $12\%$ toe, een octaaf te hoog verviervoudigt haar tot $3.5\,\mathrm{GPa}$ — zij knapt.

3. $230 \times 685 \approx 160\,\mathrm{kN}$ , zestien ton.

4. $c = 2Lf = 105\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; bij $685\,\mathrm{N}$ : $\mu = T/c^2 = 63\,\mathrm{g}/\mathrm{m}$ , d.w.z. een stalen staaf van $3.2\,\mathrm{mm}$ — veel te stijf om harmonisch te trillen of om over de kam te buigen; een dunne kern met koper omwonden geeft de massa zonder de stijfheid.

5. $440$ , $880$ , $1320$ , $1760$ , $2200$ , $2640$ , $3080$ , $3520\,\mathrm{Hz}$ : $2$ , $4$ en $8$ zijn octaven; $3$ en $6$ een kwint boven een octaaf; $5$ een reine grote terts boven twee octaven; $7$ ( $3080/1760 = 1.75$ ) is een lage kleine septiem — dissonant.

6. $E = \tfrac14\mu L\omega^2A^2 = 0.25 \times 6.1 \times 10^{-3} \times 0.38 \times (2\pi \times 440)^2 \times (5 \times 10^{-4})^2 = 1.1\,\mathrm{mJ}$ .

7. $A\sin kx\cos\omega t = \tfrac12A[\sin(kx - \omega t) + \sin(kx + \omega t)]$ : twee golven met amplitude $0.25\,\mathrm{mm}$ ; $Z = \mu c = 2.0\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ ; elk voert $\tfrac12Z\omega^2(A/2)^2 = 0.49\,\mathrm{W}$ mee.

8. $\dot y(x, 0) = \sum_nB_n\omega_n\sin(n\pi x/L)$ ; vermenigvuldig met $\sin(m\pi x/L)$ en integreer, met $\int_0^L\sin\sin = \tfrac L2\delta_{mn}$ .

9. De integrand is $v_0\sin(n\pi x/L)$ over een breedte $w$ rond $x_0$ , waar de sinus vrijwel constant is.

10. $\sin(n\pi/8) = 0$ voor $n = 8, 16, \dots$ ; en omdat $B_n/B_1 = \sin(n\pi/8)/(n\sin(\pi/8))$ , wordt de zevende harmonische tot $1/7$ van de eerste teruggebracht terwijl de consonante $2$ tot $6$ nog $0.9$ tot $0.3$ houden: de dissonante zevende is getemd.

11. Twee snelheidspulsen verlaten het aangeslagen punt in tegengestelde richtingen, kaatsen omgekeerd terug aan de uiteinden, kruisen elkaar en voegen zich weer samen; de begintoestand keert terug na $2L/c = 1/f_1 = 2.3\,\mathrm{ms}$ .

12. $B = \pi^3 \times 2 \times 10^{11} \times 10^{-12}/(64 \times 685 \times 0.144) = 9.8 \times 10^{-4}$ ; $\sqrt{1 + 64B} = 1.031$ : $+3.1\%$ , ofwel $1200\log_2(1.031) = 53$ cent.

13. De harmonischen van een lage toon liggen hoger dan de exacte veelvouden; om hen te laten samenvallen met de grondtonen van de hogere tonen (en zwevingen te vermijden), worden de hoge tonen iets te hoog gestemd.

14. $Z_s = \mu c = 2.0\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ ; $r = (2 - 2000)/2002 = -0.998$ .

15. $1 - r^2 \approx 4Z_s/Z_b = 4 \times 10^{-3}$ .

16. $c/2L = 440$ reflecties per seconde: vervalsnelheid $440 \times 4 \times 10^{-3} = 1.8\,\mathrm{s}^{-1}$ , $\tau = 0.56\,\mathrm{s}$ ; $\ln10^6/1.8 = 7.7\,\mathrm{s}$ voor $60\,\mathrm{dB}$ .

17. $1.1\,\text{mJ} \times 1.8\,\text{s}^{-1} = 2\,\mathrm{mW}$ — tweehonderd keer een rustig gesprek; dat is wat u hoort.

18. Een draad van $1\,\mathrm{mm}$ verzet vrijwel geen lucht: de lucht glipt eromheen en het uitgestraalde vermogen is verwaarloosbaar. De klankbodem neemt de energie van de snaar via de kam over en beweegt lucht over een vierkante meter: een impedantieaanpassing door oppervlak.

19. $440\,\mathrm{Hz}$ is de tweede harmonische van A $_3$ : de kam drijft die snaar aan op een van haar modes — meetrilling.

20. Verhoog $Z_b$ : er lekt per reflectie minder energie weg, de toon duurt langer — en klinkt zachter.

21. $c = 5.1\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ : $1.0\,\mathrm{s}$ in de rail, $15\,\mathrm{s}$ in de lucht.

22. $50/5064 = 10\,\mathrm{ms}$ ; de spanning moet aan een vrij uiteinde verdwijnen: een verdichting keert terug als een verdunning.

23. $\lambda = 2.5\,\mathrm{mm}$ ; $Z_{\text{staal}} = \rho c = 4 \times 10^{7}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$ tegen $400$ : $r \approx -1$ , totale reflectie: elke open scheur, hoe dun ook, geeft een echo terug.

24. $\Delta t = d(1/3.5 - 1/6) = d \times 0.119\,\mathrm{s}/\mathrm{km}$ : $d = 170\,\mathrm{km}$ .

25. Snaar $334\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ( $T$ , $\mu$ ); rail $5.1\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ ( $E$ , $\rho$ ); P in gesteente $6\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ (compressiemodulus, $\rho$ ); S in gesteente $3.5\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ (glijdingsmodulus, $\rho$ ); lucht $340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ( $\gamma P$ , $\rho$ — volgend hoofdstuk).