O que é família ortonormal? — Matemática

Definição 23.5 Matemática universitária — Graduação 1 · Capítulo 23 — Espaços Euclidianos

$x \perp y$ quando $\langle x, y \rangle = 0$ . Uma família é ortogonal quando os seus vetores são dois a dois ortogonais, e ortonormal quando, além disso, cada um tem norma $1$ . O complemento ortogonal de um subespaço $F$ é

F^{\perp} = \{x \in E : \forall y \in F,\ \langle x, y\rangle = 0\},

um subespaço de $E$ .

Exemplos

Exemplo 23.7 (Coordenadas ortonormais, com uma verificação de Parseval)

Desenvolva $x = (1, 2, 3)$ na base ortonormal do Exercício 23.3,

e_1 = \tfrac{1}{\sqrt2}(1,1,0), \quad e_2 = \tfrac{1}{\sqrt6}(1,-1,2), \quad e_3 = \tfrac{1}{\sqrt3}(-1,1,1).

Nenhum sistema a resolver — três produtos internos:

\langle x, e_1\rangle = \frac{3}{\sqrt2}, \qquad \langle x, e_2\rangle = \frac{1 - 2 + 6}{\sqrt6} = \frac{5}{\sqrt6}, \qquad \langle x, e_3\rangle = \frac{-1 + 2 + 3}{\sqrt3} = \frac{4}{\sqrt3}.

Certificação pela fórmula da norma da proposição:

\frac{9}{2} + \frac{25}{6} + \frac{16}{3} = \frac{27 + 25 + 32}{6} = 14 = \norm{x}^2 = 1 + 4 + 9 .

Esta verificação por soma dos quadrados das coordenadas (uma identidade de Parseval finita) custa segundos e pega erros de sinal e de normalização com quase certeza — torne-a um hábito sempre que calcular um desenvolvimento ortonormal; a sua versão em dimensão infinita, para os coeficientes de Fourier do Exemplo 23.14, é um teorema do volume do terceiro ano de graduação.

Exemplo 23.9 (Gram–Schmidt sobre polinômios, por extenso)

Ortonormalize $(1, X, X^2)$ em $\R_2[X]$ com $\langle P, Q\rangle = \int_0^1 PQ$ . Passo 1: $\norm{1}^2 = 1$ , logo $e_1 = 1$ . Passo 2: $w_2 = X - \langle X, 1\rangle\,1 = X - \frac12$ , e $\norm{w_2}^2 = \int_0^1\bigl(x - \frac12\bigr)^2 \dd x = \frac1{12}$ : $e_2 = \sqrt{12}\,\bigl(X - \frac12\bigr)$ . Passo 3: $\langle X^2, e_1\rangle = \frac13$ e

\langle X^2, e_2\rangle = \sqrt{12}\int_0^1 x^2\Bigl(x - \frac12\Bigr)\dd x = \frac{\sqrt{12}}{12}, \qquad\text{logo}\qquad w_3 = X^2 - \frac13 - \Bigl(X - \frac12\Bigr) = X^2 - X + \frac16 .

A sua norma foi calculada no Exercício 23.9: $\norm{w_3}^2 = \frac1{180}$ , donde $e_3 = \sqrt{180}\,\bigl(X^2 - X + \frac16\bigr)$ . Os polinômios $1$ , $X - \frac12$ , $X^2 - X + \frac16$ são, a menos de escala, os primeiros polinômios de Legendre do intervalo $\intcc{0}{1}$ ; a construção prossegue um grau de cada vez, cada novo polinômio ortogonal a todos os seus antecessores. Note como o algoritmo reaproveita o trabalho anterior: a projeção subtraída no passo 3 é exatamente a melhor aproximação afim de $X^2$ encontrada no Exemplo 23.12 — Gram–Schmidt é projeção ortogonal iterada.

Exemplo 23.11 (As projeções nunca alongam)

Aplicando Pitágoras à decomposição $x = p_F(x) + (x - p_F(x))$ :

\norm{p_F(x)}^2 = \norm x^2 - \norm{x - p_F(x)}^2 \leq \norm x^2 ,

com igualdade se e somente se $x \in F$ . Numa base ortonormal $(e_1, \dots, e_k)$ de $F$ isto lê-se $\sum_{i \leq k}\langle x, e_i\rangle^2 \leq \norm x^2$ (uma desigualdade de Bessel): por mais direções ortonormais que se meçam, as coordenadas ao quadrado nunca ultrapassam o comprimento ao quadrado — compare com a igualdade exata do Exemplo 23.7 quando a família é uma base completa. Esta desigualdade de uma linha é o que torna somáveis os coeficientes de Fourier no volume do terceiro ano de graduação; aqui ela já explica por que acrescentar mais funções de base a um ajuste de mínimos quadrados só pode diminuir o resíduo.

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