O que é Espaço vetorial? — Matemática

Definição 18.1 Matemática universitária — Graduação 1 · Capítulo 18 — Espaços Vetoriais

Um espaço vetorial sobre $K$ é um conjunto $E$ munido de uma adição que faz de $(E, +)$ um grupo abeliano (o zero escrito $0_E$ ou $0$ ), e de uma multiplicação por escalares $K \times E \to E$ tal que, para todos $\lambda, \mu \in K$ e $x, y \in E$ :

\lambda(x + y) = \lambda x + \lambda y,\quad (\lambda + \mu) x = \lambda x + \mu x,\quad \lambda(\mu x) = (\lambda\mu) x,\quad 1\,x = x .

Consequências: $0\,x = 0_E$ , $\lambda\,0_E = 0_E$ , $(-1)x = -x$ , e $\lambda x = 0_E \implies \lambda = 0$ ou $x = 0_E$ (multiplique por $\lambda^{-1}$ ).

Exemplos

Exemplo 18.2

$K^n$ (operações coordenada a coordenada); os polinômios $K[X]$ ; as funções $\mathcal{F}(A, K)$ de um conjunto qualquer $A$ em $K$ (operações ponto a ponto) — contendo as funções contínuas, as sequências $\mathcal{F}(\N, \R)$ , etc.; $\C$ como espaço vetorial sobre $\R$ . Em cada caso os axiomas são herdados dos de $K$ .

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Exemplos

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