Qu'est-ce que « Espace vectoriel » ? — Mathématiques

Définition 18.1 Mathématiques universitaires — Licence 1 · Chapitre 18 — Espaces vectoriels

Un $K$ -espace vectoriel est un ensemble $E$ muni d’une addition faisant de $(E, +)$ un groupe abélien (de neutre noté $0_E$ ou $0$ ), et d’une multiplication externe $K \times E \to E$ telle que, pour tous $\lambda, \mu \in K$ et $x, y \in E$ :

\lambda(x + y) = \lambda x + \lambda y,\quad (\lambda + \mu) x = \lambda x + \mu x,\quad \lambda(\mu x) = (\lambda\mu) x,\quad 1\,x = x .

Conséquences : $0\,x = 0_E$ , $\lambda\,0_E = 0_E$ , $(-1)x = -x$ , et $\lambda x = 0_E \implies \lambda = 0$ ou $x = 0_E$ (multiplier par $\lambda^{-1}$ ).

Exemples

Exemple 18.2

$K^n$ (opérations coordonnée par coordonnée) ; les polynômes $K[X]$ ; les fonctions $\mathcal{F}(A, K)$ d’un ensemble quelconque $A$ dans $K$ (opérations point par point) — qui contient les fonctions continues, les suites $\mathcal{F}(\N, \R)$ , etc. ; $\C$ comme $\R$ -espace vectoriel. Dans chaque cas, les axiomes sont hérités de ceux de $K$ .

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Exemples

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