¿Qué es Espacio vectorial? — Matemáticas

Definición 18.1 Matemáticas universitarias — Grado 1 · Capítulo 18 — Espacios vectoriales

Un $K$ -espacio vectorial es un conjunto $E$ con una suma que hace de $(E, +)$ un grupo abeliano (con cero escrito $0_E$ o $0$ ) y una multiplicación por escalares $K \times E \to E$ tal que, para todos $\lambda, \mu \in K$ y $x, y \in E$ :

\lambda(x + y) = \lambda x + \lambda y,\quad (\lambda + \mu) x = \lambda x + \mu x,\quad \lambda(\mu x) = (\lambda\mu) x,\quad 1\,x = x .

Consecuencias: $0\,x = 0_E$ , $\lambda\,0_E = 0_E$ , $(-1)x = -x$ y $\lambda x = 0_E \implies \lambda = 0$ o $x = 0_E$ (multiplíquese por $\lambda^{-1}$ ).

Ejemplos

Ejemplo 18.2

$K^n$ (operaciones coordenada a coordenada); los polinomios $K[X]$ ; las funciones $\mathcal{F}(A, K)$ de un conjunto $A$ cualquiera en $K$ (operaciones punto a punto) — que contienen las funciones continuas, las sucesiones $\mathcal{F}(\N, \R)$ , etc.; y $\C$ como espacio vectorial sobre $\R$ . En cada caso, los axiomas se heredan de los de $K$ .

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Ejemplos

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