Formas exatas e fechadas কী?

Exemplo 20.7 (Reconstruindo um potencial)

Seja $\omega = y\,\eu^{xy}\,\dd x + (x\,\eu^{xy} + 2y)\,\dd y$ em $\R^2$. Ela é fechada: ambas as derivadas cruzadas valem $\eu^{xy}(1 + xy)$. Para achar um potencial, integre $P$ em $x$ com $y$ fixo:

depois ajuste $c$ igualando $f_y$: $x\,\eu^{xy} + c'(y) = x\,\eu^{xy} + 2y$ dá $c(y) = y^2$. Assim $f(x,y) = \eu^{xy} + y^2$ e, para qualquer arco $\mathcal C^1$ por pedaços de $(0,0)$ a $(1,1)$,

independentemente do caminho — a receita em dois passos (integrar em $x$, corrigir em $y$) é a recíproca prática do Teorema 20.6 em domínios em que as formas fechadas são exatas.

Exemplo 20.8 (Fechada não implica exata)

Em $U = \R^2 \setminus \{0\}$, a forma ângulo

é fechada (cálculo direto: tanto $P_y$ quanto $Q_x$ valem $\frac{y^2 - x^2}{(x^2+y^2)^2}$), mas sua integral ao longo do círculo unitário vale $2\pi \neq 0$ (mesmo cálculo do Exemplo 20.3, dividido por $1$): $\omega$ não é exata em $U$. Localmente, $\omega = \dd\theta$ para uma determinação $\theta$ do ângulo polar; a falha é global — o ângulo não pode ser definido continuamente em torno do furo. Em domínios sem buracos a patologia desaparece: num aberto estrelado, toda forma $\mathcal{C}^1$ fechada é exata (lema de Poincaré, Exercício 20.8).